Quantentheorie und Gravitation

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A.Neumaier
Gast

A.Neumaier Verfasst am: 07. Aug 2024 12:32 Titel: Quantentheorie und Gravitation

TomS hat Folgendes geschrieben:

Der Begriff der Quantengravitation – in Analogie zu Quantenelektrodynamik – ist etwas vorurteilsbehaftet, da er suggeriert, man müsse die Gravitation quantisieren; dazu ist man sich absolut nicht einig. Evtl. ist das genauso falsch die Quantisierung der Hydrodynamik, m.a.W., evtl. ist die Gravitation keine fundamentale Theorie. Besser denkt man im Sinne einer "Harmonisierung von Quantentheorie und Gravitation".

Als Ausgangspunkt muss man sich zwei Fragen stellen:
1. warum benötigt man etwas derartiges?
2. und was ist daran so schwierig?

Zu 1.: weil man einerseits in gewissen Situationen QFT und ART zusammen verwenden muss, eine naive Betrachtung der QFT auf einer gekrümmten Raumzeit jedoch inkonsistent zu sein scheint.
Zu 2.: weil bekannte Ansätze zur Quantisierung
bei der ART scheitern und daher zumindest modifiziert oder sogar ganz verworfen werden müssen; das ist aber extrem technisch (Constraint-Quantisierung, Störungstheorie, Renormierung, Anomalien)

Wie gesagt, gerne ein eigener Thread dazu.

Zu 1.: QFT auf einer gekrümmten Raumzeit ist konsistent:

Hollands, S., & Wald, R. M. (2015). Quantum fields in curved spacetime. Physics Reports, 574, 1-35. (gibt es online frei)

Was noch nicht konsistent ist, ist die Rückwirkung eines Quantensystems auf eine gekrümmte Raumzeit.

TomS
Moderator

Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468

TomS Verfasst am: 07. Aug 2024 12:48 Titel: Re: Quantentheorie und Gravitation

A.Neumaier hat Folgendes geschrieben:

[Zu 1.: QFT auf einer gekrümmten Raumzeit ist konsistent:

Hollands, S., & Wald, R. M. (2015). Quantum fields in curved spacetime. Physics Reports, 574, 1-35. (gibt es online frei)

Was noch nicht konsistent ist, ist die Rückwirkung eines Quantensystems auf eine gekrümmte Raumzeit.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die scharfe Grenze, die Sie da ziehen, vollständig verstehe. Am Beispiel der Hawking-Strahlung: Sagen Sie "die QFT auf einer statischen Schwarzschild-Raumzeit ist konsistent; die Betrachtung wird erst dann problematisch, wenn das Schwarze Loch vollständig verschwindet und damit der Zustand rein thermisch ist"?

Ok, stimmt, das muss man außeinanderhalten.

Danke für das Paper von Wald.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
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antaris Verfasst am: 07. Aug 2024 14:06 Titel: Re: Quantentheorie und Gravitation

TomS hat Folgendes geschrieben:

Am Beispiel der Hawking-Strahlung: Sagen Sie "die QFT auf einer statischen Schwarzschild-Raumzeit ist konsistent; die Betrachtung wird erst dann problematisch, wenn das Schwarze Loch vollständig verschwindet und damit der Zustand rein thermisch ist"?

Ok, stimmt, das muss man außeinanderhalten.

Wie sinnvoll ist es von vornherein (bisher) nicht nachweisbare Hypothesen in einer solchen Theorie mit einzubauen? Bei der Hawking-Strahlung scheiden sich die Geister ja auch ob diese wirklich existiert.
Wir hatten das ja schon mal im schwarzen Körper / schwarzen Loch Thread auch im Bezug zum Unruh-Effekt diskutiert. Das müsste ich nochmal nachlesen.

Warum entsteht die Problematik erst, wenn das SL verschwindet?
Vielleicht sollte ich auch erst in den Quellen lesen, bevor ich hier fragen stelle...

TomS hat Folgendes geschrieben:

Evtl. ist das genauso falsch die Quantisierung der Hydrodynamik, m.a.W., evtl. ist die Gravitation keine fundamentale Theorie. Besser denkt man im Sinne einer "Harmonisierung von Quantentheorie und Gravitation".

Müsste das nicht sowieso der Fall sein, wenn Gravitation bzw. die Krümmung der Raumzeit emergent aus einem fundamentalen Prozess entsteht?
Inwiefern spielt unser 3D Blickwinkel in einer 4D Raumzeit eine Rolle? Ist es richtig, dass aus dem 3D Raum gesehen die 4D Raumzeit flach ist?

TomS
Moderator

Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468

TomS Verfasst am: 07. Aug 2024 15:41 Titel: Re: Quantentheorie und Gravitation

antaris hat Folgendes geschrieben:

Es geht nie um experimentell zugängliche Probleme, immer nur um konzeptionelle bzw. theoretische

antaris hat Folgendes geschrieben:

Warum entsteht die Problematik erst, wenn das SL verschwindet?

Die vereinfachte Argumentation geht wie folgt:

Man betrachtet zu Beginn einen hypothetischen, reine Quantenzustand, der eine Materieverteilung im ansonsten leeren Universum beschreibt. Diese Materieverteilung kollabiere zu einem schwarzen Loch, dessen quantenmechanischer Zustand unbekannt ist (die Hawking-Strahlung ist aber im wesentlichen unabhängig von den Details innerhalb des Horizonts). Die Hawking-Strahlung auf einem stationären Hintergrund mit schwarzem Loch ist mathematisch recht aufwändig zu berechnen, jedoch letztlich kein Hexenwerk.

Nach dem Verdampfen des schwarzen Lochs liegt nun ein thermischer Endzustand vor. Der Gesamtprozess Kollaps plus Verdampfen überführt also einen reinen in einen thermischen Zustand, was der Unitarität der Zeitentwicklung der QFT widerspricht. D.h. irgendwo in diesem Gesamtkonstrukt steckt ein fundamentaler Fehler. Dass dies so ist, wusste bereits Hawking, wie man das Problem löst, ist nach wie vor unbekannt.

Ein Gedanke, der einem sofort in den Sinn kommt, ist, dass bei einer Quantisierung der Gravitation, deren quantenmechanische Freiheitsgrade – die Hawking nicht betrachtet – die Unitarität retten könnten.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Müsste das nicht sowieso der Fall sein, wenn Gravitation bzw. die Krümmung der Raumzeit emergent aus einem fundamentalen Prozess entsteht?

Das ist die Idee.

Ich kenne mich dazu leider recht wenig aus, habe nie selbst etwas dazu gerechnet, immer nur quer gelesen. Die initiale Idee geht wohl auf eines der wohl am häufigsten zitierten Papiere aus den letzten Jahrzehnten zurück –

https://arxiv.org/abs/hep-th/9711200
The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity
Juan M. Maldacena

Dabei geht es um ein unrealistisches Spielzeugmodell, inspiriert durch Ideen aus der Stringtheorie. Weder konnte man es unabhängig von dieser wirklich handfest formulieren, noch konnte man es auf eine realistische Geometrie der Raumzeit übertragen. Dennoch haben sich einige Ideen sozusagen verselbstständigt und zeigen eine spannende Dualität: eine Stringtheorie, die in gewisser Weise die Gravitation einschließt in einer D-dimensionalen Raumzeit kann in Teilen und in gewissen Grenzfällen "übersetzt" werden in eine sogenannte konforme Quantenfeldtheorie ohne Gravitation, die auf der (D-1)-dimensionalen Oberfläche der D-dimensionalen Raumzeit lebt. Dieses als AdS/CFT bekannte Modell stellt eine erste konkrete Realisierung des sogenannten holographischen Prinzips dar. Nun kann man dies als Spinnerei abtun, die Idee zu diesem Prinzip ist jedoch wesentlich älter und geht auf 't Hooft zurück – und den würde ich nicht als Spinner bezeichnen.

Jedenfalls zeigen sich immer wieder Parallelen zwischen Theorien mit und Theorien ohne Gravitation, wobei Letztere in gewisser Weise so etwas wie Gravitation hervorzubringen scheinen. Ich formuliere das aus zwei Gründen vorsichtig, erstens, weil ich mich nicht wirklich gut auskenne, und zweitens, weil man bei genauerem Hinsehen schon merkt, dass das noch sehr spekulativ ist.

Susskind hat das einmal ungefähr so formuliert: Quantenmechanik und Gravitation scheinen irgendwie zwei Seiten der selben Medaille zu sein, so dass es evtl. falsch ist, diese künstlich auseinanderzureißen und anschließend die Gravitation zu nehmen und zu quantisieren.
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GodfatherofSoul
Gast

GodfatherofSoul Verfasst am: 07. Aug 2024 17:00 Titel:

Hier wurde der Begriff 4D benutzt. Laut anerkannter Wissenschaft gibt es jedoch so etwas wie einen 4dimensionalen ausgebreiteten Raum nicht. Vielmehr ist die 4 te Dimension die Zeitachse/Translation des 3D Raumes.

antaris

Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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antaris Verfasst am: 07. Aug 2024 17:39 Titel:

Danke für die Erläuterungen! Das geht dann aber nur in Richtung Stringtheorie? Der Ansatz der LQG ist ein anderer?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es geht nie um experimentell zugängliche Probleme, immer nur um konzeptionelle bzw. theoretische

Ich habe immer noch deine Worte im Hinterkopf, dass sich Theorien immer aus bekannten Wissen ableiten lassen müssen (bzw. sollten). Das ist nicht der genaue Wortlaut aber du hattest es im Ontologie Thread so ähnlich geschrieben (ich müsste suchen).
Die jetzige und die damalige Aussage passen aber nicht so recht zusammen.

Ich glaube das Problem liegt darin die Gravitation, die QM, die klassische Mechanik jeweils einzeln beschreiben und von diesem Startpunkt aus eine gemeinsame Theorie finden zu wollen.
Das Universum muss m.E. von Grund auf "erdacht" werden und aus diesem fundamentalen Konstrukt sollten die grundlegenden etablierten Theorien emergent der Physik hervorgehen. Aus den Theorien folgen dann all die Facetten der (wissenschaftlichen) Realität.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die vereinfachte Argumentation geht wie folgt...

Was ist mit "rein" gemeint und warum wird dieser Quantenzustand vorausgesetzt? Der thermische Endzustand verteilt sich dann mittels Photonen im sonst leeren Universum? Die Unitarität belibt nicht erhalten, weil sich ein System von einem Zustand A in einen völlig anderen Zustand B entwickelt und weil die Zeitumkehrinvarianz nicht gegeben ist (, da es unmöglich ist zu beschreiben was genau die Materie im SL mal war)?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ein Gedanke, der einem sofort in den Sinn kommt, ist, dass bei einer Quantisierung der Gravitation, deren quantenmechanische Freiheitsgrade – die Hawking nicht betrachtet – die Unitarität retten könnten.

Ok, das leuchtet mir ein. Da kommt mir direkt in den Sinn, dass lt. TI nur das gesamte Universum unitär ist. Warum sollte dann gerade ein SL bzw. dessen Oberfläche/äußere Lösung unitär sein oder die Hawking-Strahlung aus einem unitären Prozess entstehen, wenn das SL offensichtlich (auch in der einfachen Darstellung hier) nur eine Teilmenge des Universums ist. Oder wird in dem Bild des einen SL in einer sonst leeren Raumzeit als gesamtes Universum angesehen, sodass die Raumzeit eigentlich ein teil des SL ist?

