Gauß Integralsatz bei unendlichem Integrationsvolumen?

magenta · Anmeldungsdatum: 20.02.2015 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hi, ich bin mir gerade sehr unsicher, ob bzw. wie ich den Gauß'schen Integralsatz bei folgendem Integrationsvolumen anwenden darf:

Ursprünglich möchte ich von der Oberfläche einer Kugel mit Volumen

um den Koordinatenursprung bis ins Unendliche über's Volumen integrieren.

verschwindet im unendlichen und innerhalb von

, nicht jedoch auf den Rand der Kugel. Erste Frage: kann ich mein Integral wie unten umschreiben, um den Gaußschen Satz anzuwenden? Und zweitens: darf ich den dann auch bei unendlichem Integrationsvolumen anwenden? Was muss an die Stelle der doppelten Fragezeichen? x)....sry, ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch und bin für jede Hilfe dankbar.

Meine Ideen:

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ja, der Gaußsche Integralsatz darf in Reinform angewendet werden, wenn

einen kompakten Träger hat (kompakter Träger ist Teil der Voraussetzungen, ist aber praktisch automatisch erfüllt, wenn das Integrationsgebiet beschränkt ist). Falls es keinen kompakten Träger hat, muss man einen Grenzwert endlicher Integrationsvolumina nehmen und schauen, ob es schnell genug abfällt.

Falls der Träger kompakt ist, kommt an Stelle der doppelten Fragezeichen eine Null. Ansonsten auch, wenn der Abfall schnell genug ist ("schnell genug" heißt, es muss schneller abfallen, als die Kugeloberfläche anwächst, also

).

ist dafür nicht ausreichend, es muss

gelten!