Aufprallkraft für Kugel berechnen

K.man · Anmeldungsdatum: 20.11.2024 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo, ich habe die Frage, ob ich die Aufprallkraft richtig berechnet habe und ob die Kraft dann für eine Kugel gilt oder auch für die größte flache Seite eines Quaders?

Ein Stuntman soll von einem 50m hohen Haus springen. Die Kraft beim Aufprall soll 2000N nicht übersteigen. Wie dick muss die Knautschzone sein, wenn sie vom Boden aus in die Höhe aufgebaut wird?

Bremsbeschleunigung a = v² / 2s bei abbremsen auf 0 m/s
Einsetzen in F = m * a
Kraft beim Aufprall F = m * v² / 2s

g = 9,81 m / s² | Erdbeschleunigung
s = 0,5 g t² | Strecke bei freiem Fall aus 0 m/s
t = ? (S1 /(0,5*g)) | Zeit bis Aufprall in Knautschzone
s1 = x | Fallhöhe bis Aufprall in Knautschzone
t = ? (x /(0,5*9,81)) | Zeit bis Aufprall in Knautschzone

v = g * t | Geschwindigkeit bei freiem Fall aus 0 m/s
v = 9,81 * ? (x /(0,5*9,81)) | Geschwindigkeit bei Aufprall in Knautschzone

F = m * v² / (2 (s2 ? s1)) | Kraft bei Aufprall
s1 = x m | Höhe bis Aufprall in Knautschzone
s2 = 50 m | Höhe des Haus
50 m ? x | Höhe der Knautschzone
m = 90 kg | Gewicht des Stuntman

F = 90 * (9,81 * ? (x /(0,5*9,81)))² / (2 (50 ? x)) | Kraft bei Aufprall
F = 2000N | die Aufprallkraft soll 2000N betragen
90 * (9,81 * ? (x /(0,5*9,81)))² / (2 (50 ? x)) = 2000
x ? 34,6873 m

Damit die Aufprallkraft 2000 Newton nicht übersteigt kann ein 90 kg Stuntman kann von einem 50m hohen Haus also rund 34,69m fallen. Seine Geschwindigkeit von rund 94 km/h muss dann von einer Knautschzone von rund 15,31 Meter dicke abgebremst werden. Dafür bräuchte ein 70 kg Stuntman eine 12,78m Knautschzone, ein 50 kg Stuntman kann mit rund 100 km/h in eine 9,85m dicke Knautschzone fallen und ein 100 kg Stuntman mit rund 92 km/h in eine 16,45m dicke Knautschzone.

Meine Ideen:
Ob die Kraft dann für eine z.B. 90 kg schwere Kugel gilt oder auch für den Aufprall mit der die größten flachen Seite eines z.B 90 kg schweren Quaders wäre wohl egal, wenn in beiden Fällen die "Bremsweg" gleich lang wäre, was wiederum von der Beschaffenheit der Knautschzone abhängt.

K.man2 · Gast

Da nicht alle Zeichen übernommen wurden hier noch mal die Rechnung:

Bremsbeschleunigung a = v² / 2s bei abbremsen auf 0 m/s
Einsetzen in F = m * a
Kraft beim Aufprall F = m * v² / 2s

g = 9,81 m / s² | Erdbeschleunigung
s = 0,5 g t² | Strecke bei freiem Fall aus 0 m/s
t = Wurzel (S1 /(0,5*g)) | Zeit bis Aufprall in Knautschzone
s1 = x | Fallhöhe bis Aufprall in Knautschzone
t = Wurzel (x /(0,5*9,81)) | Zeit bis Aufprall in Knautschzone

v = g * t | Geschwindigkeit bei freiem Fall aus 0 m/s
v = 9,81 * ? (x /(0,5*9,81)) | Geschwindigkeit bei Aufprall in Knautschzone

F = m * v² / (2 (s2 - s1)) | Kraft bei Aufprall
s1 = x m | Höhe bis Aufprall in Knautschzone
s2 = 50 m | Höhe des Haus
50 m - x | Höhe der Knautschzone
m = 90 kg | Gewicht des Stuntman

F = 90 * (9,81 * Wurzel (x /(0,5*9,81)))² / (2 (50 - x)) | Kraft bei Aufprall
F = 2000N | die Aufprallkraft soll 2000N betragen
90 * (9,81 * Wurzel (x /(0,5*9,81)))² / (2 (50 - x)) = 2000
x = 34,6873 m

