Drehimpulsoperator

pejosh · Anmeldungsdatum: 08.03.2004 Beiträge: 27

Hallo, wir haben auf dem aktuellen Übungszettel

http://e1.physik.uni-dortmund.de/e1b/vorlesung/physik3/U04.pdf

Aufgabe 3, eine Aufgabe zum Drehimpulsoperator.

Nun soll man dort ja das Quadrat von L bestimmen.

L hat aber in den Einträgen so tolle Ableitungen stehen und ich weiß jetzt nicht so ganz, wie ich das quadrieren soll.

Das ist ja das L. Und wie berechnet man dann L²? Ist ds imgrunde das Skalarprodukt von L mit sich selbst? Wenn ja, wie quadriert man dann die binomischen Formeln mit den Ableitungen darin?

Hoffe, mir kann jemand helfen.

Gruß,

pejosh

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Da du auf den Laplaceoperator in Kugelkoordinaten Bezug nehmen sollst, würde ich gleich alles auf Kugelkoordinaten transformieren.

In den Einheitskoordinaten

,

und

schreibt sich der Nablaoperator wie folgt:

Das habe ich übrigens aus dem Jackson, kann aber als "bekannt" vorausgesetzt werden.

In diesem Koordinatensystem (Dreibein) kann man nun L (wie üblich) als

schreiben, wobei man das "x" sehr einfach als

schreibt.

Wenn du das Kreuzprodukt nun durchziehst (natürlich in diesem Dreibein), wirst du sehen, dass sehr viel Ballast verschwindet, da ja x hier nur eine einzige Komponente hat. Es verbleibt ein relativ einfacher Vektorausdruck für L, der nur

und

Komponenten hat. Das muss nun noch quadriert werden (inneres Produkt) und du hast das gewünschte Resultat vor dir stehen!

PS:

pejosh · Anmeldungsdatum: 08.03.2004 Beiträge: 27

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Hab es jetzt hinbekommen. Allerdings hab ich noch eine Verständnisfrage. Du hast ja geschrieben, dass x nur diesen einen Eintrag hat. Aber woher weiß ich das?

Gruß,

pejosh

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Weil der Vektor x (siehe Bild) eben keine Komponente in Richtung der anderen Einheitsvektoren hat. Ich hoffe es wird anhand des Bildes deutlich.

Irgendwie ist das so klar, dass ich mir schwer tue es zu beschreiben.