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MBastieK
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 MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 13:58 Titel: Dirac-Notation für klassisch physikalisches Beispiel |
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Hallo!
Ich verstehe die Dirac- oder Bra-Ket-Notation mit ihrer Syntax und Bedeutung bis jetzt garnicht. Ich versuche ihren Nutzen bzw. Vorteil sowie ihre Syntax zu verstehen. In diesem Thread wurde gesagt, dass die Dirac-Notation auch auf klassische Logik bzw. Physik angewandt werden kann.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Doch, Kets und Bras sind (bis auf Komplikationen in unendlich-dimensionalen Räumen) direkte Analoga zu Vektoren in der linearen Algebra, in einem Vektorraum und dessen Dualraum (in der Notation oft Spalten- und Zeilenvektoren). |
Vielleicht können wir das mal an einem rein klassischen Beispiel aufdrösseln, bei dem anstatt der Schrödinger-Differential-Gleichung bzw. das Schrödinger-Potenial Psi das klassische Vektor-Potential A mit seiner Differential-Gleichung (Lambda²)A + kA = 0 genutzt wird.
)
Ich gehe davon aus, dass diese beiden Beispiel so noch keinen vollständigen Sinn erfüllen und dementsprechend (leicht) nachgebessert werden müssen. Oder vielleicht habt ihr ja ein besseres oder sinnvolleres unkomplexes (d.h. sich auf das wesentliche konzentrierend) klassisches Beispiel, was das Prinzip, die Syntax und den vorrangigen Nutzen der Dirac-Notation gut erklärt. Edit: Was wäre die Gesamt-Bedeutung, wenn man die Dirac-Notation auf das Vektor-Potential anwendet? Überlagernde Vektor-Potentiale oder einzelne örtliche Vektoren eines Vektor-Potentials aus irgendeinem Grund hervorgehoben?*
Man könnte eine Erklärung mit dem Plus-Operator(+) beginnen. D.h. wieviele oder welche verschiedenen Anwendungs-Möglichkeiten dieser bietet. Was addiert man dort? Gibt es auch eine Mulitplikation mit ansonsten gleicher Syntax bzw. Formulierung in Form von:?
)
Wenn dieses Multiplikations-Beispiel extrem bescheuert, dann bitte nicht gleich darauf stürzen; mir wäre es lieber, wenn man sich ersteinmal auf den Plus-Operator konzentriert.
*Nachträglich hinzugefügt
Nette Grüsse
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Ohne Rekursion ist Bewusstsein oder Kognition nur rudimentär. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2025 15:02 Titel: Re: Dirac-Notation für klassisch physikalisches Beispiel |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | In diesem Thread wurde gesagt, dass die Dirac-Notation auch auf klassische Logik bzw. Physik angewandt werden kann. |
Die Problematik der nicht-klassischen Logik hat nichts mit irgendeiner Notation zu tun.
Grob gesprochen gilt in der klassischen Physik, dass eine Eigenschaft an einem System vorliegt, wenn eine entsprechende Größe (z.B. Ort, Impuls, Drehimpuls ...) einen entsprechenden Wert hat.
In der Quantenmechanik gilt, dass eine Eigenschaft an einem System vorliegt, wenn der Zustandsvektor des Systems ein Eigenvektor des zugehörigen Operators ist (z.B. Ortsoperator, Impulsoperator, Drehimpulsoperator ...) und damit ein Eigenwert vorliegt.
Beispiel für die Energie:
Klassisch: Das System S hat die Energie E genau dann, wenn seine Hamiltonfunktion H als Funktion der Orte und Impulse diesen Wert hat:
)
H ist dabei eine Funktion auf dem Phasenraum.
Quantenmechanisch: Das System S hat die Energie E genau dann, wenn sein Zustandsvektor psi ein entsprechender Eigenvektor des Hamiltonoperators ist; letzterer wieder ausgedrückt durch die Orts- und Impulsoperoren:
)
Das Problem ist die Negation, denn neben
existieren andere Möglichkeiten, z.B.
für die dem System überhaupt kein fester Energiewert zugeschrieben werden kann, da
Das kann man nicht nur in der Dirac-Notation ausdrücken, sondern in ganz normaler Vektornotation. Dirac hat lediglich diese teilweise praktischere Schreibweise eingeführt.
