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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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 MBastieK Verfasst am: 19. Jan 2025 00:09 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: |  jep |
Danke.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | im Vielteilchenraum (Tensorproduktraum) |
Solche kleinen Hinweise mag ich.
Besteht zwischen Vielteilchen-Raum und Tensorprodukt-Raum eine Äquivalenz-Beziehung oder nur eine Implikations-Beziehung? D.h. hat man zwingend einen Vielteilchen-Raum, wenn man einen Tensorprodukt-Raum hat?
Nette Grüsse
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Ohne Rekursion ist Bewusstsein oder Kognition nur rudimentär. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 19. Jan 2025 00:12 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Hierzu aber noch eine mathematische Notiz am Rande:
typischerweise betrachtet man in der Quantemechanik den Hilbertraum
)
also den Raum der quadratintegrablen Funktionen auf dem Raum R^3. Das beschreibt ein einzelnes Teilchen im 3D-Raum. Es gilt nun aber
\hat{=}L^2(R) \otimes L^2(R) \otimes L^2(R) )
Das  heißt hier "ist isomorph zu".
Das heißt der Einteilchenraum in 3 Raumdimension ist nichts anderes als ein Tensorprodukt von 3 Einteilchenräumen in nur einer Dimension. Es ist hier also nicht hunderprozentig sinnvoll in Tensorproduktraum und Nicht-Tensorproduktraum zu unterscheiden. Ich hoffe das stiftet jetzt nicht zu viel Verwirrung.
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Was wäre dafür ein Beispiel?
Die 3-D-Wellenfunktion, das ein einzelnes Teilchen beschreibt, ist das Tensor-Produkt aus den eindimensionalen Wellenfunktionen?
Wie sieht das bei Zustandsvektoren aus, die einen Spin in drei Raumrichtungen beschreiben?
Lebt ein Zustandsvektor mit mehreren Quantenzahlen in einem Tensorproduktraum aus den einzelnen Räumen für jede Quantenzahl? |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 00:30 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Prinzipiell hast du immer wenn dem System Freiheitsgrade hinzugefügt werden ein Tensorprodukt. |
siehe auch hier nochmal meine Anmerkung:
=L^2(R) \otimes L^2(R) \otimes L^2(R) ) .
Hier kannst du auch jede weitere Raumdimension als weiteren Freiheitsgrad verstehen, und jede Raumdimension wird über Tensorierung als Freiheitgrad hinzugefügt.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach
Zuletzt bearbeitet von Corbi am 19. Jan 2025 11:53, insgesamt einmal bearbeitet |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 00:43 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Was wäre dafür ein Beispiel?
Die 3-D-Wellenfunktion, das ein einzelnes Teilchen beschreibt, ist das Tensor-Produkt aus den eindimensionalen Wellenfunktionen?
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fast...man kann jede 3-D-Wellefunktion durch eine Summe von Tensorprodukten von eindimensionalen Wellenfunktionen approximieren (also durch ein Limit dieser darstellen)
| Zitat: |
Lebt ein Zustandsvektor mit mehreren Quantenzahlen in einem Tensorproduktraum aus den einzelnen Räumen für jede Quantenzahl? |
Nein, die Quantenzahlen z.B. beim Wasserstoff-Atom charakterisieren verschiedene Eigenzustände des Hamiltonians also verschiedene Mögliche Zustände die das Elektron einnehmen kann. Alle diese Zustände leben aber im Einteilchenraum. Erst wenn man den Spin zusätzlich als Quantenzahl einführt muss man einen Tensorraum betrachten. Die typischen Quantenzahlen l,m,n kommen aber ohne Tensorstruktur aus.
| Zitat: | | Wie sieht das bei Zustandsvektoren aus, die einen Spin in drei Raumrichtungen beschreiben? |
der Spin-Hilbertraum ist einfach C^2, egal ob wir einen 1,2 oder 3-dimensionalen Ortsraum betrachten. Dieser Zustandsraum ist also nicht direkt an die Dimension des zugrundliegenden Ortsraums geknüpft.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 19. Jan 2025 00:46 Titel: |
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Okay, danke  |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 08:56 Titel: |
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| Zitat: | Was wäre dafür ein Beispiel?
