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Nachricht |
team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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 team-welle Verfasst am: 19. März 2025 16:50 Titel: Herleitung Energiesatz |
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Meine Frage:
Ich versuche seit längerem die Herleitung des Energiesatzes zu verstehen. Mir geht es hier nur um die Umformungen.
Mir will einfach nicht klar werden wie das sein kann:
)
Ich kann den Term als zeitliche Ableitung schreiben:
)
Aber was soll
sein?
und vorallem .. woher kommt das
?
Meine Ideen:
Ich habe schon an vieles gedacht und vieles Probiert aber ich komme nie bis zum Ende. Es sieht so einfach aus und doch fehlt mir dieses eine Puzzlestück um es zu verstehen.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2143
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 19. März 2025 17:13 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Mir will einfach nicht klar werden wie das sein kann:
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Das ist einfach die Kettenregel:
d/dt[f(t)]² = 2*f(t)*df(t)/dt
mit f(t) = dr(t)/dt
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 19. März 2025 17:14 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: | Mir will einfach nicht klar werden wie das sein kann:
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Von rechts nach links ist das einfach. Du musst nur die Kettenregel anwenden. Von links nach rechts ist es schwieriger. Bei der Integration ist es hilfreich, wenn man weiß was raus kommt.
| team-welle hat Folgendes geschrieben: | |
Das ist nicht richtig. Wenn Du die rechte Seite nach der Produktregel ausrechnest, dann wirst Du es sehen.
| team-welle hat Folgendes geschrieben: | Aber was soll
sein? |
Das wäre das Produkt aus Ort und Geschwindigkeit. Aber das ist nicht das was oben steht.
| team-welle hat Folgendes geschrieben: | und vorallem .. woher kommt das
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Das m steht auf beiden Seiten und der Faktor 1/2 resultiert aus der Integration der linken Seite (bzw er verschwindet bei der Ableitung).
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3563
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| ML Verfasst am: 19. März 2025 23:38 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Bei der Integration ist es hilfreich, wenn man weiß was raus kommt. |
Das ist auch ganz allgemein betrachtet nützlich 
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team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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| team-welle Verfasst am: 20. März 2025 09:09 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Mir will einfach nicht klar werden wie das sein kann:
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Das ist einfach die Kettenregel:
d/dt[f(t)]² = 2*f(t)*df(t)/dt
mit f(t) = dr(t)/dt
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meinst du:
)^2 = 2\cdot f(t)\cdot \frac{\dd f}{\dd t} )
mit
 = \frac{\dd \vec{r} }{\dd t} = \dot{\vec{r} } )
?
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2143
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 20. März 2025 11:36 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: |
meinst du:
mit
? |
Ja, im Prinzip. Die Abkürzung f ist natürlich ebenfalls ein Vektor und das Produkt zwischen Vektoren ist als Skalarprodukt gemeint. Sorry, war etwas schlampig notiert, aber die wesentliche Information ist, dass es hier einfach um die Anwendung der Kettenregel handelt.
Viele Grüße,
Nils
_________________
Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. März 2025 12:18 Titel: |
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 = \frac{\dd}{\dd t} \left(\frac{m}{2}\cdot \dot{r} \cdot \dot{r} \right) = \frac{m}{2} \cdot (\dot{r} \cdot \ddot{r}+ \dot{r} \cdot \ddot{r}) = m\cdot \dot{r} \cdot \ddot{r})
qed
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team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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| team-welle Verfasst am: 20. März 2025 12:45 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
)
qed |
Ich verstehe das so:
 = \frac{m}{2} (\dot{\vec{r} } \cdot \ddot{\vec{r} }+ \dot{\vec{r} } \cdot \ddot{\vec{r} }))
Man verändert den Term also erstmal in dieser Hinsicht.
Falls meine Umformung richtig wäre, wäre es danach ein Leichtes für mich mit der Rückwärtsanwendung der Produktregel zum nächsten Schritt zu kommen.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 20. März 2025 14:19 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: | | Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Mir will einfach nicht klar werden wie das sein kann:
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Das ist einfach die Kettenregel:
d/dt[f(t)]² = 2*f(t)*df(t)/dt
mit f(t) = dr(t)/dt
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meinst du:
mit
? |
Genauer gilt hier..
 = \sqrt{\frac{m}{2}} \cdot \dot r(t))
PS: f^2 ist dann die kinetische Energie..
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. März 2025 14:47 Titel: |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe das so:
Man verändert den Term also erstmal in dieser Hinsicht.