Siehe dazu der nächste Beitrag ... |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 15:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das System S hat die Energie E genau dann, wenn sein Zustandsvektor psi ein entsprechender Eigenvektor des Hamiltonoperators ist |
Gibt das nicht die Schrödinger-Gleichung her oder anders ausgedrückt; Ist das nicht durch die Schrödinger-Gleichung bedingt? Und ist dementsprechend unabhängig von der Dirac-Notation?
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 16. Jan 2025 15:32 Titel: Re: Dirac-Notation für klassisch physikalisches Beispiel |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | In diesem Thread wurde gesagt, dass die Dirac-Notation auch auf klassische Logik bzw. Physik angewandt werden kann.
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Wie TomS bereits angedeutet hat liegt der Mathematik der Quantenmechanik absolut keine andere Logik als der Mathematik der klassichen Physik zugrunde.
Beides mal arbeitest du mit denselben logischen Gesetzen innerhalb der Mengenlehre.
Wo die Quantenlogik dann eventuell ins Spiel kommt ist erst bei der Interpretation des mathematischen Formalismus, jedoch nicht beim mathematischen Formalismus der Quantenmechanik selbst.
Die Dirac-Notation birgt übrigens absolut nichts Wesentliches, um Quantenmechanik zu verstehen. Sie ist lediglich eine Schreibweise um sich bestimmte Zusammenhänge aus der linearen Algebra zwischen Vektorräumen und Ihren Dualräumen besser merken zu können. Die Dirac-notation wird auch nur von Physikern benutzt. Mathematiker die sich mit Quantenmechanik beschäftigen benutzen sie in der Regel überhaupt nicht - da sie wie gesagt nichts wirklich tiefes über die Struktur der Quantenphysik enthält.
Wenn du dazu mehr verstehen willst, würde ich dir viel eher empfehlen zuerst lernen was ein Dualraum und was der Rieszsche-Darstellungssatz ist. Dann verstehst du die Dirac-Notation ganz von selbst.
Und du kannst jeden Vektor aus der klassichen Physik auch als Ket-Vektor schreiben und jeden Vektor aus der Quantenmechanik in "standard" Vektornotation.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 15:40 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Die Dirac-Notation birgt übrigens absolut nichts Wesentliches, um Quantenmechanik zu verstehen.
...
Und du kannst jeden Vektor aus der klassichen Physik auch als Ket-Vektor schreiben und jeden Vektor aus der Quantenmechanik in "standard" Vektornotation. |
Das wusste ich bzw. davon ging ich aus. Deswegen die Intention dieses Threads.
Nette Grüsse
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2025 15:55 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe die Dirac- oder Bra-Ket-Notation mit ihrer Syntax und Bedeutung bis jetzt garnicht. Ich versuche ihren Nutzen bzw. Vorteil sowie ihre Syntax zu verstehen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Doch, Kets und Bras sind (bis auf Komplikationen in unendlich-dimensionalen Räumen) direkte Analoga zu Vektoren in der linearen Algebra, in einem Vektorraum und dessen Dualraum (in der Notation oft Spalten- und Zeilenvektoren). |
Vielleicht können wir das mal an einem rein klassischen Beispiel aufdrösseln, bei dem anstatt der Schrödinger-Differential-Gleichung bzw. das Schrödinger-Potenial Psi das klassische Vektor-Potential A mit seiner Differential-Gleichung (Lambda²)A + kA = 0 genutzt wird. |
Wir brauchen dazu keine Schrödingergleichung.
Wir betrachten ein klassisches System mit Energiefunktion H(x,p). Dann liefert H als Funktion von x, p einen Funktionswert E, den Wert der Energie. Der Zustand des Systems wird mittels der Werte der Variablen x(t), p(t) als Funktionen der Zeit t beschrieben; und daraus folgen alle weiteren Eigenschaften, z.B. E mittels H mit
 = \frac{p^2}{2m} + V(x))
In der Quantenmechanik muss H durch einen Operator ersetzt werden, der auf einem Zustandsraum wirkt. Folgende Notationen am Beispiel eines Energie-Eigenzustandes sind im wesentlichen äquivalent
 )
 )
)
 \right) \, \psi(x) = E \, \psi(x) \qquad (4))
(3) verwendet keiner, wäre aber exakt das selbe wie (1) und (2).
(4) gilt speziell in der Ortsdarstellung und da wieder nur für spezielle Systeme. Es gibt unendlich viele andere zulässige Darstellung. Und es gibt Systeme, für die der Hamiltonoperator eine andere Form hat, z.B. bei Anwesenheit von Magnetfeldern, für Spin-Systeme usw.
