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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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 antaris Verfasst am: 26. Jan 2025 15:03 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wo ist das Problem? |
Es gibt keins...danke für die kompakte Defnition!
| Zitat: | | Sind die Konzepte jetzt klar? |
Soweit um damit weiterzuarbeiten, ja.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 26. Jan 2025 22:13 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Sind die Konzepte jetzt klar? |
Soweit um damit weiterzuarbeiten, ja. |
Ok, gerne.
Ich habe nochmal über das zentrale Problem nachgedacht – die Einführung von Koordinaten mittels Eigenzeiten etc., ohne dabei auf Koordinaten zurückzugreifen; das gelingt nicht vollständig. Man kann die Theorie zwar abstrakt koordinatenfrei formulieren, jedoch nicht lösen. Man kann jedoch für jede Lösung zeigen, dass sie unabhängig von einer Wahl spezieller Koordinaten ist.
Anhand des Beispiels der Rotverschiebung:
abstrakt
 = (u, k) )
Lösung mittlels speziellen Koordinaten
 = g_{\mu\nu} \, u^\mu \, k^\nu )
Gültigkeit in beliebigen Koordinaten
In diesem Sinne morgen nochmal ein etwas anderer Ansatz.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 26. Jan 2025 23:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich habe nochmal über das zentrale Problem nachgedacht – die Einführung von Koordinaten mittels Eigenzeiten etc., ohne dabei auf Koordinaten zurückzugreifen; das gelingt nicht vollständig. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 27. Jan 2025 18:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe nochmal über das zentrale Problem nachgedacht – die Einführung von Koordinaten mittels Eigenzeiten etc., ohne dabei auf Koordinaten zurückzugreifen; das gelingt nicht vollständig. |
Gibt es dazu keine arbeiten bzw. ist das nicht von Interesse? Ich habe beim suchen auch nicht wirklich viel über die hier konkret besprochenen Themen (vor allem die Beobachterfelder) gefunden.
| Zitat: | | Man kann die Theorie zwar abstrakt koordinatenfrei formulieren, jedoch nicht lösen. Man kann jedoch für jede Lösung zeigen, dass sie unabhängig von einer Wahl spezieller Koordinaten ist. |
Letzteres ist ja schon viel Wert. Ob für das menschliche Verständnis überhaupt absolute koordinatenfreiheit möglich ist?
Du hattest geschrieben:
| Zitat: | Primär ist die Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Darin gegeben sind Beobachterfelder. Entlang deren Weltlinien werden Eigenzeiten gemessen. Senkrecht auf den Weltlinien definiert man lokale Gleichzeitigkeitshyperflächen.
in Beobachterfeld hängt von der Raumzeit ab, in der sich die Beobachter bewegen; aber ein Beobachterfeld hängt nicht von den Koordinaten auf der Raumzeit ab – es definiert diese.
Ein Sturm über der Nordsee hängt auch nicht vom Koordinatensystem ab, das wir definiert haben. Er kommt ohne aus und findet am selben Ort statt – unabhängig von Koordinaten. |
Der Sturm über der Nordsee hängt nicht von einem Koordinaten-Netz auf der Oberfläche der Erde ab aber doch von den Strukturen, der Topologie, dem Ort und die Neigung der Erde und deren Abstand zur Sonne uvm. Abstände sind m.E. natürliche Koordinaten und am besten lässt sich das wohl allgemein auf die invarianten (Eigen-)Größen reduzieren, sozusagen als Minimum notwendiger Größen zur Beschreibung der Raumzeit (und der Materie).
Im allgemeinen ist das Problem mit der Zeit, dass sie nicht normierbar ist (im Sinne eines fehlenden, also in der Natur nicht realisierten und universell gültigen zeitlichen Einheitsvektors)?
| Zitat: | Gültigkeit in beliebigen Koordinaten
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Wäre das dann aber nicht auch eine Koordinaten-Transformation?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2025 22:00 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe nochmal über das zentrale Problem nachgedacht – die Einführung von Koordinaten mittels Eigenzeiten etc., ohne dabei auf Koordinaten zurückzugreifen; das gelingt nicht vollständig. |
Gibt es dazu keine arbeiten bzw. ist das nicht von Interesse? |
Nicht praktisch, das wäre eine ziemlich akademische Fragestellung.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Man kann die Theorie zwar abstrakt koordinatenfrei formulieren, jedoch nicht lösen. Man kann jedoch für jede Lösung zeigen, dass sie unabhängig von einer Wahl spezieller Koordinaten ist. |
Letzteres ist ja schon viel Wert. |
Das ist aber auch nicht neu.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | Du hattest geschrieben:
| Zitat: | Primär ist die Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Darin gegeben sind Beobachterfelder. Entlang deren Weltlinien werden Eigenzeiten gemessen. Senkrecht auf den Weltlinien definiert man lokale Gleichzeitigkeitshyperflächen.
Ein Beobachterfeld hängt von der Raumzeit ab, in der sich die Beobachter bewegen; aber ein Beobachterfeld hängt nicht von den Koordinaten auf der Raumzeit ab – es definiert diese.
Ein Sturm über der Nordsee hängt auch nicht vom Koordinatensystem ab, das wir definiert haben. Er kommt ohne aus und findet am selben Ort statt – unabhängig von Koordinaten. |
Der Sturm über der Nordsee hängt nicht von einem Koordinaten-Netz auf der Oberfläche der Erde ab aber doch von den Strukturen, der Topologie, dem Ort und die Neigung der Erde und deren Abstand zur Sonne uvm. |
Ja.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Abstände sind m.E. natürliche Koordinaten und am besten lässt sich das wohl allgemein auf die invarianten (Eigen-)Größen reduzieren, sozusagen als Minimum notwendiger Größen zur Beschreibung der Raumzeit (und der Materie). |
Das ist genau der Punkt, an dem es schwierig wird.
Selbst wenn man alles mittels invarianten Größen formulieren würde, hieße das ja noch nicht, dass man die Gleichungen einfacher oder überhaupt lösen könnte. Viele Berechnungen der ART basieren zunächst auf abstrakten Objekten, deren Bezug zu Messgrößen nur sehr indirekt gegeben ist.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Gültigkeit in beliebigen Koordinaten
|
Wäre das dann aber nicht auch eine Koordinaten-Transformation? |
Ja, genau.