TomS hat Folgendes geschrieben:

https://arxiv.org/abs/hep-th/9711200
The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity
Juan M. Maldacena

Danke, schau ich mir an.

TomS hat Folgendes geschrieben:

...eine sogenannte konforme Quantenfeldtheorie ohne Gravitation, die auf der (D-1)-dimensionalen Oberfläche der D-dimensionalen Raumzeit lebt. Dieses als AdS/CFT bekannte Modell stellt eine erste konkrete Realisierung des sogenannten holographischen Prinzips dar. Nun kann man dies als Spinnerei abtun, die Idee zu diesem Prinzip ist jedoch wesentlich älter und geht auf 't Hooft zurück – und den würde ich nicht als Spinner bezeichnen.

Diese konforme Quantenfeldtheorie wäre dann als fundamental anzusehen, welche in 1D Strukturen (den Strings?) lebt und alles weitere sollte sich darüber ableiten lassen? Das holographische Prinzip würde ich absolut nicht als Spinnerei abtun.
Ist folgende Aussage auf Wiki korrekt?

Zitat:

Als holografisches Prinzip wird in Theorien der Quantengravitation die Hypothese bezeichnet, dass es zu jeder Beschreibung der Dynamik eines Raum-Zeit-Gebiets eine äquivalente Beschreibung gibt, die nur auf dem Rand dieses Gebiets lokalisiert ist. Dies hat u. a. zur Folge, dass die maximal mögliche Entropie eines Raumgebietes nicht vom Volumen abhängt, sondern nur von dessen Oberfläche, wie bei der Bekenstein-Hawking-Entropie schwarzer Löcher, für die das holografische Prinzip eine Interpretation liefert und die es motivierte.

Das holografische Prinzip bringt zum Ausdruck, dass unter Berücksichtigung der Gravitation der „Informationsgehalt“, d. h. die Anzahl möglicher Anordnungen von Teilchen und Feldern, keine rein lokale Größe sein kann, denn dann wäre er proportional zum Volumen.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Susskind hat das einmal ungefähr so formuliert: Quantenmechanik und Gravitation scheinen irgendwie zwei Seiten der selben Medaille zu sein, so dass es evtl. falsch ist, diese künstlich auseinanderzureißen und anschließend die Gravitation zu nehmen und zu quantisieren.

Das würde ich auch so sehen.

Marsian
Gast

Marsian Verfasst am: 07. Aug 2024 17:57 Titel:

Kennt ihr die Arbeiten von Burkhard Heim? Laut heimscher Theorie haben Elementarteilchen geometrische Qualitäten. Diese erklären z. B. Die naturphänomene wie den Flower of Life oder den goldenen Schnitt.

TomS
Moderator

Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468

TomS Verfasst am: 07. Aug 2024 18:57 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Danke für die Erläuterungen! Das geht dann aber nur in Richtung Stringtheorie? Der Ansatz der LQG ist ein anderer?

Da habe ich mich wohl unklar ausgedrückt. Das holographische Prinzip ist älter als die Stringtheorie, und es gibt auch Beispiele außerhalb. Die Stringtheorie war ein Startpunkt speziell für AdS/CFT. Ich denke, das sind Ideen, die unabhängig von der Stringtheorie relevant sein werden (und diese überdauern).

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es geht nie um experimentell zugängliche Probleme, immer nur um konzeptionelle bzw. theoretische

Es gibt keine experimentellen Befunde zur Unverträglichkeit von Quantenmechanik und Gravitation, ausschließlich theoretische bzgl. Konsistenz u.ä. Und ja, es ist natürlich ein Problem, dass man keine der Theorien im Experiment erproben kann.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die vereinfachte Argumentation geht wie folgt...

Was ist mit "rein" gemeint und warum wird dieser Quantenzustand vorausgesetzt?

"Rein" ist ein technischer Begriff.

Siehe hier, insbs. (9.24) https://homepage.univie.ac.at/reinhold.bertlmann/pdfs/T2_Skript_Ch_9corr.pdf

antaris hat Folgendes geschrieben:

Die Unitarität bleibt nicht erhalten …

In der QM ist die Unitarität der Zeitentwicklung des Dichteoperators eines abgeschlossenen Systems ohne Ausnahme gültig; siehe (9.24). Ein reiner Zustand kann nie in einen gemischten übergehen.

Wenn also gemäß Hawking's Berechnungen aus einem reinen Zustand ein thermischer und damit gemischter Zustand entsteht, dann ist für diesen Prozess der Hawkingstrahlung entweder diese fundamentale Regel der Quantenmechanik verletzt und die Quantenmechanik in diesem Fall ungültig, oder die Annahme, es läge der Zustand eines abgeschlossenen Systems vor, ist falsch (die Überlegung, wie man bei der Hawkingstrahlung vom reinen zu dem thermischen Zustand gelangt, verwendet nicht die quantenmechanische Zeitentwicklung).

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ok, das leuchtet mir ein.

Eine Lösung im Rahmen einer Quantengravitation ist jedoch nicht so straight forward möglich wie man denken mag, da Letztere (in der kanonischen Quantisierung zunächst eine Theorie völlig ohne jede Zeit ist! Wenn man das diskutieren möchte, wird es schnell sehr technisch, außerdem unterscheiden sich nach meinem Verständnis die unterschiedlichen Ansätze hier sehr deutlich.

In der LQG ist z.B. H ~ 0 für alle physikalischen Zustände, d.h. weder ist der Hamiltonian H mit einer Energie verknüpft, noch generiert er eine Zeitentwicklung (weil es keinen solchen Parameter t geben kann). Außerdem bestehen Zweifel, dass man überhaupt das richtige H gefunden hat. Damit bliebe die Argumentation bzgl. der fehlenden Freiheitsgrade evtl. gültig, der Rest hängt jedoch vollständig in der Luft.

So besteht Hawking's Vermächtnis wohl auch nicht daran darin, hier einen neuen Prozess entdeckt zu haben, sondern vermutlich eher darin, einen fundamentalen Knackpunkt bei der Harmonisierung von Quantenmechanik und Gravitation gefunden zu haben.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

https://arxiv.org/abs/hep-th/9711200
The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity
Juan M. Maldacena

Danke, schau ich mir an.

Lass es, weil …

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Diese konforme Quantenfeldtheorie wäre dann als fundamental anzusehen, welche in 1D Strukturen (den Strings?) lebt und alles weitere sollte sich darüber ableiten lassen? .

… das Zeitverschwendungen ist.

Die Formulierung des holographischen Prinzip und die Entdeckung eines Modells (bzw. inzwischen mehrerer) in denen dieses Prinzip sichtbar wird, sind sicherlich extrem spannend. Dieses konkrete Modell ist jedoch für unser Universum völlig irrelevant. Darüber hinaus haben es die Stringtheoretiker bis heute nicht geschafft, realistische Modelle zu konstruieren, in denen etwas ähnliches gilt.

Nein, man kann nicht so einfach sagen, ob das eine oder das andere fundamental ist. Wenn diese Dualität exakt gilt – es gibt keinen Beweis dafür – dann ist die Dualität eben exakt, und beide Theorien liefern für sämtliche beobachtbare Größen exakt die selben Ergebnisse.

Zitat:

Ja, das ist im Wesentlichen in Ordnung.

Tatsächlich war es so, dass Bekenstein – auch auf Basis der Arbeiten von Hawking und Penrose – Analogien, zwischen Gleichungen der Thermodynamik und Gleichungen für Masse, Oberfläche etc. von schwarzen Löchern erkannt hat. Daraus schlussfolgerte er, dass man einem schwarzen Loch Entropie zu schreiben kann, und dass diese zur Oberfläche proportional ist. Dies war schon alleine deswegen spannend, weil Entropie im Rahmen der statistischen Mechanik mit mikroskopischen Freiheitsgrad verknüpft ist, die wir jedoch für ein schwarzes Loch nach der allgemeinen Relativitätstheorie nicht haben – es wird durch drei Größen beschrieben, Masse, Drehimpuls und Ladung.

Darüber hinaus – wenn es eine nicht verschwindende Entropie hat, dann müsste es auch eine nicht verschwindende Temperatur haben. Ich meine mich zu erinnern, dass Hawking ursprünglich zeigen wollte, dass die Temperatur schwarzer Löcher auch im Rahmen der Quantenfeldtheorie null sein muss – d.h. er wollte gerade nicht das ableiten, was er dann gezeigt hat.

Insofern ist das ein extrem interessanter Zusammenhang.

Die Verwendung des Begriffs der Entropie kann man im Rahmen der statistischen Mechanik rechtfertigen, wenn man die entsprechenden Freiheitsgrade kennt, und wenn eine Temperatur bekannt ist. Den Begriff der Information müsste man ebenfalls rechtfertigen, das wird jedoch häufig nur so platt dahin gesagt.

The holographic principle asserts that the description of a volume of space can be thought of as encoded on a boundary to the region—preferably a light-like boundary like a gravitational horizon.

It seems that it is possible to map all physical processes that take place inside a finite region of space onto a corresponding set of processes that occur at the boundary of that region.

(beides nach 't Hooft)
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antaris

Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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antaris Verfasst am: 08. Aug 2024 18:51 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Danke für die Erläuterungen! Das geht dann aber nur in Richtung Stringtheorie? Der Ansatz der LQG ist ein anderer?

Gut zu wissen

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es geht nie um experimentell zugängliche Probleme, immer nur um konzeptionelle bzw. theoretische

Ich habe auch noch die Worte "Sollen sich doch die Experimentalphysiker um die Falsifizierung kümmern" im Kopf.

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die vereinfachte Argumentation geht wie folgt...

Was ist mit "rein" gemeint und warum wird dieser Quantenzustand vorausgesetzt?

"Rein" ist ein technischer Begriff.

Siehe hier, insbs. (9.24) https://homepage.univie.ac.at/reinhold.bertlmann/pdfs/T2_Skript_Ch_9corr.pdf

Bei Gleichung 9.24 steht :

"Furthermore, it helps us to prove, for instance, that the mixedness Tr ρ2 of a density
matrix is time independent"

Mixedness bezieht den reinen Zustand mit ein?

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Die Unitarität bleibt nicht erhalten …

In der QM ist die Unitarität der Zeitentwicklung des Dichteoperators eines abgeschlossenen Systems ohne Ausnahme gültig; siehe (9.24). Ein reiner Zustand kann nie in einen gemischten übergehen.

Aber wie passt das mit der TI und dessen bild des unitären Universums und dessen nicht-unitären Teilmengen? Wenn ich nur ein Proton im ganzen Universum einzeln betrachte, so handelt es sich um zwei Teilmengen des Universums, ein Proton und der ganze Rest. Schon diese beiden Teilmengen dürften sich dann nicht-unitär verhalten?!

TomS hat Folgendes geschrieben:

Wenn also gemäß Hawking's Berechnungen aus einem reinen Zustand ein thermischer und damit gemischter Zustand entsteht, dann ist für diesen Prozess der Hawkingstrahlung entweder diese fundamentale Regel der Quantenmechanik verletzt und die Quantenmechanik in diesem Fall ungültig, oder die Annahme, es läge der Zustand eines abgeschlossenen Systems vor, ist falsch (die Überlegung, wie man bei der Hawkingstrahlung vom reinen zu dem thermischen Zustand gelangt, verwendet nicht die quantenmechanische Zeitentwicklung).