Außerdem könnte man H durch eine unendlich*unendlich-dimensionale Matrix und psi durch einen unendlich-dimensionalen Komponentenvektor darstellen.
Ohne weitere physikalische Erklärung das Skalarprodukt zweier Vektoren phi und psi:
 \qquad (1) )
 )
)
 \, \psi(x) \qquad (4))
Stellt man psi durch einen unendlich-dimensionalen Komponentenvektor dar
)
so gilt
)
(4) und (5) folgen aus (1 - 3) jeweils durch Wahl einer speziellen Basis; das kommt später.
Die Mathematiker verwenden für (4, 5) eine andere Konvention als die Physiker, die komplexe Konjugation * der Komponenten erfolgt bei ihnen für den zweiten Vektor psi, nicht für den ersten Vektor phi.
Das Problem ist also nicht die Dirac-Notation, sondern alleine die Tatsache, dass der Zustandsvektor in einem (i.A. unendlich-dimensionalen) Hilbertraum "lebt".
Zum Einstieg in die Quantenmechanik eignet sich die Diskussion von Spin-Systemen, da hier die Anzahl der Dimensionen des benötigten Hilbertraumes endlich ist, die mathematischen Regeln zur linearen Algebra exakt identisch. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 15:56 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du dazu mehr verstehen willst, würde ich dir viel eher empfehlen zuerst lernen was ein Dualraum und was der Rieszsche-Darstellungssatz ist. Dann verstehst du die Dirac-Notation ganz von selbst. |
Den habe ich schonmal kontextlos verstanden. Ich müsste in mir nochmal anschauen und jetzt im Kontext der Quanten-Mechanik bzw. Dirac-Notation neu interpretieren. Ähnliches bis gleiches gilt für den Dualraum.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2025 16:04 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du dazu mehr verstehen willst, würde ich dir viel eher empfehlen zuerst lernen was ein Dualraum und was der Rieszsche-Darstellungssatz ist. Dann verstehst du die Dirac-Notation ganz von selbst. |
Den habe ich schonmal kontextlos verstanden. Ich müsste in mir nochmal anschauen und jetzt im Kontext der Quanten-Mechanik bzw. Dirac-Notation neu interpretieren. Ähnliches bis gleiches gilt für den Dualraum. |
https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 16:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem |
Danke, aber ich habe schon eine gut abstrakte bzw. wesentliche Formulierung davon. Danke.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 16:57 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du dazu mehr verstehen willst, würde ich dir viel eher empfehlen zuerst lernen was ein Dualraum und was der Rieszsche-Darstellungssatz ist. Dann verstehst du die Dirac-Notation ganz von selbst. |
Geht es in der Quanten-Mechanik oder Quanten-Formalismus bzw. beim Mess-Prozess hauptsächlich um das Skalar-Produkt (bzw. die Abbildung in ein Skalar-Feld hinein)?
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 16. Jan 2025 17:33 Titel: |
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Mit "Skalar-Feld" meinst du vermutlich in einen Körper, oder? Also um eine Abbildung in den komplexen Zahlenkörper (der englische Begriff "Field" wird in diesem Zusammenhang ins Deutsche als "Körper" übersetzt.
Hier musst die begrifflich aufpassen. Mit Skalarfeld meint man nämlich in der Physik sonst eine skalarwertige Funktion im Raum.
Aber ja das Skalarprodukt erlaubt es dir aus dem Zustand in dem das System aktuell ist, und dem Eigenzustand des zugehörigen Messwertes, eine "skalare" Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Ebenso benötigt man ein Skalarprodukt um überhaupt erst zu definieren was ein selbst-adjungierter Operator ist.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 17:36 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Mit "Skalar-Feld" meinst du vermutlich in einen Körper, oder? |
Ja, genau, sorry. In meinem Mathe-Buch auch passend mit K deklariert.
Edit:
Ein Körper kann ja auch etwas sein, was Körper-Eigenschaften besitzt bzw. die Definition von Körper abdeckt oder bedient.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2025 18:11 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Geht es in der Quanten-Mechanik oder Quanten-Formalismus bzw. beim Mess-Prozess hauptsächlich um das Skalar-Produkt (bzw. die Abbildung in ein Skalar-Feld hinein)? |
Formalismus und Messprozess sind zwei verschiedene Paar Schuhe.