Die 3-D-Wellenfunktion, das ein einzelnes Teilchen beschreibt, ist das Tensor-Produkt aus den eindimensionalen Wellenfunktionen? |
dazu noch einfach einfaches konkretes Beispiel. Betrachte die drei eindimensionalen Gaußschen Wellenfunktionen:
)
wenn du daraus das Tensorprodukt bildest ist das im Wesentlichen dasselbe wie das Produkt dieser Wellenfunktionen
)
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
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| MBastieK Verfasst am: 19. Jan 2025 12:35 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Nein man hat nicht zwingend einen Vielteilchenraum wenn man einen Tensorproduktraum hat. |
Okay. Vielen Dank.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 19. Jan 2025 16:04 Titel: |
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Wie ist denn der Zusammenhang von Schrödinger-Differential-Gleichung bzw. Schrödinger-Potential ψ und der Dirac-Notation? Soll die Dirac-Notation helfen eine Lösung für die Schrödinger-Differential-Gleichung zu finden?
Wie ist denn der Zusammenhang des (vermeintlich) skalaren Schrödinger-Potentials ψ in der Schrödinger-Differential-Gleichung und dem Symbol ψ in z.B.
2. von hier:
5. von hier:
)
6. von hier:
Sind die Symbole öfters zufällig gleich gewählt?
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 16:27 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Wie ist denn der Zusammenhang von Schrödinger-Differential-Gleichung bzw. Schrödinger-Potential ψ und der Dirac-Notation? Soll die Dirac-Notation helfen eine Lösung für die Schrödinger-Differential-Gleichung zu finden?
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Nein, die Dirac-Notation an sich trägt rein garnichts zur Lösung der Schrödinger-Gleichung bei. Wesentlich für die Lösung der Schrödingergleichung ist das Spektraltheorem. Dieses garantiert allein durch die Selbstadjungiertheit des Hamiltonians, dass eine Lösung für die Schrödingergleichung existiert (auch wenn das Spektraltheorem nicht unbedingt dabei hilft die Lösung explizit anzugeben)
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 16:30 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Sind die Symbole öfters zufällig gleich gewählt?
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ja, dass psi oder phi wählt man häufig zufällig als Symbol für beliebige Zustände. Die phi, psi für sich haben keine Standardbedeutung oder folgen irgendeiner Konvention in ihrer Bedeutung.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 19. Jan 2025 18:05 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | ja, dass psi oder phi wählt man häufig zufällig als Symbol für beliebige Zustände. |
Ah ok, danke. Verstehe.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Nein, die Dirac-Notation an sich trägt rein garnichts zur Lösung der Schrödinger-Gleichung bei. |
Aber alle Tätigkeiten innerhalb der Dirac-Notation müssen der Schrödinger-Gleichung genügen? D.h. existieren immer im Kontext der Schrödinger-Gleichung und einer möglichen Lösung des (vermeintlich) skalaren Potentials ψ der Schrödinger-Gleichung? Oder gibt es auch mit der Dirac-Notation aufgestellte Formeln, die unabhängig von der Schrödinger-Gleichung sind?
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 19. Jan 2025 18:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 19. Jan 2025 18:10 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Wie ist denn der Zusammenhang von Schrödinger-Differential-Gleichung bzw. Schrödinger-Potential ψ und der Dirac-Notation?
[...]
Sind die Symbole öfters zufällig gleich gewählt?
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Nein, das ist kein Zufall, ψ oder  ist das übliche Symbol für einen QM-Zustand und steht für einen Vektor oder eine Funktion.
(Warum Sie das "Schrödinger-Potential" nennen, ist mir nicht ganz klar.)
=> https://de.wikipedia.org/wiki/Wellenfunktion |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 19. Jan 2025 18:37 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Wie ist denn der Zusammenhang von Schrödinger-Differential-Gleichung bzw. Schrödinger-Potential ψ und der Dirac-Notation?
[...]
Sind die Symbole öfters zufällig gleich gewählt?
|
Nein, das ist kein Zufall, ψ oder ist das übliche Symbol für einen QM-Zustand und steht für einen Vektor oder eine Funktion.
(Warum Sie das "Schrödinger-Potential" nennen, ist mir nicht ganz klar.)