Ich würde erstmal beim SL auf ein nicht-abgeschlossenes System tippen. Abgeschlossen bedeutet, dass es keine äußeren Wirkungen auf das System gibt? Wenn eine Masse m in ein SL stürzt, so erhöht sich dessen Umfang linear und seine Oberfläche quadratisch zur Masse und dem Schwarzschildradius. Ich verstehe nicht, warum das als abgeschlossen angesehen werden soll. Bei realen schwarzen Löchern, die gemäß Kerr-Metrik rotieren und sogar in Jets Materie und Energie ausstoßen ist es noch etwas anderes, ein abgeschlossenes Systemn noch unwahrscheinlicher. Ich denke in der Realität ist das extrem dynamisch und kaum vorstellbar.

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ok, das leuchtet mir ein.

Welche ist mit Letztere gemeint? Stringtheorie?
Ich glaube daran, dass das Prinzip eigentlich gar nicht so schwer zu verstehen ist aber die Details wie die Zusammenhänge exakt beschrieben werden sind dagegen hoch komplex.

TomS hat Folgendes geschrieben:

In der LQG ist z.B. H ~ 0 für alle physikalischen Zustände, d.h. weder ist der Hamiltonian H mit einer Energie verknüpft, noch generiert er eine Zeitentwicklung (weil es keinen solchen Parameter t geben kann). Außerdem bestehen Zweifel, dass man überhaupt das richtige H gefunden hat. Damit bliebe die Argumentation bzgl. der fehlenden Freiheitsgrade evtl. gültig, der Rest hängt jedoch vollständig in der Luft.

So besteht Hawking's Vermächtnis wohl auch nicht daran darin, hier einen neuen Prozess entdeckt zu haben, sondern vermutlich eher darin, einen fundamentalen Knackpunkt bei der Harmonisierung von Quantenmechanik und Gravitation gefunden zu haben.

Also im Grunde muss man zuerst damit anfangen, wie die Unitarität gültig bleib

TomS hat Folgendes geschrieben:

Nein, man kann nicht so einfach sagen, ob das eine oder das andere fundamental ist. Wenn diese Dualität exakt gilt – es gibt keinen Beweis dafür – dann ist die Dualität eben exakt, und beide Theorien liefern für sämtliche beobachtbare Größen exakt die selben Ergebnisse.

Es wäre aber eine zu erwartende Eigenschaft einer Symmetrie?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Ja ich habe das schon vor einer Weile mal versucht zu thematisieren. Für mich fängt genau an dieser Stelle die Idee an.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Darüber hinaus – wenn es eine nicht verschwindende Entropie hat, dann müsste es auch eine nicht verschwindende Temperatur haben.

Ja auch mit der Temperatur schwarzer Löcher habe ich mich beschäftigt. Die Temperatur geht immer weiter gegen 0K, desto größer die Masse des SL. Bei supermassereichen SL liegt die Temperatur weiter unter der Hintergrundstrahlung. genau das hatte mich zu dem Gedanken schwarzer Körper / schwarzes Loch geführt, da ein schwarzer Körper kalt sin müsste und somit Wärme immer zur äußeren Oberfläche strömt aber nie wieder hinaus.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ich meine mich zu erinnern, dass Hawking ursprünglich zeigen wollte, dass die Temperatur schwarzer Löcher auch im Rahmen der Quantenfeldtheorie null sein muss – d.h. er wollte gerade nicht das ableiten, was er dann gezeigt hat.

Insofern ist das ein extrem interessanter Zusammenhang.

Definitiv!

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Verwendung des Begriffs der Entropie kann man im Rahmen der statistischen Mechanik rechtfertigen, wenn man die entsprechenden Freiheitsgrade kennt, und wenn eine Temperatur bekannt ist. Den Begriff der Information müsste man ebenfalls rechtfertigen, das wird jedoch häufig nur so platt dahin gesagt.

Zu klären ist vorher, wie oben schon benannt, wie das gesamte Universum unitär sein kann und seine Teilmengen nicht.

TomS hat Folgendes geschrieben:

The holographic principle asserts that the description of a volume of space can be thought of as encoded on a boundary to the region—preferably a light-like boundary like a gravitational horizon.

It seems that it is possible to map all physical processes that take place inside a finite region of space onto a corresponding set of processes that occur at the boundary of that region.

(beides nach 't Hooft)

Wenn ich schreibe, dass die Realität sich auf einer Fläche abspielt und die Strukturen eine Projektion oder ein Hologramm dieser Fläche sind, wie unsinnig ist das?

P.S.: Beitrag zitieren -> Text markieren und kopieren -> https://www.sceditor.com/ -> Source <> umschalten-> Text einfügen -> Source <> umschalten-> Text editieren und kopieren -> Text als Antwort im Physikerboard einfügen und abschicken -> viel besser!

TomS
Moderator

Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468

TomS Verfasst am: 09. Aug 2024 07:38 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es geht nie um experimentell zugängliche Probleme, immer nur um konzeptionelle bzw. theoretische

Ich habe auch noch die Worte "Sollen sich doch die Experimentalphysiker um die Falsifizierung kümmern" im Kopf.

Hatte ich das so provokant geschrieben?

antaris hat Folgendes geschrieben:

Bei Gleichung 9.24 steht :

"Furthermore, it helps us to prove, for instance, that the mixedness Tr ρ2 of a density
matrix is time independent"

Mixedness bezieht den reinen Zustand mit ein?

Die Mixedness

ist sozusagen der Grad der Abweichung von Eins, wobei = 1 für einen reinen Zustand gilt, dieser hätte sozusagen Mixedness Null.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Die Unitarität bleibt nicht erhalten …

In der QM ist die Unitarität der Zeitentwicklung des Dichteoperators eines abgeschlossenen Systems ohne Ausnahme gültig; siehe (9.24). Ein reiner Zustand kann nie in einen gemischten übergehen.

Aber wie passt das mit der TI und dessen bild des unitären Universums und dessen nicht-unitären Teilmengen?

Diese Teilmengen sind keine abgeschlossenen Systeme.

Man erhält Subsysteme, die sich i.A. nicht-unitär entwickeln, indem man Freiheitsgrade vernachlässigt (die der Gravitation kennt man gar nicht) oder explizit eliminiert (ausspurt, ausintegriert …).

antaris hat Folgendes geschrieben:

Wenn ich nur ein Proton im ganzen Universum einzeln betrachte, so handelt es sich um zwei Teilmengen des Universums, ein Proton und der ganze Rest. Schon diese beiden Teilmengen dürften sich dann nicht-unitär verhalten?!

Ja.

Wobei wichtig ist, dass du dir ein Subsystem nicht nur räumlich abgegrenzt denken darfst. Betrachtest du ein Subsystem bestehend aus wenigen Quantenobjekten in einem als idealisiert abgeschlossenen Volumen, so ignorierst du nicht nur Einflüsse außerhalb des Volumens, sondern auch innerhalb – z.B. thermische Photonen, Restgas …

Und im vorliegenden Fall ignorieren wir eben auch die Freiheitsgrade der Gravitation innerhalb des Volumens – wir kennen die ja nicht mal.

Kennt man derartige Freiheitsgrade, so kann man sie teilweise explizit eliminieren, man erhält dann sogenannte effektive Theorien, in denen sie nicht mehr auftreten, jedoch noch nur Effekte übrigbleiben, die auf sie zurückzuführen sind.

Würdest du z.B. versuchen, die Bewegungsgleichung eines Körpers bestehend aus Atomen in einer Flüssigkeit ebenfalls bestehend aus Atomen zu lösen, so wäre das ein hoffnungsloses Unterfangen. Integriert man die Atome aus, so erhielte man eine effektive Theorie eines klassischen Körpers in einer klassischen viskosen Flüssigkeit. Die Viskosität wäre so ein Effekt (ich weiß nicht, ob das für Flüssigkeiten geht, aber für die QCD habe ich sowas gemacht).

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ich würde erstmal beim SL auf ein nicht-abgeschlossenes System tippen.

Vergiss erstmal das schwarze Loch selbst und betrachte nur den Außenraum.

Die erste Annahme ist, dass sich das Universum zu Beginn der Betrachtung also noch vor der Bildung des SLs in einem reinen Zustand befindet; bzgl. der Strahlung liegt der Vakuumzustand vor. Aber bei der Betrachtung hat man vergessen, dass es auch noch gravitative Freiheitsgrade gibt, die im Quantenzustand gar nicht auftauchen. Man hat also schon hier ein offenes System.

Zweitens betrachtet Hawking die Streuung von Photonen am sich bildenden EH des SLs. Er konstruiert dazu den reinen Zustand, der in der fernen Vergangenheit dem Vakuum entspricht. Dieser Zustand leben in einem Hilbertraum, aber dieser wird immer "über" einer Raumzeit konstruiert. Da das Innere der SLs den Außenraum nicht kausal beeinflusst, ignoriert Hawking das Innere und konstruiert den Hilbertraum nur über dem Außenraum. Aber dadurch ist dieses System implizit offen.

Es ist sozusagen so, dass "etwas aus dem betrachteten Hilbertraum verschwindet". Dieses Verschwinden entspricht der Tatsache, dass Materie den sich bildendem EH überschreitet.

Aber drittens betrachtet Hawking die Materie in seiner Originalarbeit nicht quantenmechanisch, d.h. der oben genannte Zustand ist diesbzgl. unvollständig, wiederum ist das System offen.

* daraus folgert er dann, dass in der fernen Zukunft ein thermischer Zustand vorliegt; diese Schlussfolgerung entspricht keiner quantenmechanischen Zeitentwicklung

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ok, das leuchtet mir ein.

Welche ist mit Letztere gemeint? Stringtheorie?

Die Stringtheorie sagt nach meinem Verständnis dazu gar nichts.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Ich glaube daran, dass das Prinzip eigentlich gar nicht so schwer zu verstehen ist aber die Details wie die Zusammenhänge exakt beschrieben werden sind dagegen hoch komplex.

Doch, das ist extrem kompliziert.

Der erste Punkt ist, dass die Quantenmechanik die Zeitvariable quasi künstlich einführt. In der ART gibt es aber keine ausgezeichnete Zeit, konsequenterweise enthält ihre Schrödingergleichung auch keine.

Das meinte ich mit

Zitat:

Man muss im System so etwas wie ein Subsystem finden, das die Rolle einer Uhr spielen kann. Das funktioniert ansatzweise, allerdings nein,

antaris hat Folgendes geschrieben:

… muss man zuerst damit anfangen, wie die Unitarität gültig bleib

denn es gibt es dann keinen Grund, dass die Dynamik bzgl. dieser Uhr unitär sein muss.

Der zweite Punkt bzgl. H ist zu technisch, um ihn sinnvoll zu diskutieren.

https://arxiv.org/abs/hep-th/0501114
https://arxiv.org/abs/hep-th/0608210

Letztlich könnte dies alles eine Konsequenz der Tatsache sein, dass die Idee einer Quantisierung der Gravitation falsch ist.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Wenn ich schreibe, dass die Realität sich auf einer Fläche abspielt und die Strukturen eine Projektion oder ein Hologramm dieser Fläche sind, wie unsinnig ist das?

Wo steht sowas?
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antaris

Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum

antaris Verfasst am: 09. Aug 2024 11:23 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Hatte ich das so provokant geschrieben?

Ich finde das gerade nicht wieder aber hier stehts weniger provokant geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

...mit diesem Dissens (aber auch bei Konsens) geht man zum Experimentalphysiker und erklärt ihm, was er prüfen soll; das macht das Ganze zu einer kritischen Wissenschaft.

TomS hat Folgendes geschrieben:

ist sozusagen der Grad der Abweichung von Eins, wobei = 1 für einen reinen Zustand gilt, dieser hätte sozusagen Mixedness Null.