Hinter einem Messwert steckt eine Messung, also ein Versuchsaufbau, ein Mensch, eine Präparation des Quantensystems, eine Durchführung der Messung einer Messgrößer eine Aufzeichnung der Ergebnisse d.h. der Messwerte. Das ist der Messprozess.
Im Formalismus wird darüber praktisch nichts gesagt. Auch klassisch steckt im Formalismus hinter
F = ma, s = vt + at²/2 ...
keine Information, wie man die Kraft erzeugt oder misst, wie man die Zeit stoppt und die Geschwindigkeit bestimmt usw.
Im Formalismus der QM, und dabei in der minimalen / orthodoxen Textbuch-Ausprägung steckt mit der Bornschen Regel
 = \langle \psi | E_a| \psi \rangle )
die Wahrscheinlichkeit p(a), bei Vorliegen des Zustand psi den Eigenwert a als Messwert zu erhalten.
Dabei gehört zu der praktischen Messgröße ein selbstadjungierter Operator A, mit einer Menge an reellen Eigenwerten spec(A), darin
)
sowie den Eigenvektoren
und den Projektoren
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 21:16 Titel: |
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Hat man dann bei einer Spin-Up-Down-Verschränkung 2 Eigen-Werte bzw. Eigen-Vektoren?
Edit:
Heißt der selbst-adjungierte Operator selbst-adjungiert, weil er Eigen-Werte und Eigen-Vektoren erzeugt bzw. den Rieszsche Darstellungs-Satz erfüllt bzw. bedient?
Nette Grüsse
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 16. Jan 2025 21:46 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Heißt der selbst-adjungierte Operator selbst-adjungiert, weil er Eigen-Werte und Eigen-Vektoren erzeugt bzw. den Rieszsche Darstellungs-Satz erfüllt bzw. bedient?
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ich hätte jetzt gedacht, der heißt so, weil er zu sich selbst adjungiert ist....
Wie erzeugt ein Operator Eigen-Vektoren? |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 21:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ich hätte jetzt gedacht, der heißt so, weil er zu sich selbst adjungiert ist.... |
Das klingt aussagen-schwach bis tautologisch.
In meinem Buch habe ich den Begriff nun gefunden und er scheint mit der Umkehr-Funktion* im Zusammenhang zu stehen:
T selbst-adjungiert :<=> T = T*
gilt als selbst-adjungiert, mit T als lineare Transformation oder Abbildung.
Edit:
*Umkehr-Funktion ist hier als Begriff falsch gewählt worden von mir
Nette Grüsse
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Zuletzt bearbeitet von MBastieK am 17. Jan 2025 01:20, insgesamt einmal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 16. Jan 2025 22:06 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | ich hätte jetzt gedacht, der heißt so, weil er zu sich selbst adjungiert ist.... |
Das klingt aussagen-schwach bis tautologisch.
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Für mich klingt das logisch, bzw. nach der üblichen Verwendung von Adjektiven
Ein grünes Auto nennt man grünes Auto, weil es grün ist.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
In meinem Buch habe ich den Begriff nun gefunden und er scheint mit der Umkehr-Funktion im Zusammenhang zu stehen:
T selbst-adjungiert :<=> T = T*
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ja genau, damit können Sie den zwischen ein Bra und ein Ket packen und er kann sowohl nach rechts, wie auch nach links wirken |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 16. Jan 2025 22:36 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
ja genau, damit können Sie den zwischen ein Bra und ein Ket packen und er kann sowohl nach rechts, wie auch nach links wirken |
Damit kann man dann z.B. zeigen, dass ein selbst-adjungierter Eigenvektor reelle Eigenwerte hat. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 16. Jan 2025 23:01 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Hat man dann bei einer Spin-Up-Down-Verschränkung 2 Eigen-Werte bzw. Eigen-Vektoren?
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nein, eine Verschränkung wird durch einen Zustand (Vektor) charakterisiert. Eigenvektoren und Eigenwerte werden aber durch einen Operator charakterisiert. Die Spin-Operatoren (Pauli-Matrizen) haben jeweils zwei Eigenwerte und zwei Eigenzustände. Das muss aber nichts mit einer Verschränkung zu tun haben.
| Zitat: |
Edit:
Heißt der selbst-adjungierte Operator selbst-adjungiert, weil er Eigen-Werte und Eigen-Vektoren erzeugt bzw. den Rieszsche Darstellungs-Satz erfüllt bzw. bedient?