Falls meine Umformung richtig wäre, wäre es danach ein Leichtes für mich mit der Rückwärtsanwendung der Produktregel zum nächsten Schritt zu kommen. |
Ich verstehe nicht was Du meinst. Da ) und ) habe ich E mit der Produktregel direkt nach t abgeleitet.
Mit der Kettenregel erhält man das gleiche Ergebnis
 } \cdot \frac{\dd (\dot{r})}{\dd \dot{t}} = m\cdot \dot{r} \cdot \ddot{r} )
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Skalarprodukt
Gast
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| Skalarprodukt Verfasst am: 20. März 2025 14:57 Titel: Re: Herleitung Energiesatz |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: | Aber was soll
sein? |
Skalarprodukt.
Macht aus 2 Vektoren 1 Skalar.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 20. März 2025 15:04 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Mit der Kettenregel erhält man das gleiche Ergebnis
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Genauer hier..
Um den "Energiesatz" (= mechanisches Energieerhaltungsgesetz) herzuleiten, brauchst du dann noch eine (konservative) "Potentialkraft" und das Newtonsche "Grundgesetz der Dynamik"..
)
mit dann..
 = - \frac{dE_{pot}}{dt})
PS: um den Energiesatz in 3D (Vektoren) herzuleiten, brauchst du noch das mathematische Konzept des "Gradienten"..
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team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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| team-welle Verfasst am: 20. März 2025 15:30 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Ich verstehe das so:
Man verändert den Term also erstmal in dieser Hinsicht.
Falls meine Umformung richtig wäre, wäre es danach ein Leichtes für mich mit der Rückwärtsanwendung der Produktregel zum nächsten Schritt zu kommen. |
Ich verstehe nicht was Du meinst. Da und habe ich E mit der Produktregel direkt nach t abgeleitet.
Mit der Kettenregel erhält man das gleiche Ergebnis
|
Um zu verstehen wie man Schritt für Schritt von hier
nach dort
)
kommt habe ich ersterem eine 2 reingemogelt
 )
um anschließend das Produkt der Geschwindigkeit und der Beschleunigung als Addition zu schreiben.
 = \frac{m}{2} (\dot{\vec{r} } \cdot \ddot{\vec{r} }+ \dot{\vec{r} } \cdot \ddot{\vec{r} })) (Ist diese Gleichung richtig? Ich warte noch auf bestätigung)
Damit kann ich dann erkennen, dass man von hier
 )
nach hier
)
kommt indem man einfach mit der Produktregel den Term ausrechnet.
Zum Schluss gehe von hier
nach hier
und bin fertig.
Das mit der Kettenregel habe ich nicht verstanden aber das reicht mir auch erstmal wenn Obiges korrekt ist. Vielen Dank schonmal an Alle für die vielen Antworten!!
Das Potenzial was natürlich dazugehört habe ich hier bewusst weggelassen, da es mir nur um die Umformung der kinetischen Energie ging.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 20. März 2025 15:42 Titel: |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Um zu verstehen wie man Schritt für Schritt von hier
nach dort
kommt habe ich ersterem eine 2 reingemogelt.
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Um den Energiesatz herzuleiten, brauchst du das doch gar nicht.
Da reicht "links nach rechts", um mit der Zeitableitung der kinetischen Energie zu starten.
Wenn du "rechts nach links aufleiten" willst, musst du nur eine Stammfunktion zur rechten Seite finden, und das ist die kinetische Energie (plus Konstante, die man auch auf Null nivellieren kann).
PS: im allgemeinen ist das "Ableiten" aber einfacher als das "Aufleiten" (Integration)..
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. März 2025 19:51 Titel: |
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Stammfunktion
 }{\dd t}\cdot \dd r = m\cdot \int \dd (\dot{r})\cdot \dot{r} = \frac{m}{2}\cdot \dot{r} ^{2} )
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dasich
Gast
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| dasich Verfasst am: 20. März 2025 20:43 Titel: |
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Das funktioniert aber nur bei Invarianz der Zeit.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 20. März 2025 21:53 Titel: |
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Du vermischst ständig den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für die Funktion E(t)
mit dem Energieerhaltungssatz
Ersterer ist allgemeingültig, letzterer nicht.
Dein Problem ist schlicht die Differentialrechnung.
Im vorliegenden Fall entspricht E der kinetischen Energie, d.h. mit
und somit
folgt für konservative Kraftfelder
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6202
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| Myon Verfasst am: 21. März 2025 08:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Im vorliegenden Fall entspricht E der kinetischen Energie, d.h. mit
und somit
folgt für konservative Kraftfelder
|
Im dreidimensionalen Fall gilt dies allerdings nicht? Ich meine, bei einer gleichförmigen Kreisbewegung in einem anziehenden 1/r-Potential gilt Ekin=const., aber a und F sind ungleich 0.