Ok, dann verstehe ich das Argument. Entspricht der reine Zustand einer Superposition oder hat das nichts damit zu tun?

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Richtig, jede Wirkung auf die wenigen betrachteten Quantenobjekte wird ignoriert. Also ist das SL bzw. dessen Außenraumlösung nicht abgeschlossen?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Und im vorliegenden Fall ignorieren wir eben auch die Freiheitsgrade der Gravitation innerhalb des Volumens – wir kennen die ja nicht mal.

Wenn Gravitation überhaupt Freiheitsgrade hat. Wenn alles auf Geometrie und eine Scheinkraft Gravitation zurückzuführen ist, welche Freiheitsgrade sollte die Gravitation dann haben?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Kennt man derartige Freiheitsgrade, so kann man sie teilweise explizit eliminieren, man erhält dann sogenannte effektive Theorien, in denen sie nicht mehr auftreten, jedoch noch nur Effekte übrigbleiben, die auf sie zurückzuführen sind.

Würdest du z.B. versuchen, die Bewegungsgleichung eines Körpers bestehend aus Atomen in einer Flüssigkeit ebenfalls bestehend aus Atomen zu lösen, so wäre das ein hoffnungsloses Unterfangen. Integriert man die Atome aus, so erhielte man eine effektive Theorie eines klassischen Körpers in einer klassischen viskosen Flüssigkeit. Die Viskosität wäre so ein Effekt (ich weiß nicht, ob das für Flüssigkeiten geht, aber für die QCD habe ich sowas gemacht).

Du meinst die Gravitation könnnte auf diskrete Quantenobjekte beruhen, welche in der effektiven Theorie (die ART?) nicht mehr vorkommen, dafür aber die Wirkungen der Quantenobjekte (Gravitation, Krümmung der Raumzeit) beschrieben wird?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Frage ist nur, wie realistisch ist das wirklich? Was ich absolut nicht verstehe ist, wie ein SL durch Photonen im Mikrowellenbereich auf dem EH verdampfen kann, wenn doch eigentlich nichts Aufgrund der Gravitationswirkung in den Außenraum "zurückfallen" kann.

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Ich glaube daran, dass das Prinzip eigentlich gar nicht so schwer zu verstehen ist aber die Details wie die Zusammenhänge exakt beschrieben werden sind dagegen hoch komplex.

Doch, das ist extrem kompliziert.

Man kann auch "eine Unendlichkeit", die der komplexe Zahlenmenge, mittels Mandelbrotmenge anschaulich in einem einzigen gesamten Bild darstellen. Das ist m.E. beim gesamten Universum ganz ähnlich übertragbar aber sicher viel komplizierter, das Universum im Gegensatz zur Mandelbrotmenge ein dynamisches System ist. Analog zum Universum können aber lokale Strukturen in der Mandelbrotmenge als offen bezeichnet werden, da sie immer vom gobal geschlossenen Gesamtbild (dem Startbild der Menge) abhängen. Beim hineinzoomen in die Mandelbrotmenge entwickeln sich die Strukturen global unitär aber lokal nicht-unitär in einem sonst statischen Bild.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Der erste Punkt ist, dass die Quantenmechanik die Zeitvariable quasi künstlich einführt. In der ART gibt es aber keine ausgezeichnete Zeit, konsequenterweise enthält ihre Schrödingergleichung auch keine.

Das meinte ich mit

Zitat:

Man muss im System so etwas wie ein Subsystem finden, das die Rolle einer Uhr spielen kann. Das funktioniert ansatzweise, allerdings nein,

antaris hat Folgendes geschrieben:

… muss man zuerst damit anfangen, wie die Unitarität gültig bleib

denn es gibt es dann keinen Grund, dass die Dynamik bzgl. dieser Uhr unitär sein muss.

Könnte es ein System mit besonderem Zustand geben, in dem für alle dessen Teilmengen t=const gilt? Die Teilmengen sozusagen alle auf einer raumartigen (Gleichzeitigkeits-)Fläche liegen? Im Minkowski-Diagramm liegen alle diese Teilmengen parallel zur x-Achse bzw. auf einer flachen xy-Ebene.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Letztlich könnte dies alles eine Konsequenz der Tatsache sein, dass die Idee einer Quantisierung der Gravitation falsch ist.

Diese Vermutung sollte dann aber ernst genommen werden.

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Wenn ich schreibe, dass die Realität sich auf einer Fläche abspielt und die Strukturen eine Projektion oder ein Hologramm dieser Fläche sind, wie unsinnig ist das?

Wo steht sowas?

Na ja es ist nur meine Überlegung.
Prinzipiell geht es aber meiner Ansicht nach um die SRT, das Konzept der Geodäten bzw. der Weltlinien, also keine reine Phantasiegeschichte.

Ich denke mittels Proton ein einfaches Beispiel nennen zu können. Der Prozess der Entstehung der Protonen "aus verklumpen" von Quarks und Gluonen war ca. einer tausendstel Sekunde nach dem Urknall abgeschlossen. Wir blenden das "vorher" bei der Entstehung der Protonen aus.
Ich gehe also davon aus, dass sehr viele Protonen im Laufe der Zeitentwicklung gleichzeitig entstanden sein müssten. Sie wären dann auf einer gemeinsamen Fläche mit t=const verbunden und wären das heute immernoch, können sich aber sonstirgendwo im sichtbaren Universum befinden und die Fläche wäre gekrümmt und nur noch lokal bei jedem Proton flach. Die Weltlinien der bzw. vieler Protonen verlaufen also seit dem Urknall durch die Raumzeit. Viele sind in Atome gebunden, gehen Verbindungen mit andere Atome ein, bilden Moleküle usw.
Die Weltgeschichte der Protonen auf dem Weg ihrer Weltlinie durch die Zeit kann also sehr ereignisreich sein aber gibt es neben der natürlichen Entstehung der Protonen auch eine natürliche Zerstörung am Ende dessen individueller Weltgeschichte?

Könnte solch ein Ende eines Proton als Sturz auf die Oberfläche des EH eines SL gedeutet werden? Das Proton entwickelt sich zeitlich aus einer Fläche in der für alle anderen Protonen t=const gilt, über eine Hyperfläche durch die Raumzeit in der zwischen den Protonen t≠const gilt, hin zum Ende auf einer Oberfläche eines EH auf dem wieder für alle Protonen t=const gilt.

Die Eigenschaften der Ereignishorizonte aller schwarzer Löcher sind vollkommen identisch und somit "austauschbar". Es ist egal ob ein Proton auf den EH von SL A oder SL B fällt. Ich interpretiere das als eine einzige nichtlokale Fläche, welche gleichermaßen, als zwei Seiten einer Medaille, als Ursprung und Ende der Realität aufgefasst werden kann.

A.Neumaier
Gast

A.Neumaier Verfasst am: 09. Aug 2024 11:58 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Man hat also schon hier ein offenes System.

Daher braucht es einen auch nicht zu wundern, dass der Endzustand gemischt ist. Die Dynamik eines offenen Systems erhält nämlich reine Zustände nicht.

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 09. Aug 2024 14:22 Titel:

A.Neumaier hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Man hat also schon hier ein offenes System.

Daher braucht es einen auch nicht zu wundern, dass der Endzustand gemischt ist. Die Dynamik eines offenen Systems erhält nämlich reine Zustände nicht.

Ja, genau das meinte ich.

Witzigerweise habe ich dazu aber noch etwas im Kontext der Quantengravitation gelesen.

Ohne eine Idee, wie die fehlenden Freiheitsgrade aussehen, wie H beschaffen ist und welche Dynamik gilt, kann man aber natürlich auch keine effektive Dynamik für die verbleibenden konstruieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

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antaris Verfasst am: 10. Aug 2024 23:00 Titel:

Ich bin in dem empfohlenen paper von Stefan Hollands, Robert M. Wald am lesen.

Zitat:

Thus, although it should be possible to define “Euclidean quan-
tum field theory” on curved Riemannian spaces [65], there is no obvious way to
7
connect such a theory with quantum field theory on Lorentzian spacetimes. Thus,
if one’s goal is to define quantum field theory on general Lorentzian spacetimes,
it does not appear fruitful to attempt to formulate the theory via a Euclidean ap-
proach.

Die etablierte QFT "lebt" im flachen Minkowskiraum und kann dort mit Hilfe euklidischer Geometrie beschrieben und untersucht werden? Das lässt sich aber nicht auf allgemein gekrümmte Räume übertragen, da diese nicht-euklidisch, sondern Lorentzräume (Verallgemeinerung der Lᵖ Räume) sind?

Wiki:

Zitat:

In mathematical analysis, Lorentz spaces, introduced by George G. Lorentz in the 1950s,[1][2] are generalisations of the more familiar Lᵖ spaces.

Lp spaces form an important class of Banach spaces in functional analysis, and of topological vector spaces. Because of their key role in the mathematical analysis of measure and probability spaces, Lebesgue spaces are used also in the theoretical discussion of problems in physics, statistics, economics, finance, engineering, and other disciplines.

Warum kann anstelle der euklidischen Geometrie nicht die fraktale Geometrie angewendet werden, welche erstere enthält?

Wieder im paper:

Zitat:

However, as previously indicated above, no analogous notion of a preferred state exists in a general curved spacetime without symmetries. As in the above discussion of S-matrix approaches to
the formulation of QFTCS, we do not believe that it will be fruitful to formulate
QFTCS via an approach that requires one to define a preferred state in order to define the theory.

Hier das Problem, dass kein bevorzugter Zustand in einer allgemein gekrümmten und somit unsymmetrischen Raumzeit bestimmt werden kann. Warum muss wieder ein bevorzugter Zustand eingeführt bzw. mit der weiter im paper beschriebenen algebraischen Methode umgangen werden? Was ist der bevorzugte Zustand im Minkowskiraum? Die Poincaré Invarianz?

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 11. Aug 2024 09:58 Titel:

Bei der euklidischen Quantenfeldtheorie muss man etwas ausholen. Man definiert und schreibt die Metrik um zu D.h. statt Minkowski-Metrik mit reeller Zeit betrachtete man die 4-dim. euklidische Metrik mit einer imaginären Zeit. Der Exponent der Zeitentwicklung wird dann zu (Schrödingergleichung analog) Damit wird aus dem quantenmechanischen System ein thermisches System mit Wärmetransport bei einer Temperatur Alle quantenmechanischen Größen wie A(t,x) werden stattdessen für beta betrachtet. Der Witz ist, dass dadurch gewisse Größen wie das Pfadintegral mathematisch sauber definiert sind und aufgrund des exponentiellen Abfalls einfacher berechnet werden können. In der Quantenmechanik kann man sicherstellen, dass dies sowie das Folgende funktioniert; in der Quantenfeldtheorie existiert dazu m.W.n. kein Beweis. Man betrachtet nun eine Größe als holomorphe Funktion (ggf. plus Pole und Schnitte) der komplexen Variablen z. Man löst die euklidischen Gleichung für die imaginäre Achse beta, d.h. für das thermische System. Aufgrund der Holomorphie ist dadurch A auf der reellen Zeitachse t und damit die Größe für die quantenmechanische Theorie eindeutig definiert. D.h. jede Größe (Amplitude, Korrelation …) der quantenmechanische Theorie ist durch eine einfacher zu berechnende Größe der thermischen Theorie eindeutig definiert. Eine Anwendung ist das euklidische Pfadintegral in der Gittereichtheorie. Die Idee wird auf gekrümmte Raumzeiten übertragen, da für diese in jedem Punkt P ein 4-dim. Tangentialraum mit Minkowski-Geometrie existiert. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

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antaris Verfasst am: 11. Aug 2024 13:27 Titel:

Ist das die Kurzfassung von dem, was im o.g. paper von Hollands und Wald beschrieben wird? Alleine der Wiki-Artikel zu den holomorphen Funktionen ist ziemlich lang. Viel zu lesen. Im Gegensatz zum Abstand auf der euklidischen Ebene (Verbindung aus 2 Richtungen, z.B. x und -x) kann sich einem Punkt auf der komplexen Ebene aus allen (und damit unendlich vielen) Richtungen angenähert werden? Im Prinzip folgt daraus das Pfadintegral, da in der komplexen Ebene unendlich viele Verbindungen zwischen 2 Punkte existieren? Interessant finde ich, dass z.B. bei nicht anschauliche 4D holomorphe Funktionen, die zusätzliche Dimension mittels Zuordnung von Farben anschaulich dargestellt werden kann. Ich habe geklesen, dass die Gittereichtheorie der Renormierung dient, da sich sonst die Energien aus den Moden des harmonischen Oszillators unendlich aufaddieren würden, je weiter einem Punkt angenähert wird. Man betrachtet entsprechend nur noch begrenzte Abschnitte, was auf ein Gitter führt?