Nette Grüsse |
Ein Operator heißt selbstadjunigert, wie Aruna richtig sagt, wenn er identisch zu seinem adjungierten Operator ist. Der adjungierte Operator
eines Operators
 is definiert durch
 .
Für einen selbstadjungierten Operator gilt
Der Rieszsche Darstellungssatz hat erstmal nichts mit Operatoren zutun sondern damit, dass der Hilbertraum mit seinem Dualraum identifiziert werden kann. Das heißt in der Sprache der Dirac-Notation, dass es eine eindeutige Zuordnung zwsichen Bra- und Ket-Vektoren gibt. Das heißt für jeden Ket Vektor
gibt es einen eindeutigen Bra Vektor
 und umgekehrt.
Ket Vektoren sind dabei Elemente des Hilbertraums, während Bra Vektoren Elemente seines Dualraums sind.
Das es diese eindeutige Zuordnung gibt erscheint einem in dieser Notation vielleicht erstmal trivial. Wenn man das streng mathematisch beweisen möchte ist es das aber absolut nicht!
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 16. Jan 2025 23:08 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
ja genau, damit können Sie den zwischen ein Bra und ein Ket packen und er kann sowohl nach rechts, wie auch nach links wirken |
nein! Der Operator wirkt immer nach rechts! Er ist ist eine Abbildung vom Hilbertraum in den Hilbertraum. Man kann zwar auch direkt eine Wirkung auf einen Bra Vektor definieren aber das ist nutzlos und stiftet nur Verwirrung.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 16. Jan 2025 23:33 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du dazu mehr verstehen willst, würde ich dir viel eher empfehlen zuerst lernen was ein Dualraum und was der Rieszsche-Darstellungssatz ist. Dann verstehst du die Dirac-Notation ganz von selbst. |
Hat man die Dirac-Notation entwickelt, weil es einen leichteren Umgang mit der speziellen Form der Schrödinger-Differential-Gleichung und seiner Anforderung oder Erfordnis von Eigen-Werten und Eigen-Vektoren erlaubt? Die Schrödinger-Differential-Gleichung hat für mich Ähnlichkeiten mit der Definition eines Eigen-Werts bzw. Eigen-Vektor: Tx = ax mit x als Eigen-Vektor und a aus K als Eigenwert. Oder interpretiere ich da zuviel hinein?
Ich verstehe noch nicht die Essenz des Ganzen.
Nette Grüsse
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 16. Jan 2025 23:41 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
ja genau, damit können Sie den zwischen ein Bra und ein Ket packen und er kann sowohl nach rechts, wie auch nach links wirken |
nein! Der Operator wirkt immer nach rechts! Er ist ist eine Abbildung vom Hilbertraum in den Hilbertraum. Man kann zwar auch direkt eine Wirkung auf einen Bra Vektor definieren aber das ist nutzlos und stiftet nur Verwirrung. |
was unterscheidet meine Aussage von dieser Definition?
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
is definiert durch
.
Für einen selbstadjungierten Operator gilt
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bzw. kann ich die nicht auch so schreiben?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 17. Jan 2025 00:00 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du dazu mehr verstehen willst, würde ich dir viel eher empfehlen zuerst lernen was ein Dualraum und was der Rieszsche-Darstellungssatz ist. Dann verstehst du die Dirac-Notation ganz von selbst. |
Hat man die Dirac-Notation entwickelt, weil es einen leichteren Umgang mit der speziellen Form der Schrödinger-Differential-Gleichung und seiner Anforderung oder Erfordnis von Eigen-Werten und Eigen-Vektoren erlaubt? Die Schrödinger-Differential-Gleichung hat für mich Ähnlichkeiten mit der Definition eines Eigen-Werts bzw. Eigen-Vektor: Tx = ax mit x als Eigen-Vektor und a aus K als Eigenwert. Oder interpretiere ich da zuviel hinein?
Ich verstehe noch nicht die Essenz des Ganzen.
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Das vereinfacht IMO halt für mathematisch Normalbegabte* das Rechnen.
Vielleicht hilft es, wenn man mit einfacheren Zuständen anfängt, Spin-1/2-Systeme und deren Basisdarstellungen:
)
 ist hier einer der beiden Eigenvektoren des Operators, der mit einer Messung an einem Spin-1/2-Zustand in x-Richtung assoziiert wird.
Den kann man darstellen als Superposition der beiden Eigenvektoren des Operators, der mit einer Messung in z-Richtung assoziert wird.