=> https://de.wikipedia.org/wiki/Wellenfunktion |
Die Frage war ob das ψ-Symbol in einer Dirac-Notations-Formel wie z.B. hier:
5. von hier:
)
immer das Symbol (oder Formel-Element) ψ in folgender Formel bzw. Gleichung anspricht:
 = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t))
welche die quanten-physik-typische Schrödinger-Gleichung ist.
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 19:11 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Nein, das ist kein Zufall, ψ oder ist das übliche Symbol für einen QM-Zustand und steht für einen Vektor oder eine Funktion.
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genau, ich wollte nur sagen, man meint damit im allgemeinen keinen bestimmten Zustand, wie z.B. nur solche die der Schrödignergleichung genügen oder ähnliches.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 19:14 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
immer das Symbol (oder Formel-Element) ψ in folgender Formel bzw. Gleichung anspricht:
welche die quanten-physik-typische Schrödinger-Gleichung ist.
Nette Grüsse |
in Dirac-Notation würde man übrigens schreiben
 \right> = \hat{H} \left| \psi(t) \right> )
und mit  meint man nicht nur Vektoren die die Schrödingergleichung lösen. Man kann bezeichnet damit oft auch beliebige andere Zustände.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 19:20 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Aber alle Tätigkeiten innerhalb der Dirac-Notation müssen der Schrödinger-Gleichung genügen? D.h. existieren immer im Kontext der Schrödinger-Gleichung und einer möglichen Lösung des (vermeintlich) skalaren Potentials ψ der Schrödinger-Gleichung? Oder gibt es auch mit der Dirac-Notation aufgestellte Formeln, die unabhängig von der Schrödinger-Gleichung sind?
Nette Grüsse |
Dir Dirac-notation ist im Allgemeinen Unabhängig von der Schrödingergleichung und damit gibt es auch Formeln innerhalb der Dirac-Notation, die unabhängig von der Schrödingergleichung sind.
Ein Beispiel wäre, dass man die Pauli-Matrizen in der Dirac-Notation geschickt als Tensorprodukte von Bras und Kets darstellen kann. Das ist vollkommen unabhängig von der Schrödingergleichung.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 19. Jan 2025 19:21 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Die Frage war ob das ψ-Symbol in einer Dirac-Notations-Formel wie z.B. hier:
5. von hier:
immer das Symbol (oder Formel-Element) ψ in folgender Formel bzw. Gleichung anspricht:
welche die quanten-physik-typische Schrödinger-Gleichung ist. |
Ich gehe davon aus, dass ein ψ-Symbol in einer Dirac-Notations-Formel nicht immer das ψ-Symbol in der Schrödinger-Gleichung anspricht (oder entspricht.)
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Jan 2025 19:25 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Ich gehe davon aus, dass ein ψ-Symbol in einer Dirac-Notations-Formel nicht immer das ψ-Symbol in der Schrödinger-Gleichung anspricht (oder entspricht.)
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ja, das ist vollkommen richtig!
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 00:23 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ich gehe davon aus, dass ein ψ-Symbol in einer Dirac-Notations-Formel nicht immer das ψ-Symbol in der Schrödinger-Gleichung anspricht (oder entspricht.) |
ja, das ist vollkommen richtig! |
Okay. Danke.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | genau, ich wollte nur sagen, man meint damit im allgemeinen keinen bestimmten Zustand, wie z.B. nur solche die der Schrödignergleichung genügen oder ähnliches.
...
gibt es auch Formeln innerhalb der Dirac-Notation, die unabhängig von der Schrödingergleichung sind.
Ein Beispiel wäre, dass man die Pauli-Matrizen in der Dirac-Notation geschickt als Tensorprodukte von Bras und Kets darstellen kann. Das ist vollkommen unabhängig von der Schrödingergleichung. |
Ok. Ich dachte fälschlicherweise die Schrödingergleichung schwebt quasi immer über allem, um immer gelöst bzw. bedient zu werden.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 00:52 Titel: |
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Folge-Beitrag:
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | genau. Allerdings ist der Vektor A kein Vektor im ursprünglichen Hilbert Raum H, denn innerhalb eines Vektorraums ist es nicht möglich Vektoren zu multiplizieren und dabei neue Vektoren zu erhalten.
Bei dem Produkt handelt sich aber um ein Tensorprodukt und dieses Tensorprodukt lebt im Produktraum zweier Hilberträume
 .