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

m = Masse Stuntman
h = Höhe Haus
l = Höhe Polster ??
Delta l = Höhenänderung Polster

Bewegungsgleichung Deine Rechnung

Energieerhaltung

Potentielle Energie der Masse m = Verformungsarbeit am Polster

Auf welche Rechnung sollte sich der Stuntman verlassen?

k.man3 · Gast

Also also Stundman würde ich mich auf keine der Formeln verlassen, zumal das ja ach vom Aufprallwinkel und der Beschaffenheit der Knautschzone abhängt, aber mit der Energieformel bekommt man auch x = mgh / (F + mg)
Also auch 15,31 Meter. Das sind etwa 2,27 G also deutlich weniger als z.B. ein Formel 1 Fahrer oder ein Jetpilot aushalten muss. Mit der zweiten Rechnung müsste er nur 0,13G aushalten und damit etwa 6 mal weniger als beim bremsen mit einem PKW. Ist auf jeden Fall sicherer smile

Um dem mal näher auf den Grund zu gehen, folgende Fragen:

a) Ein nicht verformbarer 107,78 Kilo schwerer Quader mit Grundfläche von 0,3m⋅0,2m und einer Höhe von 1,80m, fällt aus 100m Höhe so ins Wasser mit einer Dichte von 0,998 g/cm3, dass er mit der Fläche Grundfläche 0,3m⋅0,2m aufkommt. (Das Gewicht ist so gewählt, dass der Quader weder schwimmen noch sinken sollte).

Wie weit taucht er ins Wasser ein?
Wie hoch ist die Kraft bei Aufprall auf dem Wasser?
Wie hoch ist der Druck pro Quadratmeter bei Aufprall auf dem Wasser?
Wie hoch ist die Kraft, die bei Aufprall auf die Fläche 0.3m⋅0,2m wirkt?
Wirkt die Kraft auf die Fläche kontinuierlich, bis die Geschwindigkeit 0ms erreicht ist?

b) Ein nicht verformbarer 107,78 Kilo schwerer Quader mit einer Grundfläche von 0,3m⋅0,2m und einer Höhe von 1,80m, fällt aus 100m Höhe so ins Wasser mit einer Dichte von 0,998 g/cm3, dass er mit der Fläche Fläche 1,8m⋅0,3m aufkommt.

Wie weit taucht er ins Wasser ein?
Wie hoch ist die Kraft bei Aufprall auf dem Wasser?
Wie hoch ist der Druck pro Quadratmeter bei Aufprall auf dem Wasser?
Wie hoch ist die Kraft, die bei Aufprall auf die Fläche 1,8m⋅0,3m wirkt?
Wirkt die Kraft auf die Fläche kontinuierlich, bis die Geschwindigkeit 0ms erreicht ist?

c) Der Quader wird so umgestaltet, dass er bei gleichem Gewicht und Volumen ein Keil bildet mit der Grundfläche 0,3m⋅0,2m und senkrecht mit der Spitze zuerst eintaucht.

Eintauchgeschwindligkeit und Energie sollen in allen 3 Fällen gleich sein.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

@K.man
1. Bei senkrechtem Fall ist der Auftreffwinkel 90°.
2. In meiner Energieglchg. ist das Material des Polsters implizit berücksichtigt:
W= 1/2* F*Delta l
F = D*Delta l ; D = Materialkonstante
W = 1/2*D* (Delta l)^2
3. Zeige bitte die Herleitung Deiner Energieglchg: x = m*g*h/(F+m*g) = h/(1+F/m*g)

k.man4 · Gast

Es geht ja um einen Fall von einem 50 m hohen Haus in eine Knautschzone von x Metern, die vom Boden aus aufgebaut wird. Fallhöhe ist also 50 - x.

E = mgh | Potentielle Energie
F = ma
x | Höhe der Knautschzone
E = mg(h-x) | Potentielle Energie bei Aufprall auf Knautschzone
E = max | Energieabbau über Höhe der Knautschzone mit der Bremsbeschleunigung a

mg(h-x) = max
F = m*a einsetzen
mg(h-x) = Fx
mgh-mgx = Fx
mgh = Fx + mgx
mgh = x(F + mg)
x = mgh / (F + mg)
x = 90 *9,81*50/(2000 + 90 *9,81) ≈ 15,31 m | für F = 2000 N

Ich frag' mich aber, ob auch die Gewichskrafts mit berücksichtigt werden muss, da sie ja auch während des "Bremsvorgangs" wirkt.
x = 90 *9,81*50/(2000 – 90 * 9,81 kg + 90 *9,81) ≈ 22,075 m
für F = 2000 N – 90 * 9,81 kg

Allerdings ist die Gewichtskraft ja auch noch nach dem "Bremsvorgang" also bei 0 m/s weiterhin vorhanden.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

@k.man4
Beide Ansätze, sowohl die Bewegungsgleichung als auch Deine Energiegleichung, gehen von der falschen Annahme aus, dass die auf die Masse wirkende Kraft während der Formänderung des Polsters konstant ist.
Bei einer Verformung im Hookschen Bereich steigt die auf die Masse wirkende Kraft linear mit der Längenänderung des Polsters an.