Siehe auch hier:
https://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-II_17/05_18.pdf
wenn mir jemand das mit dem ' in Latex erklärt, gebe ich auch das klassische optische Analogon wieder, dass ich im anderen Thread angesprochen hatte...
*) das meine ich in Abgrenzung zu Theoretikern und Mathematikern, die eventuell über den schlampigen Umgang entsetzt sind.... |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 17. Jan 2025 00:24 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Vielleicht hilft es, wenn man mit einfacheren Zuständen anfängt, Spin-1/2-Systeme und deren Basisdarstellungen:
ist hier einer der beiden Eigenvektoren des Operators, der mit einer Messung an einem Spin-1/2-Zustand in x-Richtung assoziiert wird.
Den kann man darstellen als Superposition der beiden Eigenvektoren des Operators, der mit einer Messung in z-Richtung assoziert wird.
[....]
wenn mir jemand das mit dem ' in Latex erklärt, gebe ich auch das klassische optische Analogon wieder, dass ich im anderen Thread angesprochen hatte...
|
Da mir das nun erklärt wurde, hier das Analogon, wie es z.B. in "Modern Quantum Mechanics" von Sakurai angeführt wird:
In der klassischen Elektrodynamik hat man das Analogon von linear polarisiertem Licht, hier kann man z.B. das E-Feld einer EM-Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet und in der xz-Ebene schwingt, schreiben als:
)
(mit  Einheitsvektor in x-Richtung)
analog, wenn das E-Feld in der yz-Ebene schwingt:
)
Wenn man diese Beiden Felder überlagert erhält man eines, dass in
x'z-Ebene schwingt, wobei x' die Richtung in der Winkelhalbierenden zwischen x- und y-Achse bezeichnet:
 =E_0\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\hat{x}cos(kz-\omega t)+ \hat{y}cos(kz-\omega t)\right]) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 00:39 Titel: |
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Nochmal zur Frage der Selbstadjungiertheit:
Ein Operator A ist symmetrisch, wenn für alle phi, psi
Er ist selbstadjungiert, wenn außerdem
und dabei insbs. die Definitionsbereiche identisch sind.
Der Unterschied ist in der linearen Algebra mit endlich-dimensionalen Vektorräumen nicht gegeben.
Ein Beispiel eines nicht-selbstadjungierten Operators ist der Impulsoperator auf den positiven reellen Zahlen. I.A. ist der Unterschied für eine oberflächliche Einführung irrelevant – man sollte nur wissen, dass es einen gibt. Spricht ein Physiker von einem hermiteschen Operator, weiß er um den Unterschied vermutlich nicht wirklich …
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Jan 2025 11:22, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 00:52 Titel: |
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Zum 2-Spin- bzw. allgemein n-Teilchen-System muss das Tensorprodukt mehrerer Vektorräume verstanden sein.
Für ein Spin-1/2 Teilchen hat ein Spinoperator – z.B. bzgl. der z-Richtung – zwei Eigenzustände +1/2 und -1/2. Der Hilbertraum H ist 2-dim. (Zustände bzw. Operatoren können als 2-Vektoren bzw. 2*2-Matrizen dargestellt werden).
Polarisation ist etwas anderes als Spin, aber das folgende gilt gleichermaßen.
Eine Basis eines derartigen Raumes wäre z.B.
Haben wir nun zwei Teilchen, so haben wir den Raum
und die Basis
wobei man oft kurz
schreibt.
Anschaulich klar, für zwei Teilchen gibt es je zwei Möglichkeiten, insgs. vier, also ist der resultierende Raum 4-dim.
Jetzt wieder zur Unterscheidung zwischen Polarisation für Photonen d.h. Bosonen und Spin-1/2 für Fermionen. Dies erzwingt aus physikalischen Gründen, dass nur Zustände auftreten dürfen, die unter Vertauschung symmetrisch bzw. antisymmetrisch sind. Das gilt es zu beachten, hat jedoch nichts mit der reinen Mathematik zu tun.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Jan 2025 01:21, insgesamt 9-mal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1485
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| MBastieK Verfasst am: 17. Jan 2025 00:59 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | bzw. kann ich die nicht auch so schreiben?
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Ist das nicht eine Vermischung von 2 verschiedenen Syntaxen? Oder ist die Dirac-Syntax aus dieser Syntax entstanden?
Weil
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Der adjungierte Operator
eines Operators
is definiert durch
.