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 11. Aug 2024 13:38 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Ist das die Kurzfassung von dem, was im o.g. paper von Hollands und Wald beschrieben wird?

Das ist nur die allgemeine Idee der Entsprechung zwischen QFT im Minkowski- und im Euklidischen Raum.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Alleine der Wiki-Artikel zu den holomorphen Funktionen ist ziemlich lang.

Das brauchst du erst mal nicht im Detail.

Die Idee ist hier ganz einfach: Man nimmt an, dass die Funktion A(t,x) für alle Zeiten t existiert. Dann nimmt man an, dass A(t,x) der Spezialfall einer in z holomorphen* Funktion A(z,x) ist. Nun setzen wir voraus, dass wir die – dort einfacher zu berechnende – Funktion in einem kleinen Kreis um einen Punkt

kennen.

Aufgrund der Holomorphie wissen wir, dass damit A(t,x) für alle t eindeutig definiert ist**.

* mit Ausnahmen, aber das kommt später
** noch nicht bekannt.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Im Gegensatz zum Abstand auf der euklidischen Ebene (Verbindung aus 2 Richtungen, z.B. x und -x) kann sich einem Punkt auf der komplexen Ebene aus allen (und damit unendlich vielen) Richtungen angenähert werden?

Die komplexe Ebene haben wir nur für

Der euklidische Raum liegt dagegen für

vor. [/quote]
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antaris

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antaris Verfasst am: 11. Aug 2024 18:23 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Das ist nur die allgemeine Idee der Entsprechung zwischen QFT im Minkowski- und im Euklidischen Raum.

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Alleine der Wiki-Artikel zu den holomorphen Funktionen ist ziemlich lang.

Das brauchst du erst mal nicht im Detail.

Interessant aber allemal, da es zumindest von den holomorphen Funktionen nicht mehr weit bis zur Juliamenge und damit Fraktale ist.

Wiki - Julia Menge hat Folgendes geschrieben:

Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou beschrieben, sind Teilmengen der komplexen Zahlenebene, wobei zu jeder holomorphen oder meromorphen Funktion eine Julia-Menge gehört. Oft sind die Julia-Mengen fraktale Mengen. Das Komplement der Julia-Menge heißt Fatou-Menge.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Idee ist hier ganz einfach: Man nimmt an, dass die Funktion A(t,x) für alle Zeiten t existiert. Dann nimmt man an, dass A(t,x) der Spezialfall einer in z holomorphen* Funktion A(z,x) ist. Nun setzen wir voraus, dass wir die – dort einfacher zu berechnende – Funktion in einem kleinen Kreis um einen Punkt

kennen.

Es geht also um Zeitpunkte auf der komplexen Zeitachse? Die kompliziert durchzuführenden quantenmechanischen reellen Berechnungen werden mittels komplexer Zeitachse als thermisches System behandelt, womit sich die Berechnungen vereinfachen. Die Lösung kann durch den Holomorphismus wieder zurück auf das reelle quantenmechanische Problem übertragen werden? Dabei geht es, ähnlich wie bei der Differenzierbarkeit der reellen Zahlen, darum die komplexen Funktionen innerhalb den Kreisen bzw. bei den Punkten zu linearisieren?

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Die komplexe Ebene haben wir nur für

Der euklidische Raum liegt dagegen für

vor.

Ok, verstehe aber im allgemeinen gilt das für komplexe Ebenen.
Die komplexen Zahlen auf der Zeiitachse bilden dann einen zusätzlichen Freiheitsgrad und hat irgendeine Realisierung in der Natur oder ist das einfach nur ein Hilfsmittel, um die Berechnung zu vereinfachen?

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 11. Aug 2024 19:17 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Interessant aber allemal, da es zumindest von den holomorphen Funktionen nicht mehr weit bis zur Juliamenge und damit Fraktale ist.

Na ja.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Alles im wesentlichen richtig, außer dem letzten Satz. Es geht nicht um eine Linearisierung.

Es geht um den sogenannten Identitätssatz holomorpher Funktionen.

Seien zwei Funktionen f und g holomorph in einem Gebiet D (eine zusammenhängende, ansonsten beliebige Teilmenge der komplexen Zahlen C). Für einen Punkt z und eine beliebig kleine Umgebung* U(z) ⊆ D sei f = g in U(z). Dann ist f = g auf ganz D.

Es geht darum, dass die Kenntnis der Funktion f(z) in einer beliebig kleinen Umgebung U die Funktion darüberhinaus eindeutig festlegt.

*Diese Bedingung kann noch gelockert werden.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die komplexe Ebene haben wir nur für

Der euklidische Raum liegt dagegen für

vor.

Verstehst du sicher?

Das ist nur ein mathematisches Werkzeug.
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antaris

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antaris Verfasst am: 11. Aug 2024 20:00 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es geht um den sogenannten Identitätssatz holomorpher Funktionen.

Seien zwei Funktionen f und g holomorph in einem Gebiet D (eine zusammenhängende, ansonsten beliebige Teilmenge der komplexen Zahlen C). Für einen Punkt z und eine beliebig kleine Umgebung* U(z) ⊆ D sei f = g in U(z). Dann ist f = g auf ganz D.

Es geht darum, dass die Kenntnis der Funktion f(z) in einer beliebig kleinen Umgebung U die Funktion darüberhinaus eindeutig festlegt.

*Diese Bedingung kann noch gelockert werden.

Es ist damit sozusagen möglich, von einer Annäherung an einem Punkt, auf das gesamte Gebiet zu schließen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion#Analytische_Motivation

Zitat:

Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn Änderungsraten bei Naturgesetzen oder Bilanzen in der Wirtschaft erstellt werden müssen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 möglicherweise noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den Entwicklungspunkt. Phänomene wie die Holomorphie besagen nun, dass betroffene Funktionen in sehr kleinen Bereichen deutlich verständlicheren Funktionen sehr stark ähneln. Diese verständlicheren Funktionen sind Vorschriften, die sich nur aus den vier Grundrechenarten zusammensetzen. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine holomorphe Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in z. B. 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten.

TomS hat Folgendes geschrieben:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die komplexe Ebene haben wir nur für

Der euklidische Raum liegt dagegen für

vor.

Verstehst du sicher?

Sicher verstanden wohl eher nicht....mir qualmt ehrlich gesagt der Kopf vom vielen lesen.
Ich meinte folgendes: https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion#Komplexe_Kurvenintegrale

Haben die komplexen Zahlen gar keinen Bezug zur Realität?

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 11. Aug 2024 22:34 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Es ist damit sozusagen möglich, von einer Annäherung an einem Punkt, auf das gesamte Gebiet zu schließen?

Die Umgebung um den Punkt darf nicht auf den Punkt zusammenschrumpfen.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Haben die komplexen Zahlen gar keinen Bezug zur Realität?

Na ja, zig physikalische Theorien verwenden sie als Werkzeuge.
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TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 12. Aug 2024 07:44 Titel:

Anbei mal ein paar relevante Abschnitte aus dem Paper von Wald et al.

Was ich oben beschrieben habe entspricht

Zitat:

In many discussions of quantum field theory in Minkowski spacetime, Euclidean methods play an important role in both the formulation of the theory and in calculational techniques. Minkowski spacetime can be viewed as a real 4-dimensional section of a complex 4-dimensional manifold with complex metric, which contains another 4-real-dimensional section (of “imaginary time”) on which the metric is positive definite. If one can define a quantum field theory in a suitable manner on this “Euclidean section,” a quantum field theory on Minkowski spacetime can then be obtained via analytic continuation. Since it is much easier to make sense of formal expressions in the Euclidean setting than in the Lorentzian setting, Euclidean methods have been employed in most of the attempts to rigorously def ine interacting quantum field theories and in most of the methods employed to regularize and renormalize quantities in perturbative quantum field theory.

"Analytic continuation" ist dabei die technische Methode, um von der Umgebung U für die "imaginäre Zeit" beta wieder zur reellen Zeit t zu gelangen.

Der zentrale Knackpunkt ist jedoch

Zitat:

However, a general curved spacetime will not be a real section of a complex manifold that also contains a real section on which the metric is Riemannian. Thus, although it should be possible to define “Euclidean quantum field theory” on curved Riemannian spaces, there is no obvious way to connect such a theory with quantum field theory on Lorentzian spacetimes. Thus, if one’s goal is to define quantum field theory on general Lorentzian spacetimes, it does not appear fruitful to attempt to formulate the theory via a Euclidean approach.

Ein weiterer interessanter Punkt gleich zu Beginn ist

Zitat:

Although natural notions of “vacuum state” and “particles” can be defined for a free field in stationary spacetimes, no such natural notions exist in a general curved spacetime. The difficulty is not that a notion of “particles” cannot be defined at all in a general curved spacetime but rather that many notions exist and none appears preferred. Although it may be possible (and useful) to define an S-matrix in spacetimes that become asymptotically stationary in a suitable manner in the past and future, many of the spacetimes of greatest interest in QFTCS are cosmological spacetimes or spacetimes describing gravitational collapse, where singularities occur in the asymptotic past and/or future. If one wishes to apply QFTCS to such spacetimes, it clearly would be preferable to formulate it in a manner that does not require one to define a notion of “particles” near singularities before one can even pose a well defined question. Furthermore, even if the spacetime of interest is suitably asymptotically stationary in the past and future, many of the most interesting physical questions are concerned with the local dynamical behavior of the fields at finite times rather than the particlelike description of states at asymptotically early and late times. For example, one may wish to know the expected stress-energy tensor of a quantum field in order to estimate the “back reaction” effects of the quantum field on the dynamics of the spacetime. An S-matrix would not be useful for such a calculation.

Das ist übrigens auch der zentrale Knackpunkt in Hawking's Berechnung.