Man kann also zwei Vektoren jeweils aus H_1 und H_2 nehmen und das Tensorprodukt bilden. Dieses Produkt ist dann aber kein Element mehr der ursprünglichen Hilberträume sondern es ist dann ein Vektor im Tensorproduktraum.
Immer dann wenn du ein System mit mehreren Teilchen oder mehreren Freiheitsgraden betrachtest musst du mit solchen Tensorprodukten arbeiten.
Wie dieses Tensorprodukt im Detail definiert wird ist etwas komplizierter. |
Tensorprodukt-Räume stehen ja im Zusammenhang mit oder sind eine Form von Bi- oder Multi-Linear-Formen, die ja eine Abbildung in einen (skalaren) Körper erfüllen oder erzeugen. D.h. nach meinem Verständnis beinhalten Tensorprodukt-Räume Abbildungen, die in einen (skalaren) Körper abbilden.
In welche (skalaren) Körper bilden die denn so üblicherweise ab? In (Orts-)Wahrscheinlichkeiten? Energie? So viele können es ja durch die körper-bedingte Eindimensionalität* nicht sein. Oder sind diese Körper (in ihren Einheiten) doch sehr indviduell? Weil quanten-physikalische Kontexte mit ihren Freiheits-Graden eventuell einen hohen Kombinations-Grad bzw. Kombinations-Möglichkeiten besitzen?
*Wenn man mal eine komplexe Zahl auch als eindimensional betrachtet
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Jan 2025 09:41 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Ich dachte fälschlicherweise die Schrödingergleichung schwebt quasi immer über allem, um immer gelöst bzw. bedient zu werden.
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naja ohne die Schrödingergleichung ist es auch unmöglich irgendwelche physikalischen Vorhersagen zu machen. Alles was ohne die Schrödingergleichung auskommt sind rein mathematische Zusammenhänge ohne physikalischen Inhalt.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Jan 2025 09:43 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
In welche (skalaren) Körper bilden die denn so üblicherweise ab? |
Die bilden in der Regel in den Skalarkörper des zugrundeliegenden Vektorraums ab, im Falle der Quantenmechanik also in die komplexen Zahlen.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 11:12 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | In welche (skalaren) Körper bilden die denn so üblicherweise ab? |
Die bilden in der Regel in den Skalarkörper des zugrundeliegenden Vektorraums ab, im Falle der Quantenmechanik also in die komplexen Zahlen. |
Ja, davon ging ich schon aus. Mir ging es eher um die physikalischen Einheiten bzw. Dimensionen. Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit ist ja ein dimensionsloses Skalar, aber Energie z.B. hat ja eine physikalische Dimension mit der Einheit W*s.
In welche pyhsikalischen Skalare oder Skalarkörper wird denn noch so abgebildet neben der Energie (oder Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit)?
Eine Antwort hat da nicht so eine hohe Priorität. Ich denke, das kann sich für mich auch so klären mit der Zeit bzw. Beschäftigung damit.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 12:27 Titel: |
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Folge-Beitrag:
Grundsatz-Frage:
Wenn das
einen Vektor darstellt (mit willkürlich gewähltem Symbol ψ), ist dies dann immer ein Vektor aus dem Hilbert-Raum? Oder anders: Ist der Ket-Vektor immer aus dem Hilbert-Raum?
Frage 2:
Sind Tensorprodukt-Räume immer Hilbert-Räume, im Kontext der Dirac-Notation*?
*welche(Dirac-Notation) ja wiederum im Kontext der Quantenmechanik steht bzw. dort überwiegend angewandt wird
Nette Grüsse
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 20. Jan 2025 13:11 Titel: |
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Um noch mehr Fragezeichen zu setzen und um alle Klarheiten zu beseitigen.
Geht es dabei nicht um Vektoren bzw. ob diese Spalten- oder Zeilenvektoren sind? Mittels der Notation wird das dann definiert?
Vielleicht ist Microsoft nicht die beste Quelle aber die Erklärungen scheinen nachvollziehbar...wobei ich natürlich nicht auf Richtigkeit wetten würde:
https://learn.microsoft.com/de-de/azure/quantum/concepts-dirac-notation
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Hinterfrage alles! Warum?