Das ist ja genau das, was ich oben sagte: man kann für jede Lösung zeigen, dass sie unabhängig von einer Wahl spezieller Koordinaten ist; man kann die Theorie jedoch nicht koordinatenfrei lösen – also in dem Sinne, dass man ausschließlich Koordinaten verwendet, die direkt den Messgrößen entsprechen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2025 14:08 Titel: |
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Relativitätstheorie ohne Koordinaten?
Ich fasse hier mal meine bisherigen Gedanken zusammen.
Ziel ist es, die RT möglichst mittels beobachtbarer Größen zu formulieren bzw. diese zumindest aus anderen Darstellungen abzuleiten. Dabei sehe ich zwei Schritte:
1) Beobachtbare Größen als Koordinaten zu verwenden
2) Weitere beobachtbare Größen zu berechnen
Ausgangspunkt für beides ist der Begriff des Beobachterfeldes, d.h. eines Feldes von Vierervektoren in jedem Punkt der Raumzeit, für das folgendes gilt
i) u ist zeitartig.
und kann damit die Vierergeschwindigkeit eines Beobachters repräsentieren.
ii) Für benachbarte Raumzeitpunkte liefern das Feld sowie seine Ableitungen bis zur Ordnung k benachbarte Werte, d.h. das Feld u ist genügend glatt. k=2 sollte ausreichern; formal entspricht dies der C²-Stetigkeit:
https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness#Multivariate_differentiability_classes
Das Ziel besteht darin, mittels des Beobachterfeldes sowie der dazu orthogonalen raumartigen Gleichzeitigkeitshyperflächen Koordinatensysteme zu definieren. In jeder 3-dim. Gleichzeitigkeitshyperfläche existiert dabei ein sogenanntes 3-Bein, wobei folgende Eigenschaften in jedem Punkt der Raumzeit gelten
iii) Die drei Vierervektoren des 3-Beins, sind raumartig, d.h. für jeden der Vektoren gilt
iv) Die drei Vektoren sind orthogonal zum Beobachterfeld
(Ich verzichte auf einen Index i = 1,2,3 für das 3-Bein, um die drei Vektoren zu numerierern, da wir im folgenden nur 2-dim. Raumzeiten als Beispiele betrachten werden)
Die flache 2-dim. Minkowski-Raumzeit
Gegeben seien bewegte Beobachter mit parallelen Vierergeschwindigkeiten
)
^{-1})
x und t sind Koordinaten, v ist die bekannte 3er-Koordinatengeschwindigkeit.
Wir überprüfen zunächst
^2 + g_{11} (u^1)^2 = \gamma^2 - \gamma^2 v^2 = \gamma^2 (1 - v^2) = 1 \qquad \checkmark)
Die Gleichzeitigkeitshyperflächen mit dem 1-Bein ergeben sich aus dem Ansatz
 = n (1, e))
iv) Orthogonalität
 \stackrel{!}{=} 0)
liefert
iii) Raumartigkeit
 \stackrel{!}{=} -1 )
liefert
Zusammenfassend gilt also
 )
 )
Die Forderung der Orthogonalität liefert demnach die beiden bekannten Linien im Minkowski-Diagramm: Weltlinie mit Steigung v, Gleichzeitigkeitslinie mit Steigung 1/v.
Die Vierergeschwindigkeit ist nun gerade die Ableitung der Weltlinie nach der Eigenzeit, d.h.
Für die Weltlinie eines Beobachters a (aus den unendlich vielen des Beobachterfeldes) gilt daher
 = \gamma(\tau, v\tau) - x^\mu_a)
wobei der letzte Term für diesen Beobachter dessen Koordinaten-Nullpunkt definiert.
Für benachbarte Punkte entlang der Weltlinie folgt mittels Taylorentwicklung erster Ordnung
 = x^\mu(\tau) + \dot{x}^\mu \, d\tau = x^\mu(\tau) + u^\mu \, d\tau)
wobei der Punkt die Ableitung nach der Eigenzeit bedeutet.
Andererseits können wir das natürlich durch die Koordinaten eines ruhenden Beobachters ausdrücken, d.h.
 - \bar{x}^\mu_a)
wobei beides mittels Lorentz-Transformation zusammenhängt.
Entlang seiner Weltlinie C misst einer der bewegten Beobachter seine Eigenzeit tau. Formal lautet dies
wobei ich
verwende.
Nun gilt aber für das Beobachterfeld (siehe oben)
d.h.
Passt also.
Nun berechnen wir die Entfernung eines zum bewegten Beobachter raumartigen Ereignisses P. Der Einfachheit halber betrachten wir den Beobachter im Nullpunkt. Analog zur Eigenzeit integrieren wir, nun jedoch entlang der raumartigen Gleichzeitigkeitshyperfläche H, d.h.
Ausgehend von einem Punkt zur Eigenzeit tau auf der Weltlinie gilt für benachbarte Punkte entlang der in tau betrachteten Gleichzeitigkeitshyperfläche
 = x^\mu(\tau) + \dot{x}^\mu \, d\sigma = x^\mu(\tau) + e^\mu \, d\sigma)
wobei der Punkt nun die Ableitung nach sigma bezeichnet.
Analog zu, oben mit
folgt entlang H
Wir verwenden
d.h.
Passt wieder.
Trivial?
Nein, denn wir haben jetzt ein Koordinatensystem für dieses Beobachterfeld gefunden, nämlich das mitbewegte 2-Bein
als Orthonormalbasis
mit
sowie zugehörige Koordinaten
Wir sind in der Lage, Längen entlang der Koordinatenachsen zu berechnen, und wir können das zunächst für beliebige infinitesimale Abschnitte
verallgemeinern, wobei die gemischten Terme aufgrund der Orthogonalität wegfallen; damit folgen natürlich auch die invarianten Längen beliebiger (entweder raum- oder zeitartiger) Kurven.
Dies gilt es nun auf die ART d.h. auf gekrümmte Raumzeiten zu verallgemeinern. Wir können uns dabei sicher sein, dass es in einer genügend kleinen Umgebung funktioniert, da wir innerhalb dieser die SRT vermöge Äquivalenzprinzip zurückgewinnen. Wir erhalten demnach mittels Beobachterfeldern orthogonale Koordinatenen, wobei diese den invarianten Eigenzeiten der (hypothetischen) Beobachter sowie den invarianten Längen innerhalb ihrer lokalen Gleichzeitigkeitshyperflächen entsprechen.