Mit dem folgenden

Zitat:

Finally, by far the most prevalent approach taken towards the formulation of quantum field theory in Minkowski spacetime is to write down a formal functional integral [= path integral] expression for an effective action. Suitable functional derivatives of this expression are then interpreted as providing the correlation functions of the quantum field in its vacuum state. Thus, one will have defined the quantum field theory if one can make sense of this functional integral and its functional derivatives. The difficulty with using a functional integral approach to formulate QFTCS is that, in effect, it requires one to single out a preferred state in order to define the theory — namely, the state for which the correlation functions are being given. This is not a difficulty in Minkowski spacetime, where Poincare invariance naturally selects a preferred state and, furthermore, Euclidean methods are available to make sense of the functional integral for this preferred state. However, as previously indicated above, no analogous notion of a preferred state exists in a general curved spacetime without symmetries. As in the above discussion of S-matrix approaches to the formulation of QFTCS, we do not believe that it will be fruitful to formulate QFTCS via an approach that requires one to define a preferred state in order to define the theory. For the above reasons, we shall

tritt er einen Großteil der Veröffentlichungen der letzten Jahrzehnte in die Tonne.

Aus eigener Erfahrung anhand einfacherer Probleme ist das aber berechtigt: der "Vorteil" der Pfadintegralmethode besteht teilweise nicht darin, die Probleme zu lösen, sondern sie zu verstecken oder zu ignorieren.

Viele Arbeiten zu Hawking-Strahlung, Firewalls etc. zeigen lediglich in immer neuem Gewand die Probleme auf, nicht die Lösung.
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antaris

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antaris Verfasst am: 12. Aug 2024 17:26 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Anbei mal ein paar relevante Abschnitte aus dem Paper von Wald et al.

Was ich oben beschrieben habe entspricht

Zitat:

"Analytic continuation" ist dabei die technische Methode, um von der Umgebung U für die "imaginäre Zeit" beta wieder zur reellen Zeit t zu gelangen.

Ich denke das verwendete Prinzip verstanden zu haben aber ich verstehe noch nicht wirklich was holomorph bedeutet.

Analytic continuation (Wiki)

Zitat:

A common way to define functions in complex analysis proceeds by first specifying the function on a small domain only, and then extending it by analytic continuation.

In practice, this continuation is often done by first establishing some functional equation on the small domain and then using this equation to extend the domain. Examples are the Riemann zeta function and the gamma function.

The concept of a universal cover was first developed to define a natural domain for the analytic continuation of an analytic function. The idea of finding the maximal analytic continuation of a function in turn led to the development of the idea of Riemann surfaces.

Bei Wiki habe ich mich zum Artikel Überlagerung (Topologie) durch geklickt und 2 folgende Bilder gefunden:

Bild 1
Bild 2

Dort werden die Überlagerungen auf eine Fläche abgebildet. Ist es das, was man unter holomorph versteht?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Den letzten Satz hatte ich oben auch schon zitiert. Die Aussage ist gar nicht so einfach zu verstehen.

Warum ist (bzw. kann) eine allgemein gekrümmte Raumzeit kein reeller Abschnitt einer komplexen Mannigfaltigkeit (sein)?
Wann ist eine Metrik (bzw. die Raumzeit) riemannsch und wann lorentzsch?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Ein weiterer interessanter Punkt gleich zu Beginn ist

Zitat:

Das ist übrigens auch der zentrale Knackpunkt in Hawking's Berechnung.

Das ist auch nicht einfacher zu verstehen.
In einer flachen Minnkowski Raumzeit lassen sich "teilchenartige" Objekte problemlos definieren, da diese sozusagen nicht in der Nähe von Singularitäten betrachtet werden müssen. Im Gegensatz dazu funktioniert das nicht bei einer allgemein gekrümmten Raumzeit, da diese Singularitäten in der ferne Vergangenheit und der fernen Zukunft enthalten sind und somit das teilchenartige Objekt in dessen Nähe beschrieben werden muss. Die "Standard" QFT befasst sich mit Teilchen zu endlichen Zeiten und nicht in der fernen Vergangenheit oder fernen Zukunft.
Der Stress-Energy-Tensor ist verantwortlich für die Krümmung der Raumzeit oder warum ist dessen Rückkopplung auf die Raumzeit interessant?

Was genau beschreibt die S-Matrix?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Mit dem folgenden

Zitat:

tritt er einen Großteil der Veröffentlichungen der letzten Jahrzehnte in die Tonne.

Wie wählt die Poincare-Invarianz einen bevorzugten Zustand aus, für den die Korrelationsfunktionen gegeben sind?
Die Korrelationsfunktion beschreibt die Korrelation zwischen vielen Teilchen, als Funktion des Abstandes zueinander (berechnet wird die Wirkung)? Mit dem ausspuren wird dann ein Teil aller Teilchen betrachtet, wobei die nicht betrachteten Teilchen zu einem Rauschen "ausgemittelt" werden, sodass diese ignoriert werden können und eine effektive Theorie entsteht (was du weiter oben schon geschrieben hast)?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Aus eigener Erfahrung anhand einfacherer Probleme ist das aber berechtigt: der "Vorteil" der Pfadintegralmethode besteht teilweise nicht darin, die Probleme zu lösen, sondern sie zu verstecken oder zu ignorieren.

Viele Arbeiten zu Hawking-Strahlung, Firewalls etc. zeigen lediglich in immer neuem Gewand die Probleme auf, nicht die Lösung.

Ist dann das Pfadintegral oder das Prinzip der holomorphen Funktionen daran "schuld"? Wo liegt deiner Meinung die zu starke Vereinfachung (so würde ich das Problem jetzt nennen)?

TomS
Moderator

Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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TomS Verfasst am: 13. Aug 2024 05:54 Titel:

Holomorph bzw. analytisch bezeichnet diverse äquivalente Eigenschaften. Insbs. f(z) ist in einer offenen Umgebung U holomorph, wenn f(z) 1. in U bzgl. eines beliebigen Punktes a in U als konvergente Potenzreihe darstellbar ist. 2. in U die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, d.h. Z.B. ist die einfache Funktion nirgends holomorph. 3. f(z) ist stetig in U, und für jede geschlossene Kurve C in U gilt Die Aussage bei Wald bzgl. der Mannigfaltigkeiten habe ich auch erstmal nur zur Kenntnis genommen. Da muss ich suchen. Die S- bzw. Scattering- = Streu-Matrix ist eine mathematische Größe, die beschreibt, wie einlaufende Zustände auf auslaufende Zustände abgebildet werden. Dabei betrachtet man die Zustände in der unendlich fernen Vergangenheit bzw. Zukunft. Diese Größe S folgt aus dem Zeitentwicklungsoperator U; sie muss in der QFT ebenfalls unitär sein. Die Poincare-Invarianz zeichnet den Vakuumzustand als Zustand aus, der räumlich und zeitlich translationsinvariant ist, d.h. verschwindende Impulse und Energie aufweist: Damit enthält dieser Zustand auch keine lokalisierten Anregungen, da diese die Translationsinvarianz brechen würden. Das Problem ist nur, dass die Poincare-Symmetrie in einer gekrümmten Raumzeit i.A. gar keine Symmetrie sein kann, denn wie soll man denn für eine Raumzeit mit räumlich variabler Krümmung von Translationsinvarianz sprechen? D.h. die Idee, eine QFT mittels "Anregungen des Vakuums" zu definieren, funktioniert nicht, wenn man nicht weiß, was das Vakuum sein soll. Zu deiner letzten Bemerkung: vergiss einfach mal das Pfadintegral. Es ist schon in der normalen QFT nicht vernünftig definiert, man kann es etwas besser hinkriegen, wenn man eine euklidische Raumzeit betrachtet, aber wir haben ja von Wald gelernt, dass das nicht geht. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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antaris Verfasst am: 13. Aug 2024 18:12 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Aussage bei Wald bzgl. der Mannigfaltigkeiten habe ich auch erstmal nur zur Kenntnis genommen. Da muss ich suchen.

Für mich ist es schwierig den Hintergrund zu verstehen, wenn ich die Begriffe nicht zuordnen kann. Google hilft da nicht immer weiter.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die S- bzw. Scattering- = Streu-Matrix ist eine mathematische Größe, die beschreibt, wie einlaufende Zustände auf auslaufende Zustände abgebildet werden. Dabei betrachtet man die Zustände in der unendlich fernen Vergangenheit bzw. Zukunft. Diese Größe S folgt aus dem Zeitentwicklungsoperator U; sie muss in der QFT ebenfalls unitär sein.

Laut Wald ist die S-Matrix ja auch nicht das Mittel der Wahl, da in der unendlich fernen Vergangenheit bzw. Zukunft in der gekrümmten Raumzeit Singularitäten auftreten bei denen die S-Matrix, aufgrund der nicht-Unitarität, in der Nähe von Singularitäten nicht funktioniert? Es geht um den Informationsverlust vom eingehenden in den auslaufenden Zustand und damit dem Bruch der Zeitumkehrinvarianz, welchen wir schon woanders dikutiert hatten?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Damit enthält dieser Zustand auch keine lokalisierten Anregungen, da diese die Translationsinvarianz brechen würden. Das Problem ist nur, dass die Poincare-Symmetrie in einer gekrümmten Raumzeit i.A. gar keine Symmetrie sein kann, denn wie soll man denn für eine Raumzeit mit räumlich variabler Krümmung von Translationsinvarianz sprechen? D.h. die Idee, eine QFT mittels "Anregungen des Vakuums" zu definieren, funktioniert nicht, wenn man nicht weiß, was das Vakuum sein soll.

Reicht es nicht die Translationsinvarianz auf das die direkte Umgebung des zu untersuchenden Objekt zu beziehen bzw. lokal immer eine flache Raumzeit wie in der RT zu betrachten? Ich dachte beim Vakuum immer an eine Art Grundzustand eines Quantenfeld, quasi nur mit Nullpunktenergie. Ich dachte das war auch der Grund für z.B. dem Unruh-Effekt?!

Zuletzt bearbeitet von antaris am 13. Aug 2024 19:43, insgesamt einmal bearbeitet

A.Neumaier
Gast

A.Neumaier Verfasst am: 13. Aug 2024 18:45 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

[Für mich ist es schwierig den Hintergrund zu verstehen, wenn ich die Begriffe nicht zuordnen kann. Google hilft da nicht immer weiter.

Es würde sich halt doch sehr empfehlen, wenn man diese Dinge verstehen will, mehr Mathematik richtig zu lernen, statt nur oberflächlich mit Mustererkennung und Google....

Auf lange Sicht lernt man damit insgesamt mehr!!

Es hat ja schon seinen Grund, weshalb die Physik soviel Mathematik verwendet und nicht nur die Worte dafür!

antaris

Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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antaris Verfasst am: 13. Aug 2024 19:31 Titel:

Da stimme ich Ihnen vollkommen zu. Mein mathematisches Verständnis verbessert sich zumindest mit der Zeit aber leider habe ich nicht so viel davon, welche ich benötigen würde. Ich muss nebenbei Brötchen verdienen und mein Job ist schon relativ fordernd. Aufgrund der Themenbreite müsste ich die Mathematik auch vollumfänglich lernen und anwenden können. Das ist unter den Umständen nicht unmöglich aber ganz sicher nicht einfach. Ich denke nicht, dass die offenen Fragen in der Physik von einzelne Personen "vollständig" gelöst werden können. Wenn es möglich wäre eine Gemeinschaft zu schaffen, welche aus unterschiedlichen "Denkweisen" kommend, an einem gemeinsamen Ziel konstruktiv arbeitet, so lassen sich die Antworten sicher einfacher annähern, wenn jeder einzelne einen Beitrag dazu leistet. Darum ist eine offene Diskussion unter möglichst vielen professionell Forschenden aber auch ernsthaft interessierten Laien m.E. so wichtig. Wenn ich derjenige bin, der vorerst immer wieder auf die Muster in der Natur pocht und dessen Relevanz hervorhebt, dann kann ich damit gut leben. Ich denke nur alleine die Mathematik liefert eine Antwort auf "das Wie?" aber nur eine unzureichende Antwort auf "das (fundamentale) Warum?". Es sollte eine gesunde Mischung aus harter Wissenschaft (Logik) und weicher Ontologie (Verstand) gefunden werden. Mathematik zur Realität in Bezug setzen geht m.E. nur mit Worte. Die Mathematik ist zwar eindeutig aber wird scheinbar nicht von vielen so Konsequent angewendet, wie zu erwarten wäre, was das finden und unterscheiden von guten und schlechten Quellen erschwert.