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 13:23 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Geht es dabei nicht um Vektoren bzw. ob diese Spalten- oder Zeilenvektoren sind? Mittels der Notation wird das dann definiert? |
So wie ich es verstanden haben sind die Bra-Vektoren aus dem Dual-Raum V* und sind Zeilen-Vektoren, während die Ket-Vektoren Spalten-Vektoren und aus dem Raum V sind. Aber selbst wenn dies wahr ist, bringt mich das noch nicht so richtig weiter, da ein Skalarprodukt eines Vektors aus einem Raum mit einem Vektor aus seinem Dualraum mir noch etwas komisch vorkommt.
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Jan 2025 13:24 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Folge-Beitrag:
Grundsatz-Frage:
Wenn das
einen Vektor darstellt (mit willkürlich gewähltem Symbol ψ), ist dies dann immer ein Vektor aus dem Hilbert-Raum? Oder anders: Ist der Ket-Vektor immer aus dem Hilbert-Raum?
Frage 2:
Sind Tensorprodukt-Räume immer Hilbert-Räume, im Kontext der Dirac-Notation*?
*welche(Dirac-Notation) ja wiederum im Kontext der Quantenmechanik steht bzw. dort überwiegend angewandt wird
Nette Grüsse |
Auf beide Fragen ist die Antwort ja!
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 13:25 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Folge-Beitrag:
Grundsatz-Frage:
Wenn das
einen Vektor darstellt (mit willkürlich gewähltem Symbol ψ), ist dies dann immer ein Vektor aus dem Hilbert-Raum? Oder anders: Ist der Ket-Vektor immer aus dem Hilbert-Raum?
Frage 2:
Sind Tensorprodukt-Räume immer Hilbert-Räume, im Kontext der Dirac-Notation*?
*welche(Dirac-Notation) ja wiederum im Kontext der Quantenmechanik steht bzw. dort überwiegend angewandt wird
Nette Grüsse |
Auf beide Fragen ist die Antwort ja! |
Cool, Danke.
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Jan 2025 13:40 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Aber selbst wenn dies wahr ist, bringt mich das noch nicht so richtig weiter, da ein Skalarprodukt eines Vektors aus einem Raum mit einem Vektor aus seinem Dualraum mir noch etwas komisch vorkommt.
Nette Grüsse |
Das ist eine gute Beobachtung und hier liegt auch der wesentliche Punkt bei der Dirac-Notation.
Man bildet nämlich kein Skalarprodukt von Bras mit Kets (das ist per Definition unmöglich).
Der Bra-Vektor lebt im Dualraum, also ist er eine lineare Abbildung von Hilbertraum in die komplexen Zahlen. Der Bra-Vektor "isst" also einen Ket-Vektor und spukt eine komplexe Zahl aus. Das ist an sich kein Skalarprodukt, sondern einfach die Wirkung eines Bras auf einen Ket.
Das notiert man durch
 .
Hier kommt jetzt aber der Rieszsche Darstellungssatz ins Spiel. (Ich notiere mal das Skalarprodukt zweier kets durch
 .)
Nach dem rieszschen Darstellungssatz gibt es nämlich zu jedem Ket |m>, ein Bra <m|, sodass
Jedes Skalarprodukt zweier Kets lässt sich also auch als "Bra isst Ket" darstellen. Genau das ist die wesentliche Idee der Dirac-Notation, also dass man einen bijektive Abbildung zwischen Bras und Kets hat und sich das Skalarprodukt zweier Kets dann immer als "Bra isst Ket" darstellen lässt.
Streng genommen sind das Skalarprodukt und die Operation "Bra isst Ket" also zwei verschiedene Dinge - nachdem Rieszschen Darstellungssatz ist es aber im wesentlichen Dasselbe, weshalb man dann in der Dirac-Notation einfach immer "Bra isst Ket" schreibt.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 14:39 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Hier kommt jetzt aber der Rieszsche Darstellungssatz ins Spiel. |
Ja, das habe ich mir vorher schon gedacht, dass er da irgendwie mitspielt.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Das notiert man durch
.
Hier kommt jetzt aber der Rieszsche Darstellungssatz ins Spiel. (Ich notiere mal das Skalarprodukt zweier kets durch
.)
