Eigenschaft der eigentlichen Lorentz-Gruppe

Erster Admiral · Anmeldungsdatum: 07.05.2021 Beiträge: 69

Ich betrachte einen zeitartigen Vierer-Vektor k:

.

Nun betrachte ich die Abbildung:

wobei Lambda ein eigentliche Lorentztransformation ist.

Ich würde gerne zeigen, dass die Abbildung das Vorzeichen von

invariant lässt.

Aus physikalischer Sicht sollte das relativ klar sein, ansonsten könnte sich ein Beobachter der sich entlang k bewegt in zwei verschiedenen Inertialsystem einmal rückwärts und einmal vorwärts in der Zeit bewegen. Allerdings hänge ich grade noch etwas mit dem formalen Beweis.

Meine Ansätze sind folgende:

Ich sehe aber noch nicht wie ich diese Informationen für den Beweis verwenden kann.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Spontan würde ich mir das zunächst in 1+1 Dimensionen ansehen und dabei überlegen, was ich über die Komponenten der Lorentztransformation und des Vierervektors weiß.

Erster Admiral · Anmeldungsdatum: 07.05.2021 Beiträge: 69

@TomS ja das ist eine gute Idee.
Für den 1+1-Fall lässt es sich tatsächlich sehr einfach zeigen.

Ich denke man kann den Beweis selbst für die 1+3-Raumzeit einfach auf den Beweis mithilfe einer speziellen Boost-Matrix zurückführen. Da sich von da aus alle anderen Lorentz-Transformationen durch Kompositionen mit Drehungen darstellen lassen und die Drehungen die Zeitkomponente offensichtlich invariant lassen.