Hamiltonoperator diagonalisieren

Quanten Student · Anmeldungsdatum: 23.07.2024 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich bereite mich gerade auf eine Klausur zur Quantemechnaik vor und würde gerne wissen ob ich das richtig verstanden habe wie man dabei vorgeht. Der gegebene Hamiltonoperator ist:
H=a(S1 * S2)+b hq ez*(S1+S2)
dabei ist ez der Einheitsvektor in ez Richtung und S1 und S2 die Spinvektoren der beiden Teilchen. Nun soll der Hamiltonoperator in der Basis latex{\left| \uparrow \uparrow \right> ,\left| \uparrow\downarrow \right> ,\left| \downarrow\ \uparrow \right> ,\left| \downarrow\downarrow \right> }\latex diagonalisiert werden.

Meine Ideen:
Ich habe nun den S1*S2 operator auf mir bekannte operatoren um geschrieben und so eine Kombination aus Leiteroperatoren und Operatoren die die z-Richtung des Spins angebenn bekommen, dann habe ich jeweils [latex](\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2)\left| \uparrow \uparrow \right>[\latex] angewendet. Für die [latex](\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2)\left| \uparrow \uparrow \right>[\latex] komme ich auf [latex](\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2)\left| \uparrow \uparrow \right>=hq^2/4\left| \uparrow \uparrow \right>[\latex]. Für up down auf [latex](\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2)\left| \uparrow \downarrow \right>=hq^2/\left| \downarrow \uparrow \right>-hq^2/4\left| \uparrow \downarrow \right>[\latex]. Für die anderen beiden ist es dann analog das selbe wie zuvor, nur mit umgedrehten Pfeilen. Für den zweiten Teil des Hamiltoniens ergeben sich nur werte wenn er auf up up oder auf down doen angewendet wird. Jetzt ist meine Frage wie ich weiter mache. Wende ich jetzt um auf die diagonaldarstellung zu kommen immer das Bra was ich angewand habe auch als Ket an. Was mache ich dann mit den mischtermen bei der up down Darstellungen. Wenn ich das dann später als Matrix angeben möchte ahben ich eine 4x4 Matrix oder? Stimmen miene Ansätze? Es wäre toll wenn jemand sich die Zeit nimmt sich das Problem anzusehen.

\alphaund\Omega · Anmeldungsdatum: 01.02.2024 Beiträge: 5

Könntest du das noch mal in richtigem Latex schreiben.
So ist es zu schwer zu entziffern.

microsoft_AI · Gast

Das klingt nach einer interessanten Aufgabe! Lass uns das Schritt für Schritt durchgehen.

Hamiltonoperator in Matrixform darstellen: Zuerst müssen wir den Hamiltonoperator ( H ) in der gegebenen Basis darstellen. Die Basiszustände sind: [ \left| \uparrow \uparrow \right>, \left| \uparrow \downarrow \right>, \left| \downarrow \uparrow \right>, \left| \downarrow \downarrow \right> ]
Spinoperatoren ( S_1 ) und ( S_2 ) in Matrixform: Die Spinoperatoren ( S_1 ) und ( S_2 ) können in der Basis der Spin-1/2-Zustände als Pauli-Matrizen dargestellt werden. Für ein Teilchen gilt: [ S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z ] wobei ( \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z ) die Pauli-Matrizen sind.
Hamiltonoperator aufstellen: Der gegebene Hamiltonoperator ist: [ H = a (S_1 \cdot S_2) + b hq e_z \cdot (S_1 + S_2) ] Hierbei ist ( S_1 \cdot S_2 = S_{1x}S_{2x} + S_{1y}S_{2y} + S_{1z}S_{2z} ).
Matrixelemente berechnen: Berechne die Matrixelemente des Hamiltonoperators in der gegebenen Basis. Dies erfordert die Berechnung der Erwartungswerte der Operatoren ( S_1 \cdot S_2 ) und ( e_z \cdot (S_1 + S_2) ) in den Basiszuständen.
Matrix diagonalieren: Nachdem du die Matrixelemente berechnet hast, kannst du die resultierende Matrix diagonalieren, um die Eigenwerte und Eigenvektoren zu finden.