Für globale Koordinaten muss man dann etwas mehr tun, da die Beobachterfelder i.A. nicht mehr unabhängig vom Punkt der Raumzeit sein werden; im Falle der Minkowski-Raumzeit waren die Zweibeine ja konstant. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2025 15:46 Titel: |
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Die Schwarzschild-Raumzeit - stationäre Beobachter
 = 1 - \frac{r_S}{r} )
)
)
)
)
Für ein statisches Beobachterfeld mit je Beobachter a konstanter Radialkoordinate und Weltlinie
 = \left( f_a^{-1/2} \, \tau, r_a \right))
erhält man das orthonormierte 2-Bein
)
)
tau und sigma bezeichnen wieder invariante Eigenzeiten bzw. -längen.
Demnächst geht's weiter mit dem frei fallenden Beobachterfeld. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 28. Jan 2025 18:12 Titel: |
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Jetzt hast du mich ein wenig abgehängt.^^
Ich muss das, mit kleine Abstände dazwischen, ein paar mal lesen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 28. Jan 2025 21:16 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
i) u ist zeitartig.
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Erstmal zur Wiederholung vorab zum Vierervektor:
kovariant als Zeilenmatrix:
)
kontravariant als Spaltenmatrix:
und als Skalarprodukt:
 \cdot \begin{pmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = u_{\mu}\cdot u^{\mu})
Ist das richtig?
Die folgende Beschreibung der kovarianten und kontravarianten Komponenten finde ich gut verständlich. Taugt sie was?
http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Kovariante+und+Kontravariante+Komponenten
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2025 12:42 Titel: |
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Vorab: Ich habe gerade zwei mathematische Probleme zur Konstruktion der Gleichzeitigkeits-Hyperflächen, bei denen ich feststecke.
Zu deinem Beitrag: Die Notation von Spalten-Vektoren verwendet in der RT tatsächlich niemand; die Position der Indizes unten bzw. oben, d.h. ko- bzw. kontravariant ist ausreichend.
Bei Skalarprodukten müssen immer eine ko- und eine kontravariante Komponente vorkommen!
)
)
Die Überführung zwischen beiden erfolgt mittels der Metrik.
Die Vorzeichen stimmen nur dann, wenn die flache Minkowski-Raumzeit vorliegt, und wenn du in kartesischen Koordinaten arbeitest; dann ist die Metrik diagonal und es gilt
Der verlinkte Beitrag ist nicht schlecht, habe ihn jedoch nur kurz überflogen. Die zentrale Botschaft ist, dass es immer um einen einzigen Vektor x geht, der in zwei verschiedenen Formen mittels zweier verschiedener Sätzen von Komponenten bezüglich zweier verschiedener Basissysteme dargestellt werden kann:
Die blauen Symbole bezeichnen Vektoren. Der Index zählt die Komponenten und die Basisvektoren.
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren wäre
und das kann man mittels der Komponenten ausdrücken
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 29. Jan 2025 19:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Vorab: Ich habe gerade zwei mathematische Probleme zur Konstruktion der Gleichzeitigkeits-Hyperflächen, bei denen ich feststecke. |
Du meinst innerhalb dynamischer Raumzeiten bzw. bei freifallenden Beobachterfeldern?
| Zitat: | | Zu deinem Beitrag: Die Notation von Spalten-Vektoren verwendet in der RT tatsächlich niemand; die Position der Indizes unten bzw. oben, d.h. ko- bzw. kontravariant ist ausreichend. |
Ich will das ja nicht so verwenden aber ich muss besser verinnerlichen was dahintersteckt, damit ich dann mit den Abstraktionen klarkomme.
| Zitat: | Bei Skalarprodukten müssen immer eine ko- und eine kontravariante Komponente vorkommen!
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Ok, ich hatte das aus Gleichung 9.2 und dachte mir das auf den Vierervektor übertragen zu können.
 ist das Skalarprodukt aus kovarianten Vektor multipliziert mit dem kontravarianten Vektor...in dem Fall beim Vektor  , dessen beide Vierformen multipliziert werden?
| Zitat: | Die Überführung zwischen beiden erfolgt mittels der Metrik.
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Ja das steht auch so in der Beschreibung:
http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Kovariante+und+Kontravariante+Komponenten
| Zitat: | Die Vorzeichen stimmen nur dann, wenn die flache Minkowski-Raumzeit vorliegt, und wenn du in kartesischen Koordinaten arbeitest; dann ist die Metrik diagonal und es gilt
Die blauen Symbole bezeichnen Vektoren. Der Index zählt die Komponenten und die Basisvektoren. |
 ist der kovariante Basisvektor des Tangentialraum an einen Punkt x auf der gekrümmten Oberfläche und ist kein Einheitsvektor? Der kontravariante Vektor  ist die Dualbasis des kovarianten Vektors und entspricht den Normalenvektoren auf der gekrümmten Oberflächen und ist ein Einheitsvektor. Beide überlagern sich demnach nur, wenn die Raumzeit minkowskisch und das Koordinatensystem kartesisch ist?
Wie die Basisvektoren in Zusammenhang stehen, wird an der Grafik unter Gleichung 17 im Abschnitt (Komponenten eines Vektors in gekrümten Koordinatensystemen) gezeigt.
Kann die ko- bzw. kontravariante Formulierung als Unterschied zwischen flacher und gekrümmter Raumzeit angesehen werden?
| Zitat: | Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren wäre
und das kann man mittels der Komponenten ausdrücken
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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Wohnort: In einem chaotischen Universum
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 29. Jan 2025 19:57 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: |
ist der kovariante Basisvektor des Tangentialraum an einen Punkt x auf der gekrümmten Oberfläche und ist kein Einheitsvektor? Der kontravariante Vektor ist die Dualbasis des kovarianten Vektors und entspricht den Normalenvektoren auf der gekrümmten Oberflächen und ist ein Einheitsvektor. Beide überlagern sich demnach nur, wenn die Raumzeit minkowskisch und das Koordinatensystem kartesisch ist?
Wie die Basisvektoren in Zusammenhang stehen, wird an der Grafik unter Gleichung 17 im Abschnitt (Komponenten eines Vektors in gekrümten Koordinatensystemen) gezeigt.