Es gilt

K.man5 · Gast

Mit der potentiellen Energie kommt man darauf:

mg(h-x) + mgx = max
mg(h-x) + mgx = Fx
mgh - mgx + mgx = Fx
mgh = Fx
x = mgh/F

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Verschlimmbesserung

Das korrekte Ergebnis lautet

bei gegebener Materialkonstante D

k.man6 · Gast

k.man7 · Gast

Mit

kommt man auch auf 39,52 m Knautschzone bei 50 Meter Fall und 90 kg , bzw. 22,07 m bei 90 kg und 50 m - 22,07 m Fall.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Ich greife Deinen Energieansatz auf.

Fallhöhe =

Diese Energie wird in Verformungsarbeit W des Puffers umgewandelt

Es gilt

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Eine Knautschzone, bei der die Kraft proportional mit dem Weg ansteigt wie bei einer Feder, wäre allerdings ungünstig. Im optimalen Fall ist die Kraft möglichst konstant. Die Verformung ist ja ausser bei einem sehr geringem Aufprall auch plastisch, nicht elastisch.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

K.man9 · Gast

Also wenn der Stuntman in Kartons springt könnte es einigermaßen hinkommen, dass die „Bremskraft“ konstant ist. Das ist auch bei einer linieren Feder nicht der Fall. Die Federkraft steigt über die gesamte Strecke s linear mit der Anspannung der Feder. Daher funktioniert es wohl mit der Federformel nicht.

Dennoch wundert mich:

Ein Gewicht das an eine Feder gehängt wird hatte die potentielle E = mgh, also E=F*h

Wenn die Feder in h entspannt war, sollte die Energie der durch das Gewicht gespannten Feder
E = 0,5 D h² betragen

Mit D = F/h kommt man auf E = 0,5 F*h

Fehlt nun die Hälfte der Energie?

Die Spannenergie ist auch als Integral definiert

F(s) = F
F = D * s
Aufteilung: E(s) = 0,5 D * s²
Integral 0 bis h = E(h) - E(0)
E(h) = 0,5 D * h² - 0,5 D * 0
E(h) = 0,5 D * h²

E(h) = 0,5 h²*F/h
E= 0,5 F*h

Es ist ja ein Dreieck also E = F*h / 2

Erklärt jedenfalls, warum du die doppelte „Bremsstrecke“ als Ergebnis hattest.

Dennoch nicht ganz nachvollziehbar, das die Spannenergie nur die Hälfte der potentiellen Energie E = mgh sein soll.

Die Formel x = mgh/F hab ich noch mal mittels v = a*t und s = 0,5 a t^2 kontrolliert und bin wieder auf die 22,07 m Knautschzone gekommen.

s1 = 0,5*g*t1² = 0,5 *9,81* t1²

F = m*a => 2000 – 90*9,81 = 90 * a
=> a = 12,4122
a = Bremsbeschleunigung
Die Gewichtskraft wurde abgezogen, da sie ja beim freien Fall weiterhin der Aufprallkraft entgegen wirkt

S2 = 0,5*a*t2² = 0,5 *12,4122* t2²
S2 = h – S1
=> 0,5 *12,4122* t2² = 50 - 0,5 *9,81* t1²

v1 = v2
g*t1 = a*t2
t1 = a*t2/g
=> t1 ≈12,4122*t2/9,81

0,5 *12,4122* t2² = 50 - 0,5 *9,81* (12,4122*t2/9,81)²
=> t2 ≈ 1,8859 ; t1 ≈ 2,3861
=> s2 ≈ 0,5 *12,4122* 1,8859² ≈ 22,07m

Die Knautschzone muss etwa 22,07m Meter dick sein.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Ka.man10 · Gast

Du müsstest ja schon das gleich s einsetzen:

E_pot = 90*9,81*50 = 44.145 KNm
E_spann = 1/2 *2.000*50 = 50.000 KNm

Zudem kann man die Federkraft ja auch ändern.

