Lagrange - Frage zur Ableitung der Zwangsbedingungen

MatheBambi · Gast

Meine Frage:
Um die Lagrange-Gleichungen aufzustellen muss man ja den Gradienten der Zwangsbedingungen berechnen und einsetzen. (also nach jedem Argument einmal ableiten).

usw.

Danach muss man ja die Zwangsbedingungen zweimal differenzieren, um die Bewegungsgleichungen zu lösen(oder wozu macht man das?) Dann wird aus

. Hier wird irgendwie anders abgeleitet, mit Kettenregel oder so. Aber warum? Warum ist das jetzt anders? Ich verstehe das nicht.

Danke schon mal, Lg

Meine Ideen:
Wie gesagt, irgendwie wird die Kettenregel genutzt, als ob das x im zweiten Fall eine Funktion wäre. Aber warum auf einmal?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Schreib mal bitte ein bißchen mehr auf, was Du meinst.

MatheBambi · Anmeldungsdatum: 19.05.2016 Beiträge: 2

Tut mir Leid. Das ist nur schwer, weil ich ja nicht wirklich verstehe, was da passiert. Aber ich versuch es mal:

www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_PH0005_02_course.pdf

Kapitel 1.4, das Fadenpendel. Da werden die Lagrange-Gleichungen aufgestellt.

Hier wurde die zweite Zwangsbedingung ja partiell abgeleitet. Erst nach x, dann nach y. Deswegen das 2x und das 2y

Dann steht da kurz darunter "Wir differenzieren nun die zweite Zwangsbedingung zweimal und erhalten"

Wie kommt das zustande? Hier wurde doch auch zweimal abgeleitet. Warum sind die x und y da noch drin? Dachte, es müsse so in der Art sein:

Verstehst du, was ich meine?

erkü · Anmeldungsdatum: 23.03.2008 Beiträge: 1414

Hi !

x und y sind Funktionen der Zeit. Die zweite Zwangsbedingung

wird zweimal nach der Zeit differenziert, was das Ergebnis liefert.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

So ist es.

MatheBambi, ich weiß nicht, ob das damit für Dich geklärt ist. Deine in Deinem ersten Beitrag geäußerte Vermutung "Kettenregel" war jedenfalls richtig. Zuerst, wenn der Gradient der Zwangsbedingung gebildet wird, ist die Zwangsbedingung als Funktion der Koordinaten

gemeint. Diese sind also erstmal nicht die Position des Pendelkörpers, sondern beliebige Punkte im Raum. Erfüllen sie die Zwangsbedingung, so stellen sie eine mögliche Position dar. Natürlich muß man aber alle x, y, z als Argument zulassen, damit man überhaupt einen Gradienten definieren kann. Man muß sich ja in alle drei Richtungen bewegen können, um über die Änderungsrate entlang der Richtung zu sprechen, und dabei wird man zwangsweise auf Punkte stoßen, die die Zwangsbedingung nicht erfüllen und somit niemals Koordinaten des Pendelkörpers darstellen werden.
Wenn nun zweimal nach der Zeit differenzier wird, passiert folgendes: Die Zwangsbedingung wird als Funktion von einer einzigen Variablen, der Zeit, uminterpretiert, indem für x, y, z die Koordinaten des Pendelkörpers

eingesetzt werden. Und dann gilt die Kettenregel:

.

Häufig tritt auch die Situation auf, daß die Zwangsbedingung eine echte Zeitabhängigkeit hat, dann hat man also eine Funktion

. In diesem Fall wäre dann

.

(zugegebenermaßen verwirrende) Kurzschreibweise

Für gewöhnlich erwähnt man so etwas nicht. Bestenfalls deutet man es in der Notation an.

MatheBambi · Anmeldungsdatum: 19.05.2016 Beiträge: 2

Achso.

Vielen Dank smile

Jetzt verstehe ich das endlich ^^