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I.a. ist es doch andersherum. Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren ein Kronecker-Delta liefern. Der Sinn dahinter ist, dass das Skalarprodukt von Vektor und Dualvektor dann invariant ist, auch bei krummlinigen Koordinaten.
Bei gekrümmten Räumen hängt der Metriktensor auch noch vom Ort ab. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2025 20:09 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Vorab: Ich habe gerade zwei mathematische Probleme zur Konstruktion der Gleichzeitigkeits-Hyperflächen, bei denen ich feststecke. |
Du meinst innerhalb dynamischer Raumzeiten bzw. bei freifallenden Beobachterfeldern? |
Ganz allgemein.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Bei Skalarprodukten müssen immer eine ko- und eine kontravariante Komponente vorkommen!
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Ok, ich hatte das aus Gleichung 9.2 und dachte mir das auf den Vierervektor übertragen zu können. |
Vielleicht erklärt der Autor irgendwo, was er damit meint. Aber i.A. ist es einfach falsch – daher mit geeigneter Erklärung bestenfalls eine irreführende Privatterminologie.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | ist das Skalarprodukt aus kovarianten Vektor multipliziert mit dem kontravarianten Vektor … |
Nein.
Siehe was ich unten schreibe, es gibt keine zwei verschiedenen Vektoren, nur verschiedene Komponenten des selben Vektors.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | … und ist kein Einheitsvektor? |
Warum nicht?
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Beide überlagern sich demnach nur … |
Was meinst du hier mit überlagern?
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Kann die ko- bzw. kontravariante Formulierung als Unterschied zwischen flacher und gekrümmter Raumzeit angesehen werden? |
Was meinst du damit?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. Jan 2025 20:33, insgesamt einmal bearbeitet |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 29. Jan 2025 20:25 Titel: |
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Da geht es um Eigenschaften von Vektoren bei Basistransformationen,
kovariant vs. kontravariant.
Aber das war nicht Inhalt deiner letzten Frage. 
Was willst du da wissen? |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 29. Jan 2025 20:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Vielleicht erklärt der Autor irgendwo,... |
Ok, abgehakt.
| Zitat: | | Siehe was ich unten schreibe, es gibt keine zwei verschiedenen Vektoren, nur verschiedene Komponenten des selben Vektors. |
Ja jetzt hat es klick gemacht, auch abgehakt.
| Zitat: | | Was meinst du hier mit überlagern? |
Das was in der Bildbeschreibung steht. In flache Raumzeiten können keine Tangentialräume definiert werden? Die Normalenvektoren sind orthogonal und stehen in einer flachen Raumzeit an jedem Ort parallel. Wenn das was dort steht richtig ist, dann sind die ko- und kontravariante Komponenten der Vektoren in flachen Raumzeiten identisch?
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
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| antaris Verfasst am: 29. Jan 2025 20:31 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Aber das war nicht Inhalt deiner letzten Frage. |
Das war der Inhalt einer Frage in dem Beitrag.^^
| Zitat: | | Was willst du da wissen? |
Nichts konkretes aber ich will mein allgemeines Verständnis zu dieser Thematik tiefer verinnerlichen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2025 20:35 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren ein Kronecker-Delta liefern. |
Und in diesem Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. Jan 2025 21:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 29. Jan 2025 20:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren ein Kronecker-Delta liefern. |
Und in diesen Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff? |
Ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstehe..
Einheitsvektoren haben die Norm 1.
Das Kronecker-Delta zur Definition der Dualvektoren liefern aber i.a. keine Einheitsvektoren der Dualbasis.. |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 29. Jan 2025 20:45 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren ein Kronecker-Delta liefern. |
Und in diesen Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff? |
Ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstehe..
Einheitsvektoren haben die Norm 1.
Das Kronecker-Delta zur Definition der Dualvektoren liefern aber i.a. keine Einheitsvektoren der Dualbasis.. |
PS: deswegen nennt man die Vektoren der Dualbasis auch "reziprok".. |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 29. Jan 2025 21:08 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren ein Kronecker-Delta liefern. |
Und in diesen Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff? |
Ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstehe..
Einheitsvektoren haben die Norm 1.
Das Kronecker-Delta zur Definition der Dualvektoren liefern aber i.a. keine Einheitsvektoren der Dualbasis.. |
PS: deswegen nennt man die Vektoren der Dualbasis auch "reziprok".. |
PPS: man darf im übrigen auch "duale Basis" nicht mit "Dualraum" verwechseln, welch letzteres ja ein Raum linearer Funktionale ist, und somit in einen Körper abbildet, meistens C (komplex). So lässt sich ja zB. die Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung "repräsentieren", die in die komplexen Zahlen abbildet (in Dirac-Notation davon unabhängig formuliert mit "Kets") |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 29. Jan 2025 23:48 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: |
Die folgende Beschreibung der kovarianten und kontravarianten Komponenten finde ich gut verständlich. Taugt sie was?
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Du hast doch schon das theoretische Minimum zur QM erworben?
wie findest Du diese Darstellung aus der gleichen Reihe?
youtu.be/5VKyRVLMMQ4?si=BpT6nx-kLKcFROKl&t=842 |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 30. Jan 2025 11:25 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: |
Du hast doch schon das theoretische Minimum zur QM erworben? |
Ja habe es da aber da nun mit anderen Themen beschäftigt hab ich es erstmal noch beiseite gelegt.
| Zitat: | wie findest Du diese Darstellung aus der gleichen Reihe?
youtu.be/5VKyRVLMMQ4?si=BpT6nx-kLKcFROKl&t=842 |
Ich bin nicht so ein Video Fan aber schaue heute Abend rein.
Vielleicht kaufe ich mir auch das erste Buch, denn im zweiten wird auch darauf verwiesen.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 30. Jan 2025 23:09 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: |
Ich bin nicht so ein Video Fan aber schaue heute Abend rein. |
"Contravariant indices are the things that you use to construct a vector out of the basis vectors.
Covariant indices are the dot products with the basis vectors.
They are different geometric things but they would be the
same if we were talking about ordinary cartesian coordinates." |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 31. Jan 2025 07:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren ein Kronecker-Delta liefern. |
Und in diesem Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff? |
Ich versuche das gerade mit der von mir im letzten Beitrag zitierten Aussage Susskinds zusammen zu bringen:
Er hat Einheitsbasisvektoren 
Nun zeigt er zwei Möglichkeiten, die Darstellung eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Einheitsbasisvektoren zu berechnen:
1.) Kontravariant: Die Komponenten sind die Zahlen, mit denen diese Basisvektoren multipliziert werden.