Nach dem rieszschen Darstellungssatz gibt es nämlich zu jedem Ket |m>, ein Bra <m|, sodass
|
Also hier geht man dann quasi davon aus, dass man den definitiv existierend Vektor aus dem Raum V findet und nutzt, sodass man damit (über das Skalarprokukt im Raum V) rechnet? Anstatt man die im Dual-Raum lebende Abbildung m nutzt?
Diese Vorgehensweise müsste doch dann in Richtung des Prinzips 'Eigenvektor' gehen? Ist
dann der Eigenvektor von
??
Oder wie drückt man das in diesem Kontext aus? Falls man es kann.* Falls man es in dem Kontext nicht kann, muss man jetzt nicht Eigen-Wert und Eigen-Vektor erklären.
Edit:
*Man kann es nicht, weil: Ein Eigen-Vektor ist bezogen auf eine Abbildung von V nach V.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 20. Jan 2025 15:56 Titel: |
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@Corbi:
Also du möchtest hier zunächst explizit unterscheiden zwischen dem Skalarprodukt zweier Vektoren eines Hilbertraumes H und dem linearen Funktional aus dem Dualraum H*, das auf einen Vektor aus H wirkt. Wobei wir mit dem Rieszschen Darstellungssatz wissen, dass eine Isomorphie zwischen H und H* existiert, so dass wir beides in gewisser Weise identifizieren dürfen.
Dirac hat in dem zitierten Artikel nichts dazu geschrieben, diese Unterscheidung treffen zu wollen. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Jan 2025 16:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Corbi:
Also du möchtest hier zunächst explizit unterscheiden zwischen dem Skalarprodukt zweier Vektoren eines Hilbertraumes H und dem linearen Funktional aus dem Dualraum H*, das auf einen Vektor aus H wirkt. Wobei wir mit dem Rieszschen Darstellungssatz wissen, dass eine Isomorphie zwischen H und H* existiert, so dass wir beides in gewisser Weise identifizieren dürfen.
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ja aus didaktischen Gründen halte ich es für sinnvoll diese Unterscheidung erstmal zu machen. Insbesondere da mbastiek sich gewundert hat wie man aus Vektoren und Dualvektoren ein Skalarprodukt bilden kann, was natürlich nicht möglich ist, da das Skalarprodukt eine bilineare (sequilineare) Abbildung der Form
ist. Ohne zuerst diese Unterscheidung zu machen kann man ja auch nicht verstehen was dann der Rieszsche Darstellungssatz letztendlich aussagt.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 20:01 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Hier kommt jetzt aber der Rieszsche Darstellungssatz ins Spiel. (Ich notiere mal das Skalarprodukt zweier kets durch
.)
Nach dem rieszschen Darstellungssatz gibt es nämlich zu jedem Ket |m>, ein Bra <m|, sodass
Jedes Skalarprodukt zweier Kets lässt sich also auch als "Bra isst Ket" darstellen. Genau das ist die wesentliche Idee der Dirac-Notation, also dass man einen bijektive Abbildung zwischen Bras und Kets hat und sich das Skalarprodukt zweier Kets dann immer als "Bra isst Ket" darstellen lässt.
Streng genommen sind das Skalarprodukt und die Operation "Bra isst Ket" also zwei verschiedene Dinge - nachdem Rieszschen Darstellungssatz ist es aber im wesentlichen Dasselbe, weshalb man dann in der Dirac-Notation einfach immer "Bra isst Ket" schreibt. |
Es wirkt so als ob entweder die Abbildung im Dualraum V* oder der dazugehörige isomorphe (Partner\Pendant oder) Vektor im Raum V schwerer zu definieren, berechnen oder analytisch zu erhalten ist. Und man deswegen eher oder öfters einen von beiden mathematisch nutzt. Gibt es da so eine öfters oder markant auftretende Problematik oder Schwierigkeit in den mathematischen Berechnungen bzw. beim Aufstellen der Formeln, dass eines von beiden leichter oder schwieriger mathematisch-analytisch aufzustellen ist?
Nette Grüsse
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Ohne Rekursion ist Bewusstsein oder Kognition nur rudimentär. |
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 20. Jan 2025 23:24 Titel: |
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Folge-Beitrag:
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |  |
Mit Multiplikations-Zeichen bzw. Multiplikations-Zeichen wie hier:
ist es ein Skalar-Produkt!?!
Und ohne wie hier
ist es ein Tensor-Produkt?
