Rechenschritt bei Herleitung des Dirac-Hamiltonoperators

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Liebe Physiker-Board Community,

Die Sachen findet ihr alle in der Datei.

Ich verstehe nicht, wie der Autor auf den letzten Schritt auf dem letzten Bild kommt.

chi ist gegeben, und ich habe bei meinem Ansatz die adjungierte davon schonmal gebildet.

Jedoch ist das Problem, dass das Potential varphi vom Ort abhaengt und somit nicht mit dem Impulsoperator kommutiert.

Die Terme der Ordnung v^4/c^4 sind vernachlaessigbar. sigma ist der Vektor mit Pauli-Matrizen.

Das Buch ist: Nolting Quantenmechanik 5/2, Abschnitt 5.3.4

Vielen Dank fuer Eure Hilfe im vorraus!

Uebrigens:

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Ein bisschen Information zum Kontext wäre nicht schlecht. Ich gehe davon aus, es geht um die Dirac- bzw. die Pauli-Gleichung, nicht relativistische Näherungen, Foldy–Wouthuysen-Transformationen …Richtig?

Welche Gleichung will er lösen?

Was genau bezeichnen die Zustände? Insbs. eta und psi? Was ist alpha? Bzw. was ist psi-Dach?

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Hallo TomS,

danke erstmal fuer deine Antwort.

Die relevanten Seiten haenge ich in der Datei an.

Der Kontext ist die Herleitung der Spin-Bahn Wechselwirkung mit dem nicht relativistischen Grenzfall der Dirac Theorie.

ist die 'kleine Komponente' und

ist die 'Grosse Komponente' des Dirac Spinors.

ist der

ersetzende Zustand, der die korrekte Normierung besitzt:

Mein Problem ist eigentlich nur ein algebraischer Rechenschritt:

Ziel ist es erstmal dieses (hermitesche)

zubestimmen.

Das gelingt durch Vergleich mit dem Ausdruck rechts.

Den Ausdruck fuer chi erhalte ich beim nachrechnen auch.

Jedoch kann ich nicht nachvollziehen wie er auf den angegebenen Ausdruck fuer

kommt. In meinem handgeschriebenen Ansatz hab ich schonmal (hoffentlich richtig)

gebildet. Aber da das Potential varphi vom Ort abhaengt kann man ja nicht die Terme einfach vertauschen wegen dem Impulsoperator.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Der letzte Schritt sind die führenden Terme der Rechnung:
- Die 1 in den Klammern kommt von <psi-hat|psi.-hat>
- Der nächste Term ist der führende Term von chi. Wegen p ~v ist der formal von Ordnung v^2/c^2.
- Alle anderen Terme sind höherer Ordnung: Wegen T+e*phi ~v^2 sind die offensichtlich v^2/c^4, aber da p ~v, sind sie v^4/c^4.

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

Danke erstmal fuer deine Antwort!

Im pdf-Anhang hab ich mal das ausprobiert, jedoch bin ich mir nicht sicher ob ich deinen Weg auch verstanden habe. Kannst du bitte mal rueberschauen?

Jedoch erhalte ich vor dem zweiten Term ein Minuszeichen, und im Buch ist es ein Pluszeichen.

Ich glaube das Minuszeichen kommt beim adjungieren von chi, da

gilt.

Und ausserdem: warum ist der Impulsoperator proportional zu v?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

OkTennis · Anmeldungsdatum: 29.04.2024 Beiträge: 45

weiss sonst irgendjemand warum bei mir das Vorzeichen anders ist ?