2.) Kovariant: Die Komponenten sind die Projektionen des Vektores auf den jeweiligen Basisvektor.
Diese Komponenten eines beliebigen Vektors sind im allgemeinen natürlich nicht von der gleichen "Länge" (Norm) wie die Einheitsvektoren, mit dessen Hilfe sie gebildet werden.
=> Frage:
@Qubit:
1.) wenn Du von kovarianten Basisvektoren sprichst, meinst Du die ? und nicht die kovarianten Komponenten eines beliebigen Vektors  , also  ?
2.) die kontravarianten Basisvektoren wären dann  oder die Komponenten  ? |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 31. Jan 2025 08:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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hattest Du schon irgendwo die einsteinsche Summenkonvention erwähnt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 31. Jan 2025 09:51 Titel: |
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Ein paar Präzisierungen:
Betrachten wir Raumzeit-Koordinaten x, y von Punkten x, y auf der Mannigfaltigkeit M.
(fette Symbole funktionieren hier in LaTeX nicht richtig)
Betrachten wir eine Kurve in einer Koordinate mu, alle anderen fest, also
)
und definieren die Basisvektoren
Dann gilt für die bilineare Abbildung dieser Vektoren in jedem Punkt x
wobei die Mathematiker gerne ersteres schreiben, die Physiker zumeist letzteres bevorzugen.
Für eine allgemeine Kurve, parametrisiert durch einen Parameter tau, gilt
Für das Quadrat der Bogenlänge folgt dann
^2 = (\pmb{e}_\mu \dot{x}^\mu) (\pmb{e}_\nu \dot{x}^\nu) = ( \pmb{e}_\mu \pmb{e}_\nu) \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu )
Eliminierung des Kurvenparameters liefert die bekannte Darstellung
die die Physiker gerne als verwenden.
Definieren wir die duale Basis
so erhalten wir
In diesem Sinne sind die Basisvektoren i.A. nicht orthonormiert; wir erhalten gerade die Komponenten der Metrik als Ergebnis dieses Skalarproduktes.
Zwischen den beiden Basen besteht der Zusammenhang
 \pmb{e}_\nu = g^{\mu\kappa} (\pmb{e}_\kappa \pmb{e}_\nu) = g^{\mu\kappa} g_{\kappa\nu} = \delta^\mu_\nu )
In diesem Sinne sind Basis und duale Basis "relativ zueinander" orthonormiert.
Nun betrachten wir Vektoren bzw. Vektorfelder v
Ihre Komponenten bzgl. einer Basis erhält man gerade mittels Projektion auf dieselbe
 = v^\nu \, (\pmb{e}^\mu \pmb{e}_\nu) = v^\nu \, \delta^\mu_\nu = v^\mu)
Für die oben eingeführte bilineare Abbildung für allgemeine Vektoren v, w erhält man
Zuletzt noch eine Anmerkung: In der speziellen Relativitätstheorie gilt die globale Poincare-Invarianz, insbs. kann man Punkte der Raumzeit mittels Poincare-Transformationen zueinander in Beziehung setzen, d.h. die Koordinaten (t,x) eines Punktes P bzgl. eines Punktes O, sowie die Transformation zu neuen Koordinaten (t', x') bzgl. eines anderen Punktes O' – also Translationen – sowie Rotationen und Boost. Diese globale Symmetrie gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht, dann man statt eines einzigen Vektorraumes – des Minkowski-Raumes – eine gekrümmte Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegen hat, in der die Vektorräume, deren Basen sowie die Vektoren je Punkt der Mannigfaltigkeit definiert werden müssen. Zwischen Vektoren in unterschiedlichen Punkten, d.h. in unterschiedlichen Vektorräumen, besteht zunächst keine offensichtliche Verbindung – kommt aber noch. Was jedoch gegeben ist, ist eine lokale Lorentz-Invarianz, d.h. die Möglichkeit die oben eingeführten Basisvektoren je Punkt der Raumzeit unterschiedlich zu transformieren – das nur als Ausblick. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 31. Jan 2025 18:12 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Betrachten wir eine Kurve in einer Koordinate mu, alle anderen fest, also
|
Meinst du mit Kurven Koordinatenlinien, wie auf Wiki beschrieben?
https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenlinie
| Zitat: | | Eine Koordinatenlinie in einem Koordinatensystem ist eine Kurve, auf der alle Koordinaten bis auf eine konstant sind. In krummlinigen Koordinatensystemen sind die lokalen Basisvektoren tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet und können auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden. Stehen diese Basisvektoren stets paarweise aufeinander senkrecht, wie z. B. Nord-Süd-, Ost-West- und Lotrichtung, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem. |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2025 08:22 Titel: |
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Ja.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 01. Feb 2025 10:19 Titel: |
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Bezieht sich der Index mu immer(?) auf eine Koordinate und nu auf alle anderen aber festgehaltenen Koordinaten?
Die Koordinaten sind in der ART alle krummlinig?
https://de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2025 12:52 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Bezieht sich der Index mu immer(?) auf eine Koordinate und nu auf alle anderen aber festgehaltenen Koordinaten? |
Nein.
Die Indizes bezeichnen immer alle Koordinaten bzw. allgemein Komponenten. Die Formeln sind immer zu lesen als "für alle mu, nu … = 0…3" oder bei doppelten Indizes "zu summieren über alle mu = 0…3".
Dass alle bis auf eine Koordinate festgehalten werden, ist die Ausnahme, deswegen steht es explizit dabei.
Ja.
Wobei der Begriff irreführend ist. Wir haben noch gar nicht definiert, was gerade oder krumm überhaupt bedeutet.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 01. Feb 2025 23:25 Titel: |
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Krummlinig im Sinne von Kurven? In Wiki wird zwischen recht- und schiefwinklige, sowie krummlinige Koordinaten unterschieden. Letzteres bezieht sich auf gekrümmte Koordinatenlinien.
Im FAQ 3. Beitrag in
ist  die Lapse-Funktion und  ist der Shift-Vektor? Erstere bezieht sich im Linienelement auf die zeitliche und letztere auf die räumliche Entwicklung zwischen den Sigmas? Letztendlich sind aber im allgemeinen beide "Elemente" einer Zeitfunktion  ?
