Lagrange: Perle auf drehender Zykloide

rakete007 · Anmeldungsdatum: 01.12.2023 Beiträge: 25

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Perle auf drehender Zykloide
Ein Draht wird in die Form einer Zykloide gebogen, definiert durch die parametrischen Gleichungen
x = A(phi + sin phi) und y = A(1 - cos phi),
wobei phi der Parameter ist (-pi < phi < pi), und A eine Konstante ist. Der Draht befindet sich in einer vertikalen Ebene und wird mit konstanter Winkelgeschwindigkeit omega um eine vertikale Achse durch sein Zentrum gedreht. Eine Perle der Masse m wird auf den Draht aufgesteckt.
(a) Finde den Lagrange-Funktional der Perle unter Verwendung von phi als generalisierter
Koordinate.

Meine Ideen:
Zunächst war ich mir nicht ganz sicher, wie die Zykloide hier aussehen soll. Ich habe mir eine Skizze gemacht, in der die Zykloide in der x-y-Ebene liegt, mit der Spitze auf der y-Achse (da phi ja von -pi bis pi geht).
Nun ist ja der erste Schritt, die Koordinaten durch die generalisierte Koordinate auszudrücken. Jedoch komme ich einfach nicht auf die Gleichung für die z-Koordinate. Ich denke mal, etwas mit omega*t, aber wie man das reinbringt weiß ich leider nicht.

Noch eine Frage: bleibt die x-Koordinate trotz der Rotation so wie in obiger Gleichung?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

rakete007 · Anmeldungsdatum: 01.12.2023 Beiträge: 25

Hat denn wirklich keiner eine Idee? Ich komme echt nicht weiter unglücklich

Lebertran · Gast

So, wie die Aufgabe gestellt ist, sind x und y Koordinaten in der rotierenden Ebene. Die z-Koordinate ist somit 0.
Es wird also schon ein rotierendes Koordinatensystem benutzt.
In der Lagrange-Funktion musst du dementsprechend ein Zentrifugalpotential hinzufügen.

rakete007 · Anmeldungsdatum: 01.12.2023 Beiträge: 25

Achso, dankeschön. Das Zentrifugalpotential ist ja gegeben durch

.
Wie füge ich das jetzt der Lagrange-Funktion zu? Einfach statt der kinetischen Energie? Wir haben das in der Vorlesung nicht behandelt, deswegen habe ich keine Ahnung.

Lebertran · Gast

In das Zentrifugalpotential geht der Abstand zur Rotationsachse ein.
Ich glaube, die Aufgabe ist so gemeint, dass die Rotation um die y-Achse erfolgt. (?)
Jedenfalls ist es wie ein normales Potential zu behandeln (Vorzeichen!).
Die kinetische Energie darfst du natülich nicht weglassen.

rakete007 · Anmeldungsdatum: 01.12.2023 Beiträge: 25

Ich denke auch, dass eine Rotation um die y-Achse gemeint ist.

Ich hatte es jetzt mit

probiert und angenommen, dass

gilt (?). Damit komme ich auf die Formel

Kann das stimmen? In der nächsten Teilaufgabe soll man ein "Integral der Bewegung" der Perle, also eine Erhaltungsgröße bestimmen. Wenn ich annehme, dass

gilt, kann die Energie ja schonmal nicht erhalten sein, weil L dann explizit von t abhängt. Welche Größe ist dann erhalten? Oder war die Annahme falsch?

Lebertran · Gast

Ich habe die Lagrange-Funktion nicht selber ausgerechnet, aber

ist sicher nicht richtig.

ist eine Konstante und die Gleichung für

ist erst noch zu bestimmen.

Dass die Energie nicht erhalten ist, ist zu erwarten.

rakete007 · Anmeldungsdatum: 01.12.2023 Beiträge: 25

Aber wenn

nicht gleich

ist, wie soll dann die Rotation um die y-Achse schon in den Gleichungen der Aufgabenstellung enthalten sein?
Auf Wikipedia findet man, dass die Gleichungen einfach eine Zykloide in der x-y-Ebene angeben. Ohne Rotation mit

um die y-Achse. Womit wir dann wieder bei meinem Anfangsproblem wären: ich weiß nicht, wie ich diese Rotation in den Koordinatengleichungen unterbringen soll.

Lebertran · Gast

Du musst einfach das Zentrifugalpotential in die Lagrange-Funktion einfügen.
Omega ist ein konstanter Parameter, den du nicht eliminieren kannst, so wie A und g.