Bewegungsablauf eines Massenpunktes auf einer Halbkugel

drfhfhn · Gast

Hallo, ich habe meine erste Aufgabe zu Lagrange 1 vor mir und komme nicht wirklich damit zurecht.

Aufgabe: Auf einem Tisch (Ebene z=0) liegt eine Halbkugel (Radius R). Ein Massenpunkt kann reibungsfrei auf der Halbkugel gleiten. Bestimmen Sie seinen Bewegungsablauf x(t), y(t), z(t) unter dem Einfluss der konstanten Schwerkraft

für die Anfangsbedingung

bis zum Auftreffen auf dem Tisch.

Hinweis: Behandeln Sie das Problem in Polarkoordinaten mit der Methode Lagrange 1. Prüfen Sie, ob sich der Massenpunkt von der Halbkugel löst (verschwindende Zwangskraft). Falls ja, bestimmen Sie diese Stelle, berechnen Sie die Abhebegeschwindigkeit und ermitteln Sie den weiteren Bewegungsverlauf. Die Bewegung bis zum Abheben bekommen Sie am einfachsten mit Hilfe des Energiesatzes. Es genügt die Diskussion der prinzipiellen Lösbarkeit für diesen Teil der Bewegung.

Im Anhang ist eine Skizze zu der Aufgabe zu finden.

Nun mein Ansatz:
Die Nebenbedingung

mit

.

Wobei

und

.
Die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten ist

.
Aus

folgt

, da R konstant.
Alles eingesetzt ergibt

.
Daraus
(I)

(II)

Aus (I) ergibt sich

.
Damit

.
Aus dem Energiesatz

.

Stimmt das alles bis dahin? Bei dem Ergebnis der Zwangskraft bin ich mir unsicher, da sich der Massenpunkt so nie von der Halbkugel löst, wobei ich aber vermute, dass es passieren müsste. Weiterhin weiß ich nicht, wie ich von hier aus auf die Bewegungsgleichungen x(t), y(t), z(t) komme.