Stokescher Integralsatz

Dexter33 · Anmeldungsdatum: 07.08.2020 Beiträge: 138

Bräuchte wieder eure Hilfe Jungs .
Bin beim lernen Big Laugh

Ich verstehe bei der direkten Rechnung gerade nicht wie die diese kleine Tabelle ausrechnen ?
Wie kommen die nach der Tabelle auf diese komplette Gleichung ?

Und wie kommen die beim Integral auf die 9 plötzlich ?

Bitte um Erklärung

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Mit der „kleinen Tabelle“ meinst Du vielleicht die Darstellung der Rotation als Determinante (siehe z.B. hier)?

Beim Integranden stammt das r^2=9 daher, dass über die Oberfläche einer Halbkugel mit z>0 und Radius 3 integriert wird.

gast_0221 · Gast

Die Tabelle ist die Determinante einer rein formalen Matrix, mit der man die Rotation ausrechnen kann (nur eine Methode...).

Nach der Berechnung der Rotation wird diese einfach in das Flächenintegral eingesetzt.

Und wie da angegeben hat die Kugel den Radius 3, also r^2=9

Dexter33 · Anmeldungsdatum: 07.08.2020 Beiträge: 138

Wie haben die das genau berechnet ?
Verstehe gar net ?

Wie kommen die auf die Gleichung im Anhang?
Wir machen sozusagen Selbststudium wegen Corona halt
und wie rechnet man das genau aus?

gast_0221 · Gast

Die rechnen die Determinante aus, die im Schritt vorher angegeben ist. Berechung ist dann so wie bei bei jeder anderen Determinante auch, aber halt formal die Multiplikation eines Oparators mit einem potentiellen Operanden der Anwendung des Operators auf diesen Operanden entspricht:

.

Statt mit Matrix auch m.M.n. einfacher übers Kreuzprodukt mit Nabla-Operator:

gast_0221 · Gast

Dexter33 · Anmeldungsdatum: 07.08.2020 Beiträge: 138

Wie macht man diese einfache Rechnung ?
Ich verstehe gar nicht Leute wie ich das ausrechne damit Prost

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Dort wird die Rotation eines Vertorfeldes ausgerechnet. Das geht so:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes#Definition_der_Rotation_in_kartesischen_Koordinaten
Um sich das leichter zu merken, kann man das -wie gesagt- formal als Determinante schrieben und dann die Regeln zum Berechnen von Determinanten benutzen. Das geht so:
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Quadratische_Matrizen_bis_zur_Größe_3_×_3

gast_0221 · Gast

Ok. Kreuzprodukt kennste?

Alles klar?

Dexter33 · Anmeldungsdatum: 07.08.2020 Beiträge: 138

Ich habe es bekommen mit determinante Leute mit sarrus .

Diese Matrix stellt man immer so auf wie in der Lösung ?

gast0221 · Gast

Kannste immer so machen, zumindest in kartesischen Koordinaten.

Dexter33 · Anmeldungsdatum: 07.08.2020 Beiträge: 138

Es hat sich gerade noch ne Frage ergeben ?
Wie kommen die auf die ganze Gleichung zu er?
Auch einfach merken ?

Wie kommen die auf das Integral im Anhang ?
Komme irgendwie nicht daraus
Alles so schwer LOL Hammer

gast_0221 · Gast

Ist nützlich, wenn man das weiß. Geht ja nur um die Parametrisierung in Kugelkoordinaten.

Guck mal de.wikipedia.org/wiki/Datei:Kugelkoord-def.svg

e_r zeigt in die gleiche Richtung, ist aber auf Betrag 1 normiert.

sin(theta) beschreibt als "zwischenschritt" die Projektion auf die x-y-Ebene, um danach mit sin(phi) oder cos(phi) die y-Komponente bzw. x-Komponente zu erhalten. Für die z-Komponente wird auf die z-Achse projeziert, daher cos(theta).

Zum Integral:

Der Integrand ist unabh. von Phi, ergibt sich für den Rest ein Vorfaktor von 2*pi.
Um sin(x)*cos(x) zu integrieren, kannst du dir die Ableitung von sin^2(x) oder cos^2(x) angucken.