Nette Grüsse
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 21. Jan 2025 00:15 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Hier kommt jetzt aber der Rieszsche Darstellungssatz ins Spiel. (Ich notiere mal das Skalarprodukt zweier kets durch
.)
Nach dem rieszschen Darstellungssatz gibt es nämlich zu jedem Ket |m>, ein Bra <m|, sodass
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Da sollte man IMO im vorliegenden Rahmen dazu sagen, dass bei der Bildung des Skalarproduktes von einem der beiden Vektoren in Komponentenschreibweise die konjungiert komplexen Komponenten hergezogen werden müssen.
Da finde ich die übliche Darstellung klarer. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
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| MBastieK Verfasst am: 21. Jan 2025 00:18 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Da finde ich die übliche Darstellung klarer. |
Falls ich da eine marginale Kritik herauslese:
Ich denke er hat das für Erklärungs-Zwecke herangezogen.
Nette Grüsse
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Ohne Rekursion ist Bewusstsein oder Kognition nur rudimentär. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. Jan 2025 06:31 Titel: |
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Alte vs. neue = Dirac-Notation
Vektoren
Skalarprodukt
 = m \cdot n = mn )
die Notation mit • wurde und wird in der QM nicht verwendet
Tensorprodukt
die Notation mn ist missverständlich, siehe oben Skalarprodukt
die letzte Notation wird fast ausschließlich verwendet, ggf. über die erste einmalig explizit eingeführt
Skalar- und Tensorprodukt
 )
ersteres ist im Tensorprodukt klar, für sich alleine nicht
Die Intention von Dirac war, dass in seiner Notation keine Zweifel bestehen, wie ein Ausdruck zu interpretieren ist. In seiner Notation ist jede Kombination von bras und kets immer eindeutig interpretierbar (oder unzulässig).
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 21. Jan 2025 13:01 Titel: |
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Danke.
Dieses Video wirkt vom Titel und den ersten Sekunden so, als ob die Mathematik bzw. die Dirac-Notation nicht behandelt wird. Was aber dann auf recht gute Weise passiert.
Dank Corbis Beitrag hier festigte sich etwas in mir, sodass ich in Arunas PDF mittlerweile etwas zurecht komme.
Danke.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | .
Man kann also zwei Vektoren jeweils aus H_1 und H_2 nehmen und das Tensorprodukt bilden. Dieses Produkt ist dann aber kein Element mehr der ursprünglichen Hilberträume sondern es ist dann ein Vektor im Tensorproduktraum. |
Ist dieser Vektor dann eigentlich eine zwei-dimensionale Matrix oder hat Matrix-Gestalt?
In meinem Buch gibt es eine Aussage über die Dimension eines Tensor-Produkts, die mich etwas verwirrt:
 = n \cdot m)
(definitv cdot)
(mit dim H_1 = n und dim H_2 = m)
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 21. Jan 2025 16:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. Jan 2025 16:10 Titel: |
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Nehmen wir zwei Vektorräume mit
} = 3)
} = 2)
Mittels zweier Basen
} = \{ e^{(a)}_1, e^{(a)}_2, e^{(a)}_3 \})
} = \{ e^{(b)}_1, e^{(b)}_2 \} )
schreibe ich Vektoren aus den beiden Räumen mittels Komponenten
} = a_1 e^{(a)}_1 + a_2 e^{(a)}_2 + a_3 e^{(a)}_3)
} = b_1 e^{(b)}_1 + b_2 e^{(b)}_2 )
Damit benötige ich für einen Vektor
} \otimes v^{(b)})
im Produktraum die Komponenten-Tupel
 \otimes (b_1, b_2) = \big( (a_1, b_1), (a_1, b_2) \ldots (a_3, b_2)\big))
also 3 * 2 = 6.
Übrigens haben wir das bereits in der klassischen Mechanik eines N-Teilchensystems. Dessen Konfigurationsraum, ausgehend vom 3-dim. Ortsraum, ist der Raum
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
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| MBastieK Verfasst am: 22. Jan 2025 00:15 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | (Warum Sie das "Schrödinger-Potential" nennen, ist mir nicht ganz klar.) |
Ich habe da noch die Schrödinger-Gleichung mangelhaft oder einseitig interpretiert.
Nette Grüsse
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