Freie Bewegung auf Kugel/ Metrischer Tensor

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 308

Meine Frage:
Hallo allerseits,

bei der folgenden Aufgabe habe ich bereits die und die B gelöst, allerdings weiß ich nicht wie es mit der c und der d weiter geht, sollen da die BGLs einfach gelöst werden? Wenn ja wie, denn wie ich sehe sind die Gekoppelt, was die Sache etwas schwieriger macht,

Aufgabe:

Betrachte ein Teilchen (Masse m), das sich ohne Einfluss von Kräften auf einer
Kugelfläche mit Radius R bewegt.
(a) Berechne den metrischen Tensor

und gib die Lagrange-Funktion an.
(b) Leite mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen die Bewegungsgleichungen
ab.
(c) Zeige, dass Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit entlang der

Koordinatenlinien Lösungen dieser Bewegungsgleichungen sind.
(d) Zeige, dass Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit entlang der

Koordinatenlinien im Allgemeinen keine Lösungen dieser Bewegungsgleichungen sind. Gibt es Ausnahmen?

Hinweis: Verwende hier die Winkel (q1, q2) = theta und phi der Standardkugelkoordinaten als generalisierte Koordinaten.

Meine Ideen:
Meine vorgehensweise zur a und b

a) Berechne metrischen Tensor:
Verwende Kugel koordinaten:

,

Metrik somit :

Stelle Lagrange Funktion auf.

Das war die a)

Jetzt b) Stelle Euler Lagrange Gleichungen auf:

Bgl für theta demnach:

Analog für phi:

BGL phi:

bzw

Wie gesagt bei der c und d weiß ich nicht weiter

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Du solltest nach zyklischen Koordinaten bzw. allgemein Erhalungsgrößen suchen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ich erhalte ganz leicht andere Bewegungsgleichungen:

Dass die beschriebenen Bahnen entlang der Koordinatenlinien Lösungen sind bzw. nur unter Einschränkungen Lösungen sind, sieht man auch direkt aus den Bewegungsgleichungen:

Bewegung entlang der

-Koordinatenlinie mit konstanter Geschwindigkeit bedeutet ja:

,

entlang der

Koordinatenlinie:

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 308

Hallo Myon

danke für deine Hinweise zur c und d, wäre mit dieser Arguementation die Aufgabe schon erledigt oder müsste man die Gleichungen noch Lösen, was ja eingentlich ziemlich Trivial ist

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

vtxt1103 · Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 308

Alles klar herzlichen Dank
!