E_pot = 90*9,81*50 = 44.145 KNm
E_spann = 1/2 *1.000*50 = 25.000 KNm

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

K.man12 · Gast

Na ja, ist ja logisch, dass mit der Formel bei der doppelten Länge des Wegs die Spannenergie gleich der potentiellen Energie ist. Dann stimmt aber die Kraft nicht überein. Denn die Federkraft ist dann doppelt so hoch wie die Gewichtskraft. Die Federkraft D*h muss aber wohl immer gleich der Gewichtskraft m*g*h sein.

Dafür scheint es aber eine Lösung zu geben:

Konkret für D = 35,316 N/m und 90 Kilo ist die Spannenergie und die potentielle Energie bei 50 Metern ausgeglichen. Die Gewichstkraft aber bei 25 Metern.
Eine Lösung wäre, dass das Gewicht zunächst eine Längung der Feder auf 50 Meter verursacht, dann aber von der Feder wieder letzlich auf auf 25 Meter hoch gezogen wird, wobei die Feder die Arbeit in Form der "fehlenden" Energie verrichtet. Damit wären bei 25 Metern sowohl Kraft als auch Energie ausgeglichen.

Ka.man_Ergänzung · Gast

90 kg; 50 m Höhe; D = 35,316 N/m

Potentielle_Engergie bei Start 50m Höhe 90⋅9,81⋅50=44145 Nm
Gewichtskraft 882,9 N
Spann_Engergie bei 50m Höhe = 0 Nm
Federkraft = 0 N

Potentielle_Engergie bei 0m Höhe =0
Gewichtskraft 882,9 N
Spann_Engergie bei 0m Höhe 0,5⋅35,316⋅ 50² =44145 Nm
Federkraft = 2 * Gewichtskraft 882,9 N

Potentielle_Engergie bei 25m Höhe =22072,5 Nm
Gewichtskraft 882,9 N
Federkraft = Gewichtskraft
Benötigte Energie um das Gewicht von 0 auf 25m Höhe zu heben =22072,5 Nm

So gesehen ist es ausgeglichen

Allerdings beträgt die Spann_Engergie bei 25m Höhe noch =11036,25 Nm
So gesehen ist jetzt zuviel Energie vorhanden ......

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

k.man15 · Gast

In welcher Höhe kommt denn nach deiner Rechnung das Gewicht zum Stillstand?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

ka.man16 · Gast

Auf Null kann das Gewicht nicht zum stehen kommen, denn dort ist die Federkraft doppelt so hoch wie die Gewichtskraft. Das Gewicht wird also wieder in die Höhe beschleunigt. Auf halber Höhe sind zwar Gewichtskraft und Federkraft ausgeglichen, aber die potentielle und Spann_Energie nicht. Müsste es also noch kinetische Energie geben, das Gewicht also theoretisch nie zum stehen kommen?

90 kg; 50m Höhe; D=35,316Nm

Potentielle_Engergie bei Start 50m Höhe 90⋅9,81⋅50 =44145 Nm
Spann_Engergie bei 50m Höhe =0 Nm
In Bewegungsrichtung wirkende Kraft: 882,9N Gewichtskraft

Potentielle_Engergie bei 0m Höhe =0 Nm
Spann_Engergie bei 0m Höhe 0,5⋅35,316⋅ 50² =44145 Nm
In Bewegungsrichtung wirkende Kraft: Federkraft - Gewichtskraft =882,9N

S_Engergie (0m)44145 Nm abzüglich S_Engergie (25m)11036,25 Nm =33108,75 Nm

Es müssten also 33108,75 Nm Spann_Energie in andere Energien umgewandelt werden, wenn das Gewicht in 25m zum stehen käme. Es wären dann noch da:

P_Engergie (25m)22072,5 Nm + S_Engergie (25m)11036,25 Nm =33108,75 Nm

Aber eigentlich geht bei den Rechnungen keine Energie verloren. Stecken die fehlenden 11036,25 Nm in kinetischer Energie? Also kommt das Gewicht theoretisch nie zum Stillstand?

