Eigenschaft des Hodge-Stern-Operators beweisen

Bardolino · Gast

Meine Frage:
Hallo,

Ich beschäftige mich in Vorbereitung auf eine Vorlesung zur ART mit Differentialgeometrie. Dabei kam mir der "Hodge-Stern-Operator" unter, der folgendermaßen definiert ist:

---

Sei

eine

-dimensionale Mannigfaltigkeit und sei

der "Hodge-Stern-Operator", so dass

für alle

. Hierbei bezeichnet

das innere Produkt, welches definiert ist als:

---

Ich soll nun zeigen, dass gilt:

Nun bin ich bisher leider daran gescheitert diese Identität zu beweisen. Auch im Internet habe ich keine Beweise gefunden die nicht die wesentlichsten Punkte in der Beweisführung entweder übersprungen haben, oder dieselben zu wenig detailliert dargestellt haben, sodass auch ich sie verstehe.

Falls mir hier jemand weiterhelfen kann (durch Quellenangabe oder durch Angabe eines Beweises) würde ich mich sehr freuen.

Beste Grüße,

Bardolino

Meine Ideen:
...

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Mich wundert die Definition etwas. Der Hodge-Operator ist ja eine lokale Operation und auch dann definiert, wenn das Integral

aus irgendwelchen Gründen gar nicht existiert.

Üblicherweise verwendet man eine der beiden äquivalenten Definitionen

oder

Hierbei ist

die Volumenform und das innere Produkt der beiden p-Formen ist definiert als die Bilinearform

Ein paar Bemerkungen zum Beweis: Ich würde es mit dem Ansatz

versuchen. Um die Koeffizienten K zu bestimmen multipliziert man von links mit

wobei die Indizes fix und alle verschieden sind. Auf der rechten Seite bleibt nur ein Term übrig, denn

muß eine komplementäre Permutation von

sein und davon kann nur eine geordnet sein. Dann steht rechts also

Das Vorzeichen ist das der Permutation

. Nach der ersten Definition von

oben folgt

Damit müßte man es eigentlich irgendwie hingebastelt bekommen. Das

kommt offenbar aus der Entwicklung der Determinante, der Faktor

daher, daß man in der Summenkonvention die Bedingung

fallen läßt.