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das
ist in meinem Buch mit runden Klammern und Komma definiert:
 =( f , A^*g ) )
.Ist das:
schon Dirac- bzw. Bra-Ket-Syntax?????????????
Nette Grüsse
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Ohne Rekursion ist Bewusstsein oder Kognition nur rudimentär. |
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TomS
Moderator
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Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 01:25 Titel: |
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Auf die unterschiedlichen Konventionen hatte ich oben schon hingewiesen.
In der Dirac-Notation verwendet man eigtl. immer zwei senkrechte Striche |.
Der Unterschied liegt darin, dass z.B.
bedeutet, dass ein Zustand psi vorliegt, der dann rotiert wird, während
den Zustand bezeichnet, nachdem er rotiert wurde, also
Es gibt aber viele Operatoren, mit denen man physikalisch keine Aktion wie eine Rotation verbindet, die Bedeutung der zweiten Schreibweise daher seltsam anmutet. Deswegen ist ersteres oft der bevorzugte Weg.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Jan 2025 01:36, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 17. Jan 2025 01:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Dirac-Notation verwendet man eigtl. immer zwei senkrechte Striche | |
D.h. das:
ist noch keine Dirac-Syntax? (Bitte auf doppelte Verneinung achten. D.h. mit Ja antworten, wenn es keine Dirac-Syntax ist.)
Kann man dann sagen, dass die Dirac-Syntax hauptsächlich Skalarprodukt ist? D.h. hauptsächlich das Skalarprodukt abhandelt?
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 02:37 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Dirac-Notation verwendet man eigtl. immer zwei senkrechte Striche | |
D.h. das:
ist noch keine Dirac-Syntax? (Bitte auf doppelte Verneinung achten. D.h. mit Ja antworten, wenn es keine Dirac-Syntax ist.) |
Ja, streng genommen ist das keine Dirac-Notation.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Kann man dann sagen, dass die Dirac-Syntax hauptsächlich Skalarprodukt ist? D.h. hauptsächlich das Skalarprodukt abhandelt? |
Nein, denn es kommen ja sowohl Skalarprodukte und Matrixelemente als auch Zustände vor.
https://github.com/manjunath5496/Paul-Dirac-Papers/blob/main/p(2).pdf |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1610
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| Aruna Verfasst am: 17. Jan 2025 07:24 Titel: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 08:10 Titel: |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 17. Jan 2025 10:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Beispiel eines nicht-selbstadjunguerten Operators ist der Impulsoperator auf den positiven reellen Zahlen. |
was genau meinst du denn hier mit "..auf den positiven reellen Zahlen" ?
Meinst du den Impulsperator auf L^2(R_+) ?
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 17. Jan 2025 10:31 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Der Unterschied liegt darin, dass z.B.
bedeutet, dass ein Zustand psi vorliegt, der dann rotiert wird, während
den Zustand bezeichnet, nachdem er rotiert wurde, also
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Dann hat das Gleichheits-Zeichen eine Assoziativität (Begriff aus der Programmierung)? Weil links vom Gleichheits-Zeichen steht das Ergebniss und rechts davon der Vorzustand bzw. Weg dahin?
Nette Grüsse
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Ohne Rekursion ist Bewusstsein oder Kognition nur rudimentär. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 11:20 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ein Beispiel eines nicht-selbstadjunguerten Operators ist der Impulsoperator auf den positiven reellen Zahlen. |
was genau meinst du denn hier mit "..auf den positiven reellen Zahlen" ?
Meinst du den Impulsperator auf L^2(R_+) ? |
Ja. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 17. Jan 2025 12:37 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Der Unterschied liegt darin, dass z.B.
bedeutet, dass ein Zustand psi vorliegt, der dann rotiert wird, während
den Zustand bezeichnet, nachdem er rotiert wurde, also
|
Dann hat das Gleichheits-Zeichen eine Assoziativität (Begriff aus der Programmierung)? Weil links vom Gleichheits-Zeichen steht das Ergebniss und rechts davon der Vorzustand bzw. Weg dahin?
Nette Grüsse |
Du denkst irgendwie komplizierter als ich.
Erstes Beispiel
Betrachten wir im Laborsystem in einer Dimension einen Ein-Teilchen-Zustand für ein Teilchen mit Masse m und Impuls p. Das schrieben wir als
Nun betrachten wir den selben physikalischen Zustand aus einem relativ dazu bewegten Bezugsystem.