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team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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| team-welle Verfasst am: 21. März 2025 08:42 Titel: |
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Zur Vollständigkeit möchte ich zeigen, dass ich mich bei obiger Formel auf Folgendes beziehe: (Siehe Anhang)
Beschreibung: Ausschnitt aus dem Buch "Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr" von Markus Otto (erste Ausgabe) Seite 305
| Beschreibung: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. März 2025 09:09 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Im vorliegenden Fall entspricht E der kinetischen Energie, d.h. mit
und somit
folgt für konservative Kraftfelder
|
Im dreidimensionalen Fall gilt dies allerdings nicht? Ich meine, bei einer gleichförmigen Kreisbewegung in einem anziehenden 1/r-Potential gilt Ekin=const., aber a und F sind ungleich 0. |
Danke für den Einwand, der zweite Absatz in meinem Beitrag ist besch…eiden formuliert. Das beginnt bereits mit dem Begriff des konservativen Kraftfeldes, da dies nach den den meisten Definitionen z.B. ein Magnetfeld und die daraus resultierende Lorenzkraft ausschließt, diese jedoch andererseits keine Arbeit verrichtet, da sie immer senkrecht auf der Geschwindigkeit steht.
Vorsichtiger formuliert folgt aus
nur
Unter der Zusatzannahme
folgt also nur
Wegen F = ma ist dies äquivalent zu
Letzteres lässt z.B. eine nicht-verschwindende Lorentzkraft bei gleichzeitiger Energieerhaltung zu.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. März 2025 09:23 Titel: |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: | Zur Vollständigkeit möchte ich zeigen, dass ich mich bei obiger Formel auf Folgendes beziehe: (Siehe Anhang)
Beschreibung: Ausschnitt aus dem Buch "Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr" von Markus Otto (erste Ausgabe) Seite 305 |
Die Darstellung ist doch OK *. Was genau, welche Umformung oder Argumentation ist denn daran unklar?
*) Nur der Satz "Schreibt man beide Seiten als zeitliche Ableitung, so erhält man durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel …" sagt nicht das, was tatsächlich gerechnet wird: man schreibt nicht beide Seiten als zeitliche Ableitung und verwendet dann die Kettenregel rückwärts. Besser wäre "durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel kann man beide Seiten als zeitliche Ableitung schreiben …"
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 21. März 2025 13:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | *) Nur der Satz "Schreibt man beide Seiten als zeitliche Ableitung, so erhält man durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel …" sagt nicht das, was tatsächlich gerechnet wird: man schreibt nicht beide Seiten als zeitliche Ableitung und verwendet dann die Kettenregel rückwärts. Besser wäre "durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel kann man beide Seiten als zeitliche Ableitung schreiben …" |
Das ist vielleicht etwas unglücklich formuliert.
Aber ich denke, der Autor meint mit "Rückwärtsanwendung", dass man (mit ein bisschen Erfahrung)
"Produkte von Funktionen" als Ableitung mit Kettenregel einer dieser Funktionen erkennt..
f(x) * f'(x) = 1/2 * [f^2(x)]'
ZB.
 \cdot cos(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} sin^2(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} cos^2(x))
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. März 2025 13:49 Titel: |
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Stimmt, aber das war auch nicht mein Punkt.
Der Satz des Autors suggeriert, "zuerst schreibt man beide Seiten als zeitliche Ableitung, dann erhält man durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel …" Es ist aber gerade umgekehrt.
Egal, Kleinigkeit.
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team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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| team-welle Verfasst am: 21. März 2025 14:27 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | team-welle hat Folgendes geschrieben: | Zur Vollständigkeit möchte ich zeigen, dass ich mich bei obiger Formel auf Folgendes beziehe: (Siehe Anhang)
Beschreibung: Ausschnitt aus dem Buch "Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr" von Markus Otto (erste Ausgabe) Seite 305 |
Die Darstellung ist doch OK *. Was genau, welche Umformung oder Argumentation ist denn daran unklar?