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 13. Aug 2024 21:11 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Laut Wald ist die S-Matrix ja auch nicht das Mittel der Wahl, da in der unendlich fernen Vergangenheit bzw. Zukunft in der gekrümmten Raumzeit Singularitäten auftreten …

wobei ganz allgemein Information hinter einem Horizont verschwindet, selbst ohne Singularitäten.

Wald schreibt das wohl deswegen, weil viele Physiker sich geradezu krampfhaft an die S-Matrix klammern.

Schauen wir uns ein trivial zu formulierendes Beispiel an: ein Beobachter fällt in seinem Labor zusammen mit einem präparierten Quantensystem durch den Ereignishorizont; ein anderer beobachtet das von außen. Offenbar ist der jeweils zugängliche Informationsgehalt beobachterabhängig. Aber zumindest für ein klassisches Wellenpaket ist dessen "Zeitentwicklung" auch innerhalb des Horizonts eindeutig. Wenn also eine quantenmechanische Formulierung die Information über diesen klassischen Grenzfall verliert, dann ist das ein Defekt der quantenmechanische Formulierung.

Wenn aus einer mathematischen Formulierung also seltsame Effekte folgen, wäre mein erster Reflex, diese mathematische Formulierung anzuzweifeln. Als ich zum ersten Mal Hawking's Arbeit im Original las, war eigtl. sofort klar, wo das erste Problem liegt – ohne dass ich auch nur ansatzweise eine Lösung hätte. Das zweite und mindestens ebenso große Problem liegt in dem jahrzehntelang konstruierten geheimnisvoller Informationsverlustparadoxon: es gibt kein solches Paradoxon; die Überlegungen sind halt irgendwo einfach falsch.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Nein, die Translationsinvarianz auf dem lokalen Tangentialraum reicht nicht.

Was ist der Grundzustand auf einer Kugeloberfläche? Vermutlich eine Wellenfunktion mit einem konstanten Wert. Was auf einer Kartoffeloberfläche?

Was ich mit noch gar nicht überlegt habe:

1. Für genügend symmetrische Raumzeiten mit Killing-Vektorfeld K kann man aus dem Energie-Impuls-Tensor T einen erhaltenen Strom J konstruieren. Aus J° folgt dann mittels Integration ein Hamiltonoperator H, wobei mir nicht klar ist, in wie weit die Quantisierung dann eindeutig ist. Aber für nicht genügend symmetrische Raumzeiten – eigtl. alle – existiert kein K, und damit geht der Rest nicht durch. Der normale Ansatz ist also nicht tragfähig.

2. Man kann auf der Raumzeit ein gedachtes Strömungsfeld u(x) einführen; dieses Strömungsfeld definiert lokal eine infinitesimale Gleichzeitigkeitsumgebung. Bzgl. dieser existiert dann lokal ein Energie-Impuls-Stromdichte J (d.h. man ersetzt K durch u). Da es jedoch unendlich viele mögliche Felder u gibt, folgen auch unendlich viele J[u] und damit J°[u].
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

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antaris Verfasst am: 13. Aug 2024 22:03 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Wald schreibt das wohl deswegen, weil viele Physiker sich geradezu krampfhaft an die S-Matrix klammern.

TomS hat Folgendes geschrieben:

...Wenn also eine quantenmechanische Formulierung die Information über diesen klassischen Grenzfall verliert, dann ist das ein Defekt der quantenmechanische Formulierung.

Aber die Voraussetzung war, dass ein SL als abgeschlossenes quantenmechanisches System definiert ist, was ja nicht richtig sein kann.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Wenn aus einer mathematischen Formulierung also seltsame Effekte folgen, wäre mein erster Reflex, diese mathematische Formulierung anzuzweifeln. Als ich zum ersten Mal Hawking's Arbeit im Original las, war eigtl. sofort klar, wo das erste Problem liegt – ohne dass ich auch nur ansatzweise eine Lösung hätte. Das zweite und mindestens ebenso große Problem liegt in dem jahrzehntelang konstruierten geheimnisvoller Informationsverlustparadoxon: es gibt kein solches Paradoxon; die Überlegungen sind halt irgendwo einfach falsch.

Was ist der Grundzustand auf einer Kugeloberfläche? Vermutlich eine Wellenfunktion mit einem konstanten Wert. Was auf einer Kartoffeloberfläche?

Ist der Wert am Rand einer Kreisfläche konstant und unabhängig vom Radius? Welchen Wert hat die Wellenfunktion auf dessen flache dessen Oberfläche?
Wenn der Wert der Wellenfunktion von der Struktur der Oberfläche abhängt (so habe ich das Analagon verstanden, da der Wert auf der Kugeloberfläche konstant ist), dann kann jeder beliebiger nicht-euklidischer Körper mit einem euklidischen Körper genau überdeckt werden. Die gekrümmte Oberfläche von der Kartoffel wird mathematisch mit dem euklidischen Ideal (z.B. einer Kugel) verglichen. Der Unterschied zwischen euklidischen Ideal und der nicht-euklidischen "Kartoffelwirklichkeit" wirkt abhängig vom Abstand Kartoffeloberfläche <-> Kugeloberfläche. Je weiter die Kartoffelform der Kugel angenähert wird, desto konstanter ist der Wert der Wellenfunktion auf Oberfäche.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Was ich mit noch gar nicht überlegt habe:

1. Für genügend symmetrische Raumzeiten mit Killing-Vektorfeld K kann man aus dem Energie-Impuls-Tensor T einen erhaltenen Strom J konstruieren. Aus J° folgt dann mittels Integration ein Hamiltonoperator H, wobei mir nicht klar ist, in wie weit die Quantisierung dann eindeutig ist. Aber für nicht genügend symmetrische Raumzeiten – eigtl. alle – existiert kein K, und damit geht der Rest nicht durch. Der normale Ansatz ist also nicht tragfähig.

Und wenn der Killing-Vektor immer von einem euklidischen Ideal abgeleitet und auf die nicht-euklidische Wirklichkeit übertragen werden muss? Das Ideal könnte dann genausogut in einer unendlichen Vergangenheit (oder Zukunft) verortet sein.

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 14. Aug 2024 07:43 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Wald schreibt das wohl deswegen, weil viele Physiker sich geradezu krampfhaft an die S-Matrix klammern.

TomS hat Folgendes geschrieben:

...Wenn also eine quantenmechanische Formulierung die Information über diesen klassischen Grenzfall verliert, dann ist das ein Defekt der quantenmechanische Formulierung.

Aber die Voraussetzung war, dass ein SL als abgeschlossenes quantenmechanisches System definiert ist, was ja nicht richtig sein kann.

Woran machst du das fest?

Die Rechnung nach Hawking geht davon aus, dass Innere des EH für die Berechnung irrelevant ist. Das ist für die Lösung der Wellengleichung, auf deren Basis die Quantisierung erfolgt, m.E. unstrittig. Die Quantiserung erfolgt dann ausschließlich im Außenraum, was für sich betrachtet ebenfalls konsistent ist.

Mit Kugel und Kartoffel habe ich dich offenbar in die völlig falsche Richtung geschickt.

antaris hat Folgendes geschrieben:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Mir ist völlig unklar, was ein euklidisches Ideal sein soll.

Den Killing-Vektor kann man nicht wählen. Er ist durch die Metrik gegeben.
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antaris

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antaris Verfasst am: 14. Aug 2024 21:47 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

An der Tatsache, dass Hawking vielfach die Probleme aufgezeigt aber keine Lösungen dafür gefunden hatte. Wenn ich einfach bis zur Singulariät hindurchfallen kann, dann sollte m.E. auch der Innenraum mit einbezogen werden.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Mit Kugel und Kartoffel habe ich dich offenbar in die völlig falsche Richtung geschickt.

Offenbar ja.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Mir ist völlig unklar, was ein euklidisches Ideal sein soll.

Sorry ich meinte einen idealen Körper im euklidischen Raum, wie z.B. perfekte Kugeln, Würfel, Ikosaeder usw.

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 15. Aug 2024 06:09 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Wenn ich einfach bis zur Singulariät hindurchfallen kann, dann sollte m.E. auch der Innenraum mit einbezogen werden.

Nein.

Quantisierung erfolgt dergestalt, dass man eine allgemeine Funktion für das Feld hinschreibt, diese nach den Elementarlösungen entwickelt und die Entwicklungskoeffizienten dann als Operatoren interpretiert, die gerade eine Elementarlösung erzeugen oder vernichten. Die Elementarlösungen sind dabei gerade die Lösungen der Wellengleichung in der untersuchten Metrik (im flachen Raum z.B. einfach Sinus und Cosinus). Da nun aber vermöge der Wellengleichung nichts aus den Inneren des EH herauspropagieren kann, muss man den Innenraum auch nicht betrachten.

Nun kannst du einwenden, man müsse ihn irgendwie betrachten, und irgendwie hast du da sicher recht. Aber das ist letztlich genau die offene Frage.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Mit Kugel und Kartoffel habe ich dich offenbar in die völlig falsche Richtung geschickt.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Offenbar ja.

Du hattest gefragt, wie die Poincare-Invarianz den Vakuumzustand auszeichnet. Die Antwort ist, dieser ist translationsinvariant, d.h. egal wie man ihn verschiebt, oder an welchem Punkt der Mannigfaltigkeit man sich selbst befindet, er sieht immer gleich aus. Damit ist er offensichtlich konstant.

Betrachtet man nun die Oberfläche einer Kartoffel als die Mannigfaltigkeit, so ist diese selbst sicher nicht translationsinvariant, sie sieht an verschiedenen Orten unterschiedlich aus, hat Dellen etc. Nachdem also keine Translationsinvarianz vorliegt, kann man diese auch nicht benutzen, um einen translationsinvarianten Zustand zu konstruieren. Darüber hinaus wäre es auch seltsam, wenn auf einer nicht translationsinvarianten Fläche gerade der Zustand ausgezeichnet wäre der überall den selben Wert hat.
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antaris

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antaris Verfasst am: 15. Aug 2024 08:16 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Quantisierung erfolgt dergestalt, dass man eine allgemeine Funktion für das Feld hinschreibt, diese nach den Elementarlösungen entwickelt und die Entwicklungskoeffizienten dann als Operatoren interpretiert, die gerade eine Elementarlösung erzeugen oder vernichten. Die Elementarlösungen sind dabei gerade die Lösungen der Wellengleichung in der untersuchten Metrik (im flachen Raum z.B. einfach Sinus und Cosinus). Da nun aber vermöge der Wellengleichung nichts aus den Inneren des EH herauspropagieren kann, muss man den Innenraum auch nicht betrachten.

Nun kannst du einwenden, man müsse ihn irgendwie betrachten, und irgendwie hast du da sicher recht. Aber das ist letztlich genau die offene Frage.

