Satz von Gauß

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich sitze hier grad an folgender aufgabe und komm i-wie überhaupt nich klar Augenzwinkern

verifiziere den satz von gauß indem die integrale links und rechts der gleichung über die oberfläche bzw. das volumen einer kugel mit radius R für folgende fälle berechnen

a)

b)

satz von gauß:

Meine Ideen:
okay ich kenne die volumenelemente für eine kugel nämlich

aber wie soll ich jez weiter machen ???

kann mir da wer helfen ??

kraft · Gast

Ok nehmen wir mal a)

Nehmen wir zuerst linke Seite der Gleichung:

und setzen

ein:

mit dem Flächenelement

und

erhalten wir

Andererseits haben wir auf der rechten Seite:

mit

folgt sofort:

da Volumen des Kreises

ist.

Das selbe Ergebnis auf beiden Seiten, nur war rechte Seite viel einfacher zu berechnen, was auch bei dieser Aufgabe veranschaulicht werden sollte.

Viel Spaß bei b)

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

@kraft
Vielleicht sollte man begrifflich einen eindeutigen Unterschied zwischen "Kreis" und "Kugel" machen. (Ein Kreis kann beispielsweise kein Volumen haben).

kraft · Gast

Frag mal Mathematiker, bei dennen haben auch Kreise ein Volumen Big Laugh

Ne soll schon Kugel heißen, ka, wie ich auf Kreis komme, beides ist so rund...

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

bei b) häng ich schon in den ersten schritten

ich hab bisher

dann mit dem flächenelement eingesetzt

vereinfacht:

aber wie soll ich weiter machen ??

kraft · Gast

Das ist doch jetzt eine Integralrechnung auf dem Schulniveau.
Guter Anfang wäre alles, was nicht von Phi und Theta abhängt vor Integral ziehen.

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

also hab ich dann

und wir formuliert man das jez so das man nur noch R als radius hat ??

kraft · Gast

Gar nicht, wozu denn auch? Die Aufgabe ist zu zeigen, dass beide Seiten gleich sind nicht mehr.

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

ja aber dann kommt ja in a) auch der radius R nich vor zumindest links nich

oder versteh ich da was falsch ??

kraft · Gast

In a) ergibt sich auf beiden Seiten

kraft · Gast

Es ist nicht von Bedeutung was in a) rauskommt, a) ist eine komplett andere Aufgabe.

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

ja richtig aber dann hat man in a) sowas stehen

weil beim volumen integriert man doch von 0 bis R oder nich ??

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

wenn ich mich irre weise mich auf den fehler hin Augenzwinkern

ich finde ihn nämlich immer noch nich Hilfe

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

b) funktioniert bei mir nich
ich komme da auf einen wiederspruch

kann mir da wer helfen ??

kraft · Gast

Was hast du für

rausbekommen?

El Rey · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 59

da hab ich

ich hab den klammerausdruck (R-r) als skalar gewertet
oder is das falsch ??

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

r ist aber abhängig von x,y und z, ist schließlich der betrag des vektors r
daher kommt da was anderes raus.
Für die kombination von skalarfunktion(r) und vektorfeld(vektor_r) such mal bei wikipedia nach nabla und rechenregeln da dürfte eine entsprechende umformung stehen, oder rechne es als übung per hand aus