Letzteren erhalten wir gemäß
Klassisch wäre das
)
Den Boost C mit Geschwindigkeit u muss man als Operator implementieren.
'lab' und 'moving' lasse ich weg, das scheibt niemand, weil es aus dem Kontext klar wird. Hier: wenn ich einen Boost ausführe, wechsle ich das Bezugsystem.
Nun könntest du schreiben
um anzudeuten, dass du u' aus u erhalten kannst. In diesem Fall spräche nichts dagegen, allerdings tut das niemand, weil es keine zusätzliche Information liefert, die nicht schon aus dem Kontext folgen würde.
Außerdem ...
Zweites Beispiel
Betrachten wir eine Wechselwirkung, durch die ein Wasserstoffatom aus dem 2p- in den 1s-Zustand übergeht. Mittels der Quantenzahlen n,l,m also
Das folgt im Formalismus mittels irgendeines Operator V, der die Wechselwirkung repräsentiert. Man betrachtet dazu die sogenannten Übergangsmatrixelemente
Das ist ein sehr typischer Fall, in dem die Notation, das V in den ket hineinzuziehen, sinnlos bis dumm ist.
Normalerweise liefert die Anwendung von V
d.h. nicht einen Term, sondern eine (ggf. unendliche Summe); die Koeffizienten v hängen dabei mit den Übergangsmatrixelementen zusammen.
Das V rechts hineinzuziehen, also
\rangle )
liefert keinen Mehrwert, und erfordert außerdem eine Notation, wie das V innerhalb des kets auf diesen wirkt. Also wie wirkt V auf nlm? Oder bedeutet V(nlm), dass V eine Funktion von nlm ist? V hineinzuziehen erzeugt sozusagen gerade das Problem das Dirac gelöst hat.
V links hineinzuziehen, ist Quatsch; es suggeriert, V wirke auf den Zustand n'l'm', aber physikalisch ist es ja gerade andersrum: die Wechselwirkung wirkt auf den ursprünglichen Zustand nlm.
V überhaupt hineinzuziehen erscheint nur dann möglich, wenn im ket nur ein Symbol steht. Und es ist nur dann sinnvoll, wenn der ket nicht irgendwie in einzelne Terme zerlegt wird - das wird er aber sehr häufig. Außerdem ist es nur dann zielführend, wenn dahinter eine physikalische Aussage steckt, die durch diese Notation transportiert wird. Welche wäre das? Keine, da Operatoren immer nach rechts wirken.
Drittes Beispiel
Im Falle des harmonischen Oszillators (und anderen ähnlich gelagerten Fällen) reden wir über nicht-symmetrische Operatoren. Wenn wir diese mal nach rechts und mal nach links reinziehen, müssen wir ständig aufpassen, den dagger nicht zu vergessen.
Außerdem ist es einfacher, zu sagen "a ist ein Vernichter", wobei jeder weiß, dass dies immer auf den ket bezogen ist, als zu sagen, "a angewandt auf kets ist ein Vernichter, angewandt auf bras dagegen ein Erzeuger; der Vernichter für bras wäree a-dagger, was angewandt auf kets aber ein Erzeuger ist.".
Das ganze führt nur zur Geschwätzigkeit und Missverständnissen.
Zu den von Dirac verfassten Regeln kommen also noch einige hinzu:
1. innerhalb des kets steht exakt das, was eine physikalische Aussage transportiert; sonst nichts
2. innerhalb des kets gibt es keine Rechenregeln; man schreibt rein, was jeder unmittelbar versteht
3. das Reinziehen des Operators in den ket ist in vielen Fällen kontraproduktiv; also lassen wir's am besten immer bleiben
4. (Af, g) = (f, Ag) transportiert eine mathematische Aussage, nämlich dass A symmetrisch ist; wenn wir das mal verstanden haben, müssen wir es nicht jedesmal neu betonen; wir betreiben Physik
Dirac's bra-ket Notation ist für mich ein Meilenstein bzgl. Strenge, Erklärungskraft und Einfachheit. Sie transportiert exakt das, was man verstehen muss, und nichts, was man eh' schon weiß.
Ähnlicher Beispiele wären die Ableitung df/dx (und Erweiterungen in der Differentialgeometrie, ART ...), TeX, Python. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 17. Jan 2025 15:21 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du denkst irgendwie komplizierter als ich. |
Naja. Man kann ja später das Falsche oder Überflüssige von sich abfallen lassen.
Nette Grüsse
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