Delta-Funktion und Dirac-Delta-Distribution

Understand_it · Anmeldungsdatum: 07.11.2022 Beiträge: 7

Meine Frage:
Hallöchen mal wieder an alle,

Heute sitze ich vor einem Problem mit der Delta Funktion, bei dem ich nicht wirklich weiterkomme:

Sie geht wie folgt:

a) Berechnen sie

, wobei man zuerst die Koordinatentrafo.

durchführen soll

b) Sei g(x) eine glatte Funktion mit einer Nullstelle bei x0 sowie g?(x0) ungleich 0.
Zeigen Sie, dass gilt:

und verallgemeinern sie das Ergebnis für den Fall, dass g(x) mehrere Nullstellen hat.

c) Die Dirac-Delta-Distrib. ist definiert als:

(1) Berechnen sie:

(2) Sei

eine invertierbare Matrix. Berechen sie

und bachten sie die Jacobi-Determinante beim Koordinatenwechsel

Meine Ideen:
Zu a): Heir habe ich das Integral so umgeformt:

. Da jetzt für die Delta funktion gilt, dass

Stimmt das so ?

Zu b):Hier bin ich tatsächlich was den Ansatz belangt überfragt bzw. wie ich das zeigen soll.

Zu c): (1) Hier hätte ich für

eingesetzt, dann wie in a) transformiert und integriert.

(2) Hier hätte ich wie in (1) berechnet, weiß allerdings nicht, wie die Jacobi-Determinante ins Spiel kommen soll.

Ich bedanke mich wie immer für jede Hilfe und Antwort

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

All die Aufgaben sind im Prinzip formale Anwendungen der Integral-Substitutionsregel

.

In Aufgabe a) setzt du z.B.

und

. Dann müßte dir schon ein Fehler auffallen.

Understand_it · Anmeldungsdatum: 07.11.2022 Beiträge: 7

Also vielen Dank für deine Antwort smile

.

Bei deiner Formulierung bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich die richtig verstanden habe, aber was vielleicht etwas verwirrt: Ich gemerkt, dass ich bei meiner ursprünglichen Formulierung etwas falsch geschrieben habe. Ich will mal versuchen genauer zu beschreiben, was ich gemacht habe und meine Fehler korrigieren:

Also bei a) gilt ja schon als Definition, dass

ist. das habe ich nach x umgestellt und dann in die Funktionen eingesetzt. Beim delta wurde das x zu einem x' (das hatte ich vergessen reinzuschreiben) und beim f sollte stehen

ich folge dann, weil das Integral einer Deltafunktion nur bei x' = 0 eins wird, dass das Ergebnis ist:

Ich hoffe das hat zumindest meine Vorgehensweise etwas verständlicher gemacht smile

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Deine Vorgehensweise ist klar, aber das Ergebnis falsch. Wende mal die Substitutionsregel an. Um es vielleicht etwas klarer zu machen: Wenn

dann gilt auch

. Deshalb steht auf der einen Seite in der Substitutionsregel noch das

.