1D-Schrödingergleichung: Eigenwerte und -funktionen?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Hallo ihr Lieben,

brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Für gebundene Zustände der 1D-Schrödingergleichung gilt:
- keine Entartung
- Eigenfunktionen können immer reell gewählt werden
Zeigen Sie, dass diese beiden Eigenschaften gelten.

Ich weiß, dass für "keine Entartung" die Eigenwerte nicht mehrfach auftreten dürfen. Außerdem müssen die Energien immer unterhalb der Potentialwand bleiben, da gebunden.

Problem ist bei mir jetzt der Ansatz.
Könnt ihr mir bitte beim Ansatzfinden helfen? Ohne einen solchen kann ich ja leider nicht mal versuchen irgendetwas zu rechnen.

Grüße
Sunny

Jannick · Anmeldungsdatum: 25.07.2012 Beiträge: 107

Der Ansatz ist, zu Verwenden, dass es sich bei der 1-D SGL um eine gewöhnliche Differentialgleichung handelt. Für gewöhnliche DGL gibt es sehr viele mathematische Sätze, wie z.b. Eindeutigkeit der Lsg., was dir bei der ersten Aussage behilflich sein sollte.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Jannick · Anmeldungsdatum: 25.07.2012 Beiträge: 107

Ja richtig ich bin jetzt schon von der stationären SGL ausgegangen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Der erste Teil ist Aufgabe 2.42 in Griffiths. Ich geb Dir mal die Tipps, die er gibt:
* Nimm an es gäbe zwei Lösungen

mit derselben Energie.
* Multipliziere die Schroedingergleichung von

mit

und umgekehrt.
* Bilde die Differenz und zeige dass

konstant ist
* Nutz aus, dass die Funktionen im Unendlichen verschwinden um zu zeigen, dass die Konstante Null ist.
* Zeige dass daraus folgt, dass die beiden Wellenfunktionen proportional zu einander sind.

PS: Man muss annehmen, dass das Potential nicht aus Teilen besteht, die durch unendlich hohe Barrieren getrennt sind. Dann ist die Aussage nämlich falsch.

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Hi,

danke für die Antworten.

Hab jetzt mal mit den Griffiths-Tips das ganze versucht:

Die 1D-SGL lautet:

dann folgt:

Multiplikation:

Nun komme ich nach Differnezbildung und Ableiten nach x aber zu folgendem und weiß nicht weiter, wie ich zeigen soll, dass es 0 ist:

Wie zeige ich das? Oder wo steckt der Fehler?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Wieso leitest du in der letzten Zeile nochmal ab?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Na, weil ich doch zeigen soll, dass dies konstant ist. Dachte, dass ich dann einfach Ableite.

Wie sollte ich denn das sonst machen? Etwas anderes viel mir nicht ein.
Kannst du mich erhellen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Die Größe von der Du zeigen sollst, dass Sie konstant ist, ist nicht die Differenz von vorher, sondern enthält nur Ableitungen erster Ordnung. Leite die doch mal ab, dann kommst Du vllt dadrauf wie das mit dem ganzen Kram vorher zusammenhängt.

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Verstehe leider nicht so recht, was du meinst.

Wenn ich die Differenz bilde kommt doch genau der Ausdruck raus, den du da schreibst (von den Vor-Konstanten mal abgesehen).

Kannst du mir das bitte zeigen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Es geht darum, dass dieser Ausdruck hier Kontakt ist :

Die Gleichung die Du nach multiplizieren der SG und Differenzbilden erhaelst ist

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Und wie zeige ich das dann?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Leite doch mal den Ausdruck der konstant sein soll ab.. dann siehst du wie das aus der Rechnung vorher folgt...

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Ach so! Ja nun hat es geklappt. Jetzt ergab auch der Hinweis mit dem "im Unendlichen verschwinden" Sinn.

Man zeigt einfach die Gleichheit der ausdrücke und mit dem Unendlichen muss die Konstante 0 sein. Dann noch der ln und ln-Gesetzte und man hat stehen, dass die Wellenfunktionen gleich sind.

Wiederspruch zur Annahme der zwei Lösungen, also keine Entartung. Perfekt.

Und wie zeige ich, dass man die Eigenfunktionen immer reell wählen kann bei der 1D-SGL?

Sunny94 · Anmeldungsdatum: 01.03.2013 Beiträge: 158

Hi Ihr Lieben,

Meine Frage im letzten Post hat sich erübrigt.

Aber ich würde gerne folgendes noch wissen:

Was bedeuten diese beiden Eigenschaften
- Keine Entartung
- immer Reell wählbare Wellenfunktion
für das freie Teilchen?