*) Nur der Satz "Schreibt man beide Seiten als zeitliche Ableitung, so erhält man durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel …" sagt nicht das, was tatsächlich gerechnet wird: man schreibt nicht beide Seiten als zeitliche Ableitung und verwendet dann die Kettenregel rückwärts. Besser wäre "durch Rückwärtsanwendung der Kettenregel kann man beide Seiten als zeitliche Ableitung schreiben …" |
Die Frage war wie man von hier
nach dort
kommt. Wie Ihr schon bemerkt habt ist das, was der Autor schreibt nicht ganz das, was oder wie er die Terme umgeformt hat. Es geht also um diese Umformung. Ich hatte bereits gezeigt wie ich es verstehe und warte noch darauf, dass mir jemand sagt, dass es so richtig ist.
Hier nochmal:
Um zu verstehen wie man Schritt für Schritt von hier
nach dort
kommt habe ich ersterem eine 2 reingemogelt
um anschließend das Produkt der Geschwindigkeit und der Beschleunigung als Addition zu schreiben.
(Ist diese Gleichung richtig? Ich warte noch auf bestätigung)
Damit kann ich dann erkennen, dass man von hier
nach hier
kommt indem man einfach mit der Produktregel den Term ausrechnet.
Zum Schluss gehe von hier
nach hier
und bin fertig.
Ist das so richtig? Kann man das so sagen? Habe ich etwas grundsätzliches Missverstanden? Es geht mir nur um das richtige Umformen und das Nachvollziehen dieser.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. März 2025 14:59 Titel: |
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Im Folgenden steht r für einen Vektor.
Der Autor wendet die Produktregel an (man kann natürlich auch mit der Kettenregel argumentieren)
 = \frac{1}{2} \left( \dot{r}\ddot{r} + \ddot{r} \dot{r}\right) = \dot{r}\ddot{r} )
Nun liest er diese Zeile von rechts nach links, und da es sich um eine Äquivalenzumformung handelt, ist er fertig.
Nach deiner Erklärung denke ich, dass du es verstanden hast. Aber irgendwie bist du dir unsicher und suchst nach Rechtfertigungen für jeden winzigen Schritt. Mit etwas Erfahrung sieht man das; die Rechenmethode heißt "Lösen durch Hinschauen" 😉
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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team-welle
Anmeldungsdatum: 22.02.2025
Beiträge: 12
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| team-welle Verfasst am: 21. März 2025 15:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Im Folgenden steht r für einen Vektor.
Der Autor wendet die Produktregel an (man kann natürlich auch mit der Kettenregel argumentieren)
Nun liest er diese Zeile von rechts nach links, und da es sich um eine Äquivalenzumformung handelt, ist er fertig.
Nach deiner Erklärung denke ich, dass du es verstanden hast. Aber irgendwie bist du dir unsicher und suchst nach Rechtfertigungen für jeden winzigen Schritt. Mit etwas Erfahrung sieht man das; die Rechenmethode heißt "Lösen durch Hinschauen" 😉 |
Super, danke. Ja dieses Hinschauen und erkennen muss ich noch lernen. Ja ich bin mir noch sehr unsicher was das angeht aber dank Eurer Hilfe bin ich einen Schritt weiter gekommen. Vielen Dank an Euch alle!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. März 2025 15:09 Titel: |
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👍
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 21. März 2025 16:28 Titel: |
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| team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Super, danke. Ja dieses Hinschauen und erkennen muss ich noch lernen. Ja ich bin mir noch sehr unsicher was das angeht aber dank Eurer Hilfe bin ich einen Schritt weiter gekommen. Vielen Dank an Euch alle! |
Jup, letztlich geht es bei deinem Weg mathematisch um "Aufleitung", eine Stammfunktion für die rechte Seite (deren Ableitung genau diese ergibt) zu finden.
Und da hilft viel "Erfahrung". Der Weg von "links nach rechts" als Ableitung der kinetischen Energie ist da einfacher und führt zum selben Ziel, um den Energiesatz herzuleiten.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 21. März 2025 17:07 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | team-welle hat Folgendes geschrieben: |
Super, danke. Ja dieses Hinschauen und erkennen muss ich noch lernen. Ja ich bin mir noch sehr unsicher was das angeht aber dank Eurer Hilfe bin ich einen Schritt weiter gekommen. Vielen Dank an Euch alle! |
Jup, letztlich geht es bei deinem Weg mathematisch um "Aufleitung", eine Stammfunktion für die rechte Seite (deren Ableitung genau diese ergibt) zu finden.
Und da hilft viel "Erfahrung". Der Weg von "links nach rechts" als Ableitung der kinetischen Energie ist da einfacher und führt zum selben Ziel, um den Energiesatz herzuleiten. |
Du kannst dir ja auch mal überlegen, was dieser letzterer Weg bei veränderlicher Masse m(t) ((nicht-relativistisch)) bedeutet..
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