Gewichtskraft 882,9N
Federkraft bei 25m=D⋅s=35,316Nm⋅25= Gewichtskraft

In 25m Höhe sind auf jedenfalls die Kräfte ausgeglichen, wenn das an einer linearen Feder mit der Federkonstante D=35,316Nm befestigte 90 kg Gewicht zuvor 50m tief fällt.
Das es zunächst 50 Meter fällt ergibt sich aus

P_Energie (50m)= S_Energie (0m)

mgh =0,5D h²
mg =0,5Dh
h= 2mg/D
h=2⋅90⋅9,8135,316
h=50

Man könnte das jetzt noch mit Geschwindigeit, Zeit und Beschleunigung gegenrechnen, allerdings ist die Beschleunigung nicht konstant. Bis 25m sollte das Gewicht abnehmend beschleunigt werden, danach zunehmend abgebremst, da dann die Kraft der Feder stärker wird als die Gewichtskraft.

Die Frage ist, wie hoch schwingt das Gewicht, nachdem es zunächst 50m gefallen war?

Die Beschleunigung sollte jedefalls auf 50m Höhe und auf 0 Meter Höhe zunächst gleich sein, da beides mal 882,9N in Bewegungsrichtung wirken und 44145 Nm vorhanden sind.

ka.man_ · Gast

Sieht so aus, als ob alles symmetrisch wäre

(mg - D(h0 - h))/ mg = h/h0 - (h0 - h)/h0
1 - D(h0 - h)/mg = - 1 + 2h/h0

Die Kräfte in Bewegungsrichtung und kinetische Energie sollten z.B. nach 0,5 * Höhe ± 25% gleich sein, d.h. das das Gewicht theoretisch wohl wieder auf 50 m Höhe schwingt, dann wieder fällt, usw. solange keine Energie auf andere Weise umgewandelt wird.

k.man__ · Gast

Zusammenfassend kann man wohl sagen, bei 2.000 N kontimuiertlich wirkender „Bremskraft“, bzw. 2.000 N - 90 kg *9,81 m/s² tatsächlich wirkender „Bremskraft“, zB. bei einem Sprung in Kartons müsste die Knautschzone theoretisch 22,07 m dick sein.

mgh = Fs
90 kg * 9,81 m/s² * 50 = 2000*s
s = 22,07 m

Anders siehts allerdings aus, wenn man 90 kg Gewicht in eine Feder springen würde. Die potentielle Energie von 50 m Höhe muss dann der Spannenergie bei 0 m entsprechen.

mgh = 0,5 * D * s²
D = F/s
mgh = 0,5 * F * s
90 kg * 9,81 m/s² * 50 = 0,5 * 2000 * s
s = 44,145 m

Das ist das doppelte des „Bremswegs“ beim Sprung in Karton, da die „Bremskraft“ der Feder ja nicht kontinuierlich wirkt, sondern sich bis von 0 N bis 2000 N mit F_Spann = 0,5 * F_maximal * s aufbaut. Da wird auch klar, dass der "Bremsweg" s dann doppelt so lang sein muss im Vergleich zum Fall, dass die Bremskraft kontinuierlich wirkt.

Die Energie ist dann auf 0 Meter Höhe ausgeglichen, allerdings beträgt dann die Kraft, die das Gewicht wieder nach oben katapultiert 2000N.

F= D * S
D = 45,3052
45,3052 * 44,145 = 2000 N

2000 N sind das 2,27 fache der Gewichtskraft.
Der Springer würde also nicht auf Null Meter bleiben sondern zumindest theoretisch wohl wieder auf 50 m Höhe katapultiert werden.

Ich habe das dann mal für den Fall, dass ein Gewicht von 90 kg an einer Feder befestigt ist und die Höhe 50m auch dem Federweg entspricht (D=35,316) nachgerechnet. Die Kraft, Beschleunigung und kinetische Energie verteilen sich dann symmetrisch zur Hälfte der Strecke.

(mg - Ds)/ mg = (h - s)/h0
=>
(mg - D(h0 - h))/ mg = h/h0 - (h0 - h)/h0

Es ergeben für diesen Fall folgende Formeln, die man sicher auch anders formulieren kann.

F_momentan = (2h/h0 - 1) * g *m
a_momentan = (2h/h0 - 1) * g
E_kinetisch = |(h²/h0 - h) * g *m|
v = √|(2 (h²/h0 - h) *g)|, mit h € [0;50]

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Es muss noch die innere Beschleunigungsarbeit der Masse M des Puffers berücksichtigt werden.

v_x: v an der Stelle x

M = 240 kg

Geht man davon aus, dass ein Mensch eine Verzögerung von ca. 5g (F = 4.500 N) ertragen kann, erhält man

Man könnte noch den Energieverlust der fallenden Masse durch Luftwiderstand berücksichtigen. Das ist mir zu aufwändig.