Die Frage ist doch auch ob die Gravitation überhaupt quantisiert werden muss. Die Wellengleichung kann nicht herauspropagieren aber zumindest hinein.
Die Gravitation lässt sich zumindest vom EH gar nicht beeindrucken und wirkt m.E. immer aus dem Innenraum heraus.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Hmm, dann habe ich es eigentlich doch verstanden was du meinst. Ich denke mal drüber nach, wie ich das anders formulieren kann.

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 15. Aug 2024 09:33 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Die Frage ist doch auch ob die Gravitation überhaupt quantisiert werden muss.

Es geht in der Rechnung Hawking's nur um die Quantisierung des Strahlungsfeldes, nie um die Quantisierung der Gravitation.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Die Wellengleichung kann nicht herauspropagieren aber zumindest hinein.

Hawking geht aber eingangs von einem Vakuumzustand aus, so dass da nichts ist, was hineinpropagieren könnte.

Aber ja, natürlich liegt irgendwo da der Hase im Pfeffer.
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antaris

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antaris Verfasst am: 15. Aug 2024 16:11 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Es geht in der Rechnung Hawking's nur um die Quantisierung des Strahlungsfeldes, nie um die Quantisierung der Gravitation.

Ok stimmt ich muss aufpassen die Dinge nicht zu vermischen.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Hawking geht aber eingangs von einem Vakuumzustand aus, so dass da nichts ist, was hineinpropagieren könnte.

Aber ja, natürlich liegt irgendwo da der Hase im Pfeffer.

Letztendlich deutet die durch Hawking aufgezeigte Inkonsistenz genau dahin, dass die Voraussetzungen zu vereinfacht gewählt sind. Weder hat ist ein SL statisch oder ein reines Vakuum in dessen Außenbereich befindlich, noch ist es ein abgeschlossenes System.

Wenn von einer minimal fluktuierenden Energie im hochenergetischen Anfang unseres sichtbaren Universum ausgegangen wird, so führte diese Fluktuation zur Verklumpung und damit zur grundlegenden Strukturbildung (was wir heute noch in der Struktur des CMB messen können). Dabei bildeten sich Materieansammlungen und dazwischen Bereiche reines Vakuum. Bei sehr hoher Energiedicht in den ersten Epochen des Urknalls war das extrem dynamisch. Soweit hoffentlich gar nicht so fraglich aber die eigentliche Frage besteht doch darin, warum das Universum überhaupt abgekühlt ist. Ist die Expansion für das abkühlen oder das abkühlen für die Expansion verantwortlich? Gab es vielleicht ein von der Expansion unabhängiger Faktor, welcher zur Abkühlung geführt hat? Wenn ein System im thermischen Gleichgewicht und damit hochsymmetrisch ist, dann muss es einen Grund geben, warum diese Symmetrie gebrochen und damit der Urknall überhaupt ausgelöst wurde. Schließlich könnte der hochsymmetrische Zustand vor dem Urknall genausogut auch schon unendlich lange angedauert haben.

Man sollte m.E. den "unseren" Zeitpunkt t=0 in Frage stellen bzw. neu interpretieren, wenn man auch am kosmologischen Horizont die Unitarität retten will. Ich denke diese ist ein unverrückbarer Grundpfeiler und die Theorien sollten sich an dessen Erhaltung orientieren. Was in der Ti nun darauf hinausläuft die Gesamtheit als unitär zu betrachten. Wenn wir aber nicht sicher sagen können ob unser t=0 fundamental für die Gesamtheit gültig oder doch nur für uns primär ist, dann können wir auch nicht die Gesamtheit bestimmen. Das bedeutet die TI wäre erstmal nur im uns sichtbaren Universum bis zum CMB gültig. Darüber hinaus ist der Gültigkeitsbereich nicht prüfbar.

TomS
Moderator

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TomS Verfasst am: 15. Aug 2024 16:21 Titel:

Die Gegenseite Beeinflussung von Expansion und Abkühlung ist seit Einstein et al. gut verstanden. Die Anfangsbedingungen zum / vor dem Urknall verstehen wir noch nicht. Mit der Hawking's Berechnung hat das nichts zu tun. Für eine vollumfängliche Lösung erwartet man aber natürlich, dass sie alle diese Fragen beantwortet. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

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antaris Verfasst am: 15. Aug 2024 16:44 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Gegenseite Beeinflussung von Expansion und Abkühlung ist seit Einstein et al. gut verstanden.

Wird auch die Frage beantwortet, warum es so ist oder "nur" wie die gegenseitige Beeinflussung mathematisch beschrieben wird?

TomS hat Folgendes geschrieben:

Die Anfangsbedingungen zum / vor dem Urknall verstehen wir noch nicht.

Darum geht es mir aber wenn ich an "Quantentheorie und Gravitation" denke und wie diese Anfangsbedingungen mit unserer heutigen fassbaren Realität zusammenhängen bzw. wie aus den Anfangsbedingungen die heutige Realität abgebildet werden kann.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Mit der Hawking's Berechnung hat das nichts zu tun. Für eine vollumfängliche Lösung erwartet man aber natürlich, dass sie alle diese Fragen beantwortet.

Die getroffenen mehr oder weniger willkürlichen Voraussetzungen sind für Hawkings Berechnungen und für den Urknall aber sehr ähnlich gelagert.

TomS
Moderator

Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468

TomS Verfasst am: 15. Aug 2024 17:03 Titel:

Der Zusammenhang zwischen Expansion und Abkühlung wird auf Basis der Einsteinschen Feldgleichung sowie der Zustandsgleichung für Materie und Strahlung im Rahmen der kosmologischen Modelle sehr genau erklärt. Das ist bei einem gemeinsamen Verständnis von Quantentheorie und Gravitation so sein soll, wie du sagst, ist natürlich unstrittig. Das sind ja gerade die Knackpunkte, weswegen man ein derartiges gemeinsames Verständnis anstrebt. Die von Hawking getroffenen Anfangsbedingungen erscheinen dabei zunächst keineswegs willkürlich oder problematisch; ein stationärer Vakuumzustand im Außenraum ist im Zuge der Konstruktion einer Quantenfeldtheorie so ziemlich das erste, über das man nachdenkt. Die problematische Annahme ist zunächst die Rückwirkung des thermischen Zustands auf die Masse des schwarzen Loch; daraus folgt dann, dass das schwarze Loch das Vakuum als Eingangszustand in einem thermischen Endzustand streut. Letztlich ist's aber egal, die letzten 50 Jahre haben gezeigt, dass es nicht mit einer kleinen Korrektur getan ist. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

antaris

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Beiträge: 1389
Wohnort: In einem chaotischen Universum

antaris Verfasst am: 15. Aug 2024 17:33 Titel:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Der Zusammenhang zwischen Expansion und Abkühlung wird auf Basis der Einsteinschen Feldgleichung sowie der Zustandsgleichung für Materie und Strahlung im Rahmen der kosmologischen Modelle sehr genau erklärt.

Das streite ich auch nicht ab, sondern nur dass es die abschließende Erklärung oder gar die Antwort auf eine der fundamentalen "Warum?" Fragen ist.

TomS hat Folgendes geschrieben:

Das ist bei einem gemeinsamen Verständnis von Quantentheorie und Gravitation so sein soll, wie du sagst, ist natürlich unstrittig. Das sind ja gerade die Knackpunkte, weswegen man ein derartiges gemeinsames Verständnis anstrebt.

Die von Hawking getroffenen Anfangsbedingungen erscheinen dabei zunächst keineswegs willkürlich oder problematisch; ein stationärer Vakuumzustand im Außenraum ist im Zuge der Konstruktion einer Quantenfeldtheorie so ziemlich das erste, über das man nachdenkt. Die problematische Annahme ist zunächst die Rückwirkung des thermischen Zustands auf die Masse des schwarzen Loch; daraus folgt dann, dass das schwarze Loch das Vakuum als Eingangszustand in einem thermischen Endzustand streut. Letztlich ist's aber egal, die letzten 50 Jahre haben gezeigt, dass es nicht mit einer kleinen Korrektur getan ist.

Es ist eben leider nicht egal, da dieses Weltbild in der Fachwelt, trotz der Erkenntnissse durch Hawkings Arbeiten, weiterhin tief in den Köpfen festsitzt.
Wenn man etwas idealisiert betrachtet (und das wird bei einer Vakuumlösung gemacht*) dann müssen Korrekturen eingearbeitet werden. Wie du schreibst sind die bestehenden Korrekturen aber offensichtlich nicht ausreichend. Vielleicht verschlimmbessern sie das Ganze zusätzlich noch.

Es ist ja auch nicht so, dass Hawking keinen Lösungsansatz gefunden hat, nur weil er diesen erst nach seinem ableben veröffentlichen lassen hat.

Um wieder zu den Mustern zurückzukommen.
Wenn ich das Bild im Anhang betrachte, dann "sehe ich darin" eine diffeomorphe affine Abbildung aus einem hochsymmetrischen und hochkomprimierten Anfangszustand heraus, hin zu einer expandierten chaotischen Verteilung in der Materie, trotz allgemeiiner Expansion, in kleinere Zwischenräume komprimiert wird und das Vakuum dagegen in großen Zwischenräumen anwächst. Woher kommt der Unterschied in der räumlichen Ausdehnung zwischen Voids und Filamente, wenn doch die materielle Realität im Prinzip mit einer (nahezu) symmetrischen Verteilung von Wasserstoffatome anfing?

* Wenn wir die Struktur des sichtbaren Universums simulieren, so geht klar daraus hervor, dass die Zwischenräume in den kleineren Galaxienclustern winzig und schon fast vernachlässigbar klein sind. Dabei verschwimmen die Galaxiencluster zu Filamente und werden quasi ununterscheidbar, obwohl aus unserer Sicht diese Entfernungen schon unvorstellbar groß erscheinen. Die Voids haben dagegen aber ein vielfaches größere Zwischenräume, als diese, die wir uns so schon nicht vorstellen können. Ich kann da überhaupot nicht nachvollziehen, warum eine Vakuumlösung aus dieser Perspektive als sinnvoll erscheinen sollte.

586px-Structure_of_the_Universe.jpeg

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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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TomS Verfasst am: 16. Aug 2024 04:59 Titel:

antaris hat Folgendes geschrieben:

Es ist eben leider nicht egal, da dieses Weltbild in der Fachwelt, trotz der Erkenntnissse durch Hawkings Arbeiten, weiterhin tief in den Köpfen festsitzt.

Welches Weltbild?

antaris hat Folgendes geschrieben:

Wenn man etwas idealisiert betrachtet (und das wird bei einer Vakuumlösung gemacht*)

Eine Vakuumlösung ist der Startpunkt für die Konstruktion der Theorie. Das ist nicht idealisiert.

antaris hat Folgendes geschrieben:

*) … Ich kann da überhaupot nicht nachvollziehen, warum eine Vakuumlösung aus dieser Perspektive als sinnvoll erscheinen sollte.

Weil du noch nicht verstanden hast, wie eine QFT konstruiert wird.

antaris hat Folgendes geschrieben:

… dann müssen Korrekturen eingearbeitet werden.

Es geht nicht um Korrekturen der Vakuumlösung sondern um das Konstruktionsprinzip. Das muss evtl. neu gedacht werden.

Aber das ist den Leuten klar.

antaris hat Folgendes geschrieben:

Um wieder zu den Mustern zurückzukommen.
Wenn ich das Bild im Anhang betrachte, dann "sehe ich darin" eine diffeomorphe affine Abbildung …

Jetzt geht wieder deine Phantasie mit der durch.
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