Warum "Niveau-" und nicht mehr Hyperfläche?
https://arxiv.org/pdf/2007.03261
unter Gleichung 11:
| Zitat: | ...where denotes the lapse function,  the shift vector field, and  the three dimensional spatial metric
induced on  . While the latter describes the intrinsic geometry of each hypersurface, lapse and shift determine how these hypersurfaces are connected to each other. More precisely, the shift vector field measures how much a given trajectory at constant spatial coordinates
is non-orthogonal to the hypersurface and the lapse denotes the proper time per unit coordinate time measured by an observer moving orthogonal to the slices. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 02. Feb 2025 10:14 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Krummlinig im Sinne von Kurven? In Wiki wird zwischen recht- und schiefwinklige, sowie krummlinige Koordinaten unterschieden. Letzteres bezieht sich auf gekrümmte Koordinatenlinien. |
Die Intuition ist schon klar, allerdings geht es in dem Beitrag zunächst mal darum, krummlinige Koordinaten in einem euklidischen Raum einzuführen, während in der ART Koordinaten in einem nicht-euklidischen Raum betrachtet werden; für letzteres haben wir noch keine Definition von "krumm" = "nicht gerade", weil wir noch keine von "gerade" haben.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | Im FAQ 3. Beitrag in
ist die Lapse-Funktion und ist der Shift-Vektor? Erstere bezieht sich im Linienelement auf die zeitliche und letztere auf die räumliche Entwicklung zwischen den Sigmas? Letztendlich sind aber im allgemeinen beide "Elemente" einer Zeitfunktion ?
Warum "Niveau-" und nicht mehr Hyperfläche? |
Weil es zunächst mal darum geht, dass diese Fläche dadurch definiert ist, dass T auf ihr einen festen Wert hat.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | https://arxiv.org/pdf/2007.03261
unter Gleichung 11:
| Zitat: | ...where denotes the lapse function, the shift vector field, and the three dimensional spatial metric
induced on . While the latter describes the intrinsic geometry of each hypersurface, lapse and shift determine how these hypersurfaces are connected to each other. More precisely, the shift vector field measures how much a given trajectory at constant spatial coordinates
is non-orthogonal to the hypersurface and the lapse denotes the proper time per unit coordinate time measured by an observer moving orthogonal to the slices. |
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Ich kenne diese Darstellung, halte sie jedoch für etwas irreführend, denn man könnte meinen, dass die Funktionen ausschließlich für diesen Beobachter eingeführt werden und ihn beschreiben. Das ist falsch! Tatsächlich handelt es sich um die Beschreibung der Deformationen der Mannigfaltigkeit selbst. Ich habe das ergänzt.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
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| antaris Verfasst am: 02. Feb 2025 13:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | für [nicht-euklidischen Raum] haben wir noch keine Definition von "krumm" = "nicht gerade", weil wir noch keine von "gerade" haben. |
Hmm...ok!
| Zitat: | | Weil es zunächst mal darum geht, dass diese Fläche dadurch definiert ist, dass T auf ihr einen festen Wert hat. |
 für jedes 
T repräsentiert damit keine Gleichzeitigkeit im Sinne einer Gleichzeitigkeitshyperfläche?
| Zitat: | Ich kenne diese Darstellung, halte sie jedoch für etwas irreführend, denn man könnte meinen, dass die Funktionen ausschließlich für diesen Beobachter eingeführt werden und ihn beschreiben. Das ist falsch! Tatsächlich handelt es sich um die Beschreibung der Deformationen der Mannigfaltigkeit selbst. Ich habe das ergänzt.
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Ja so habe ich es verstanden.
Der Shift-Vektor gibt an, wie die räumlichen Koordinaten einer Bahn eines hypothetischen Beobachters, von Sigma zu Sigma, von der Othogonalität zu den Niveau- bzw. Hyperfläche abweichen (und damit wie die Mannigfaltigkeit deformiert wird). Die Lapse-Funktion weist dem gleichen Beobachter das Eigenzeitintervall, im Bezug zum Koordinatenzeitintervall  zu. Von diesen Beobachtern gibt es unendlich viele, auf jedem Sigma.
Kannst du bitte kurz erläutern, was damit gemeint ist (FAQ, 3. Beitrag)?
| Zitat: | | Integrabilitätsbedingung des Verschwindens der Rotation |
| Zitat: | | Die Koordinatenzeiten [GP-Koordinaten] entsprechen den Eigenzeiten der (aus dem unendlichen) frei fallenden Beobachter. |
Das verstehe ich nicht. Bei Wiki sieht das Linienelement bei den GP-Koordinaten anders aus. Es wird dort auch eine Zeitkoordinate  definiert.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullstrand%E2%80%93Painlev%C3%A9_coordinates#GP_coordinates
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 02. Feb 2025 14:46 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | für [nicht-euklidischen Raum] haben wir noch keine Definition von "krumm" = "nicht gerade", weil wir noch keine von "gerade" haben. |
Hmm...ok!
| Zitat: | | Weil es zunächst mal darum geht, dass diese Fläche dadurch definiert ist, dass T auf ihr einen festen Wert hat. |
für jedes
T repräsentiert damit keine Gleichzeitigkeit im Sinne einer Gleichzeitigkeitshyperfläche? |
Wenn eine stetige Funktion T auf einer Menge von Zahlen den selben Wert t hat, dann liegt eine Niveaufläche oder Isofläche vor. Wenn es sich dann um eine Niveaufläche in einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit handelt, und wenn wir den Rest der Konstruktion durchziehen, dann dürfen wir sie auch Gleichzeitigkeitshyperfläche nennen. Wäre z.B. T so geartete, dass n auf diesen Flächen raumartig ist, dann wäre es zwar eine Niveaufläche jedoch keine Gleichzeitigkeitshyperfläche.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Ich kenne diese Darstellung, halte sie jedoch für etwas irreführend, denn man könnte meinen, dass die Funktionen ausschließlich für diesen Beobachter eingeführt werden und ihn beschreiben. Das ist falsch! Tatsächlich handelt es sich um die Beschreibung der Deformationen der Mannigfaltigkeit selbst. Ich habe das ergänzt.
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Ja so habe ich es verstanden.
