Eigenwerte eines 2-Zustandsystems

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Meine Frage:
Bei einem quantenmechanischen System sei bekannt, dass es genau zwei (nicht entartete) Energieeigenzustände

hat. Neben der Energie habe das System drei weitere Observable P,Q und R. Die Zustände

seien normiert, aber nicht notwendigerweise Eigenzustände von P,Q, oder R.
Bestimme möglichst viele Eigenwerte von P,Q, und R aus den folgenden "experimentellen Daten". [Achtung: ein Satz von Daten ist unphysikalisch.]

Meine Ideen:

Jetzt fehlen mir aber immer noch Informationen über

Für die teile b) und c) fehlen mir auch Informationen.
Gibt es hier eine Lösung für die Eigenwerte für P, Q und R ? bin ich auf falscher Fährte oder habe eine Bedinung vergessen die mir mehr informationen gibt ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Das sieht nach unübersichtlichem Kram aus.

Evtl. ist es übersichtlicher die Operatoren P, Q, R mittels Pauli-Matrizen darzustellen

mit a=0,1,2,3; a=0 entspricht der Einheitsmatrix.

Sowie

j=1,2,3; k,l analog.

Die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten direkt aus P folgen mittels Multiplikation mit einer Pauli-Matrix sowie Spurbildung

Das ändert nichts grundsätzliches, könnte aber die Buchhaltung überschaubarer gestalten.

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Danke Tom

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Das alleine hilft noch nicht, man muss sich noch um die Eigenwerte kümmern.

Speziell für 2*2-Matrizen gilt

Zerlegt man nun

so folgt

Da die Pauli-Matrizen spurfrei sind, reduziert sich das auf

Zerlegt man B weiter, so verschwinden wiederum alle Spurterme und es bleibt

Zuletzt benutzt man

und erhält

Damit wirst du die normalen Komponenten der Matrix vollständig los und kannst alles durch die Darstellung mittels Pauli-Matrizen ausdrücken.

(Rechnung beim Kaffee, bitte nochmal prüfen)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Nehmen wir an, wir haben für den Hamiltonian H' sowie für P' allgemein

Dann können wir die beiden Operatoren gemeinsam so unitär transformieren, dass einer davon nur die 3-Komponente enthält. Wir nutzen dies für H, also gilt

- letzteres unter Verwendung von

Damit ist H diagonal mit den beiden Eigenwerten

sowie den Eigenvektoren

Unter Verwendung von

folgt für die Erwartungswerte

Daraus folgt

Bisher gilt dies allgemein für alle Operatoren P, Q, R.

Speziell für P folgt mittels deiner Angaben

Damit ist P diagonal mit den beiden Eigenwerten

wovon einer direkt dem Erwartungswert entspricht.

Für Q analog, das geht schnell. Bei R darfst du selbst ran, m.M.n. findet man beide Eigenwerte ;-)

QMnoob · Anmeldungsdatum: 22.06.2023 Beiträge: 8

Danke Tom,

ich werde am Wochenende probieren hier weiter zu Rechnen.
Bei Q ist dann vermutlich das Unphysikalische phänomen des Datensatzes wie es mir aussieht.