Integral mit der Deltafunktion berechnen (endliche Grenzen)

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Hallo alle miteinander!
Ich bin völlig neu hier, und hab auch direkt mal ne Frage. Hab schon verschiedenes mithilfe der Suchfunktion gefunden, aber keines hat mir irgendeine Erleuchtung gebracht.

Also wie der Titel schon sagt geht es um das berechnen eines Integral mit der Delta-Funktion. Leider blicke ich das ganze nich so wirklich.

Also ich soll folgendes Integral berechnen:

Wie muss ich da jetzt fortfahren? Und was würde sich ändern wenn meine Grenzen jetzt von "minus-Unendlich" bis "Unendlich" sind?

Mit freundlichen Grüßen,
cryse

Namenloser324 · Gast

Ganz simpel:

Du hast eine Deltafunktion im Integral.
Sie ist von der Form

.

Schau auf die Grenzen:
Gilt Obere Grenze > a > Untere Grenze? (Falls gerade der umgekehrte Fall gilt, kann man den Integrationsbereich ja gerade umkehren in dem man die Grenzen vertauscht und ein Minus vor das Integgral schreibt).
Falls nein so ist das Integral Null.
Falls ja so setzt du a in die neben der Deltafunktion stehende Funktion ein.

Konkret also in deinem Fall:
2 liegt zwischen 4 und -1, also setzt du 2 in das Polynom ein.
Das Integral ist also identisch zu (2^3 + 2*2 - 2).

Für den Fall das du Grenzen von -Unendlich bis Unendlich hättest würde sich gar nichts ändern, denn die Deltafunktion ist symbolisch so definiert, dass sie gerade überall ausser im Nullpunkt gleich Null ist. Ob du dann den Integrationsbereich noch weiter ausdehnst ist für den Wert des Integrals völlig egal.

Jannick · Anmeldungsdatum: 25.07.2012 Beiträge: 107

Das ist ziemlich basic und sollte eigentlich auf wikipedia zu finden sein. Für die Delta-Distribution gilt

Falls

oder

hängts von der genauen Definition ab, aber ich glaube der Fall ist jetzt nicht so wichtig. In deinem Fall ist es egal, ob man die Grenzen bis unendlich ausdehnt.

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Oh wow!
Vielen Dank!

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Jetzt hab ich das ja einigermaßen Verstanden glaube ich, komme aber bei diesem Problem nicht weiter:

Also wie forme ich das delta passend um? Ich habe mir bereits diese Eigenschaften angeschaut, und überlegt wie ich das passend umformen könnte. http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Eigenschaften

Laut Wolfram Alpha kommt da 25/4 raus
Ich bin leider viel zu schlecht darin :/

Namenloser324 · Gast

Wo liegt das Problem?
Der Punkt "Hintereinanderausführung" sollte doch weiterhelfen?!

cryse · Anmeldungsdatum: 31.05.2014 Beiträge: 10

Ja tut es doch. Vielen Dank smile

Ich hab echt ein Brett vorm Kopf

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Nun, im Allgemeinen geht es um ein Integral der Form

Dazu tragen alle Nullstellen von g(x) bei, die im Inneren des Intervalls [a,b] liegen.

In deinem Fall findest du die Nullstellen mittels der Lösungen der quadratischen Gleichung

Du kannst dann das Argument der Deltafunktion schreiben als

Vorausgesetzt es liegt keine doppelte Nullstelle vor, kannst du dir folgendes überlegen: in der Umgebung der ersten Nullstellen x_1 kannst du im zweiten Faktor x durch x_1 ersetzen, d.h.

Der zweite Faktor ist hier einfach eine Konstante. Du führst eine neue Integrationsvariable

ein und substituierst

Und dieses Integral über y kannst du wieder ganz normal lösen.

Beachte: die Punkte ... stehen für die Terme, die du aus der zweiten Nullstelle x_2 erhältst.