Der Shift-Vektor gibt an, wie die räumlichen Koordinaten einer Bahn eines hypothetischen Beobachters, von Sigma zu Sigma, von der Othogonalität zu den Niveau- bzw. Hyperfläche abweichen (und damit wie die Mannigfaltigkeit deformiert wird). Die Lapse-Funktion weist dem gleichen Beobachter das Eigenzeitintervall, im Bezug zum Koordinatenzeitintervall zu. Von diesen Beobachtern gibt es unendlich viele, auf jedem Sigma. |
Was hast du wie verstanden?
| Zitat: | | Der Shift-Vektor gibt an, wie die räumlichen Koordinaten einer Bahn eines hypothetischen Beobachters, von Sigma zu Sigma, von der Othogonalität zu den Niveau- bzw. Hyperfläche abweichen (und damit wie die Mannigfaltigkeit deformiert wird). Die Lapse-Funktion weist dem gleichen Beobachter das Eigenzeitintervall, im Bezug zum Koordinatenzeitintervall zu. |
Daraus könnte man ablesen, dass Lapse und Shift nur die Beobachter charakterisieren. Das ist aber falsch. Sie charakterisieren die Mannigfaltigkeit, was wir anhand der Beobachter veranschaulichen.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | Kannst du bitte kurz erläutern, was damit gemeint ist (FAQ, 3. Beitrag)?
| Zitat: | | Integrabilitätsbedingung des Verschwindens der Rotation |
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Das ist eine Verallgemeinerung des aus drei Dimensionen und für euklidische Räume bekannten Theorems, dass ein Vektorfeld nur dann als Gradient darstellbar ist, wenn seine Rotation verschwindet.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities
https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition
Aus
folgt
 = 0)
Ist nun
so kann nicht zugleich
gelten.
Also
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Die Koordinatenzeiten [GP-Koordinaten] entsprechen den Eigenzeiten der (aus dem unendlichen) frei fallenden Beobachter. |
Das verstehe ich nicht. Bei Wiki sieht das Linienelement bei den GP-Koordinaten anders aus.
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Dann muss man es wohl umrechnen.
https://arxiv.org/pdf/0904.4184
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Es wird dort auch eine Zeitkoordinate definiert. |
Ja, ich muss noch eine anderen Buchstaben für t einführen (erledigt). |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 02. Feb 2025 22:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
T repräsentiert damit keine Gleichzeitigkeit im Sinne einer Gleichzeitigkeitshyperfläche? |
Wenn eine stetige Funktion T auf einer Menge von Zahlen den selben Wert t hat, dann liegt eine Niveaufläche oder Isofläche vor. Wenn es sich dann um eine Niveaufläche in einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit handelt, und wenn wir den Rest der Konstruktion durchziehen, dann dürfen wir sie auch Gleichzeitigkeitshyperfläche nennen. Wäre z.B. T so geartete, dass n auf diesen Flächen raumartig ist, dann wäre es zwar eine Niveaufläche jedoch keine Gleichzeitigkeitshyperfläche.[/quote]
Ok, danke.
| Zitat: | | Was hast du wie verstanden? |
Folgendes:
| Zitat: | | Daraus könnte man ablesen, dass Lapse und Shift nur die Beobachter charakterisieren. Das ist aber falsch. Sie charakterisieren die Mannigfaltigkeit, was wir anhand der Beobachter veranschaulichen. |
| Zitat: | Also
|
Ok, wenn das für das weitere Verständnis erstmal nicht so wichtig ist, dann würde ich es nach hinten stellen.
Ok, passt schon aber das paper habe ich abgespeichert.
| Zitat: | | Ja, ich muss noch eine anderen Buchstaben für t einführen (erledigt). |
👍
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 03. Feb 2025 06:39 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Was hast du wie verstanden? |
Folgendes:
| Zitat: | | Daraus könnte man ablesen, dass Lapse und Shift nur die Beobachter charakterisieren. Das ist aber falsch. Sie charakterisieren die Mannigfaltigkeit, was wir anhand der Beobachter veranschaulichen. |
| Zitat: | |
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Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe.
Zu Letzterem: Wenn die Mannigfaltigkeit M stabil kausal ist, dann funktioniert die Idee der globalen Zeitfunktion T. Das heißt, man kann verschiedene T's finden, aus denen jeweils ein n folgen, damit verschiedene Scharen von Sigmas. Die Gleichungen für ein n (bzw. vereinfacht für v) beschreiben eine technische Voraussetzung, dass dies für ein spezielles n funktioniert. Es verhält sich also so, dass man für ein M T's und damit n's konstruieren kann, dass jedoch spezielle n's existieren, die nicht aus dieser Konstruktion folgen, und mit denen keine globale Zeitfunktion assoziiert ist. Die Menge aller Beobachterfelder ist also größer als die Menge der Beobachterfelder, mit denen man T's und Sigmas assoziieren kann; nicht aus jedem Beobachterfeld und dessen Eigenzeiten folgt eine Koordinatenzeit.
Zu Ersterem: Die ADM-Konstruktion führt auf eine spezielle Form der Metrik, nämlich
 \, (dx^k + N^k \, dt))
Diese Darstellung funktioniert nur, wenn die o.g. Voraussetzung – die Mannigfaltigkeit M ist stabil kausal – erfüllt ist. Dann kann man geeignete Lapse- und Shift-Funktionen finden, für die diese Darstellung zutrifft. Unabhängige von der Idee, dies mittels T und n abzuleiten, liegt also eine spezielle Menge von Raumzeiten M vor, für die man wiederum diese spezielle Darstellung finden kann.
Zwei Zitate:
| Zitat: | | The scalar N is called a lapse function, and the vector on the hypersurface N^i is known as the shift vector. These, together with the metric h_ik constitute the so called ADM variables … the names of the new variables N and N^i … makes sense: the lapse function gives information of the time lapse between the events p and p ′ (for an observer it would be the proper time elapsed), since the direction normal to the hypersurface is in some sense the temporal direction …; the shift vector represents how much the point p on the same hypersurface is displaced and therefore, (as seen globally) how much it deforms. |
| Zitat: | | While the latter [h_ik] describes the intrinsic geometry of each hypersurface, lapse and shift determine how these hypersurfaces are connected to each other. More precisely, the shift vector field measures how much a given trajectory at constant spatial coordinates is non-orthogonal to the hypersurface and the lapse denotes the proper time per unit coordinate time measured by an observer moving orthogonal to the slices. |
Siehst du den Unterschied?
