Levi-Civita, epsilon Tensor und Kronecker Delta

Frederick3 · Anmeldungsdatum: 14.05.2010 Beiträge: 19

Hi, ich bin gleichzeitig neu hier und sage mal Hallo in die Runde!

Jetzt auch gleich zu meiner ersten Frage:

Diese Relation soll ich zeigen. Irgendwie haben wir in der VL und in den Übungen dazu diesen EpsilonTensor mehrmals auf andere Art und Weise definiert. Ich bin jetzt einfach mal so vorgegangen:

So, jetzt ist die Frage, diese Determinanten, wie sehen die aus? Die e's sollen Vektoren sein, Vektoren des

nehme ich an.

Es gilt ja auch die Formel:

, also kann ich irgendwie eine Determinante daraus machen. Ich stehe gerade nur auf dem Schlauch, wie diese Det. aussehen soll? Jeder Vektor hat 3 Komponenten, weil jeder Index von 1 bis 3 läuft? oder ist e_i der Vektor (1,0,0)?

Danke im Voraus für Antworten!!

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Die Idee mit der Determinante und der Matrixmultiplikation ist gut, allerdings solltest du verwenden, dass du die Matrix transponieren kannst ohne die Determinante zu verändern.
Wie die einzelnen Einheitsvektoren explizit aussehen kann man nicht sagen, dass hängt ja gerade vom Index (1,2 oder 3) ab.

Wenn du die Matrixmultiplikation richtig durchführst bekommst du eine Determinante einer Matrix, in der jedes Element ein Skalarprodukt der Einheitsvektoren ist, also ein Kronecker Delta. Explizite Berechnung des Wertes der Determinante liefert dir dann die gesuchte Relation.

Frederick3 · Anmeldungsdatum: 14.05.2010 Beiträge: 19

Ok, also ich habe jetzt da zu stehen:

Weil ja wie du sagst die Det. der Transp. dieselbe ist.

heißt es dann:

puh... so. ich habe einfach die Matrizen in der Determinante ausmultipliziert. Kann ich jetzt einfach überall KroneckerDeltas schreiben? Außer ganz oben links, da steht ja einfach 3, richtig?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Das ist so nicht richtig. Du hast einmal einen eine Matrix, die aus Zeilenvektoren besteht und einmal eine die aus Spaltenvektoren besteht, wobei die Zeilen bzw. Spaltenvektoren die jeweiligen Einheitsvektoren sind:

"-" soll andeuten, dass sich die anderen Komponente der Einheitsvekotren jeweils dahin erstrecken. Am besten denkst du dir bei der linken Matrix noch ein Transponiert-Zeichen über jeden Einheitsvektor. Die i,j-Komponente deiner resultierenden Matrix ist nun das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors mit dem j-ten Spaltenvektors. Anschließend kannst du verwenden:

Dann hast du eine Matrix die nur aus Kroneckersymbolen besteht.

Herbststurm · Anmeldungsdatum: 05.09.2008 Beiträge: 412 Wohnort: Freiburg i. Brsg.

Hi,

ich habe letzten Herbst mal ein kleines Filmchen gedreht (technisch hochgradig unprofessionell...) , in dem unter anderem obige Beziehung auch hergeleitet wird Augenzwinkern

http://video.netscience.de/video/293/Introduction+Epsilon+Tensor

Gruß