Im ersten Zitat wird klar, dass Lapse und Shift Eigenschaften der Raumzeit beschreiben, außerdem wird erwähnt, was dies für einen Beobachter bedeutet. Im zweiten Zitat wird für die räumliche Metrik die intrinsische Bedeutung hervorgehoben, für Lapse und Shift wird dagegen nur die Bedeutung für einen Beobachter erklärt. Diese ist natürlich korrekt, die Formulierung – und andere, die man in der Literatur findet – suggerieren jedoch, Lapse und Shift hätten ausschließlich eine Bedeutung für den Beobachter, und hätten nichts mit der Raumzeit selbst zu tun. Und das ist falsch!
Wäre es zutreffend, so könnte man uneingeschränkt auf folgende triviale Form verwenden:
Das ist jedoch nur
a) für spezielle Raumzeiten möglich, wobei die Voraussetzungen m.E. bereits mit der Einführung von T erfüllt sind. Und
b) nicht von vornherein, da man damit essentielle Eigenschaften der Theorie zerstört. Daher kodieren die Funktionen tatsächlich nicht nur Eigenschaften des Beobachterfeldes. Das ist sehr technisch, ich schreibe evtl. später mehr dazu.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 03. Feb 2025 14:53 Titel: |
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Kurz zusammengefasst: die Wahl
und damit
ist möglich, unter der Voraussetzung, dass
 = \mathbb{R} \times (\sigma, h))
global gilt, d.h. dass die Raumzeit stabil kausal ist und somit die Voraussetzungen für den diskutierten Formalismus erfüllt sind, und dass die Raumzeit (M, g) bereits bekannt ist.
D.h. die Wahl ist nicht möglich, bevor man ausgehend von einer raumartigen Hyperfläche deren Zeitentwicklung und somit die gesamte Raumzeit konstruiert hat.
Ich erkläre das mal anhand der Maxwellschen Gleichungen:
)
Die Maxwellschen Gleichungen erhält man als Euler-Lagrange-Gleichungen für die raumartigen Komponenten (3er-Vektoren E, B, j fett) sowie die zeitartige Komponente:
Letzteres, das Gaußsche Gesetz, ist keine dynamische Gleichung, da keine Zeitableitung auftritt; es ist eine Zwangsbedingung.
Würde man die Eichfreiheit der Maxwellschen Theorie ausnutzen und
setzen, bevor man die Maxwellschen Gleichungen hergeleitet hat, so entspräche dies
und man verlöre das Gaußsche Gesetz.
Würde man nun analog
setzen, bevor man die Einsteinschen Feldgleichungen im ADM Formalismus abgeleitet hat, so verlöre man sogar alle Gleichungen!
Ein zweites Beispiel ist das freie relativistische Teilchen der Masse m. Die kovariante Wirkung lautet
mit der Vierergeschwindigkeit
Würde man nun sagen, okj, ich weiß ja, dass der Betrag der Vierergeschwindigkeit immer gleich eins ist, so erhielte man
Ups, jetzt sind alle Koordinate und Geschwindigkeiten verschwunden, da ist nix mehr, kein Teilchen, keine Bewegungsgleichungen.
Und deswegen darf man für Lapse- und Shift nicht sofort die genannte Wahl treffen, sondern muss erst die Einstein-Gleichungen ableiten und darf anschließend diese sogenannte synchrone Eichung
bzw. direkt in der Metrik
wählen (wenn man möchte).
Beachtet man dies nicht, verliert man sozusagen alles. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
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| antaris Verfasst am: 03. Feb 2025 21:19 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | [1.] Es verhält sich also so, dass man für ein M T's und damit n's konstruieren kann, dass jedoch spezielle n's existieren, die nicht aus dieser Konstruktion folgen, und mit denen keine globale Zeitfunktion assoziiert ist. Die Menge aller Beobachterfelder ist also größer als die Menge der Beobachterfelder, mit denen man T's und Sigmas assoziieren kann; nicht aus jedem Beobachterfeld und dessen Eigenzeiten folgt eine Koordinatenzeit. |
Also betrachten wir hier eine Teilmenge von M (M ist die Obermenge?) die mit T assoziert und die daraus konstruierbaren n's enthält. Die Gesamtmenge M enthält darüber hinaus weitere n's? Sind diese weiteren n's unbekannte? Wie ist das ontisch zu verstehen?
| Zitat: | | [2.] Diese Darstellung funktioniert nur, wenn die o.g. Voraussetzung – die Mannigfaltigkeit M ist stabil kausal – erfüllt ist. Dann kann man geeignete Lapse- und Shift-Funktionen finden, für die diese Darstellung zutrifft. Unabhängige von der Idee, dies mittels T und n abzuleiten, liegt also eine spezielle Menge von Raumzeiten M vor, für die man wiederum diese spezielle Darstellung finden kann. |
Du stellst sozusagen das Ergebnis ADM (2.) und die Gedanken hier im Thread (1.) gegenüber? Mittels 2. können die unbekannten n's von 1. in einer speziellen Menge von M konstruiert/gefunden werden?
| Zitat: | | Siehst du den Unterschied? |
Ja er ist marginal aber der Focus liegt je woanders.
| Zitat: | | ...die Formulierung – und andere, die man in der Literatur findet – suggerieren jedoch, Lapse und Shift hätten ausschließlich eine Bedeutung für den Beobachter, und hätten nichts mit der Raumzeit selbst zu tun. Und das ist falsch! |
Also gehören M, Sigma und n (inkl. u) unzertrennlich zusammen, sodass je das eine, die jeweils anderen bedingt?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | ...
Beachtet man dies nicht, verliert man sozusagen alles. |
Aber was bedeutet das? Letztlich nur wie bzw. in welcher Folge die Theorie zu konstruieren ist?
Ganz am Rande gefragt:
Letztendlich stellt eine Beschleunigung eine Abweichung vom freien Fall dar. Wie die Geodäte verläuft wird durch die Wirkung der Lapse-/Shift-Funktionen auf die Koordinaten der Sigma's bestimmt.
Wirkt eine Beschleunigung einer Masse als zusätzlicher Term auf die Lapse-/Shift-Funktionen (sodass eine von der Geodäte abweichende Trajektorie entsteht)?
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