Schwingung eines Massepunktes in Ebene mit Loch

SchmeckiT1 · Anmeldungsdatum: 05.06.2017 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo zusammen,
folgende aufgabe:

Aus einer unendlich ausgedehnter Ebene mit konstanter Flächenmassendichte sigma werde ein Loch mit Radius R ausgestanzt. In der Mitte dieses Loches befinde sich nun ein Massepunkt der Masse m. Nun lenke man diesen Massepunkt in vertikaler Richtung aus und lasse ihn schwingen (Die einzige Kraft die auf das teilchen wirkt sei die Gravitationskraft, die von der ebene ausgeht). Berechnen sie die Frequenz kleiner Schwingungen (kleine Auslenkung im Verleich zu R) der Masse um den Mittelpunkt des Kreises

Hinweis: Stellen sie zunächst den Beitrag eines kleinen Massenelements der ebene zur Gravitationskraft auf. Summieren (Integrieren) sie diese beiträge zur Gesamtkraft und stellen sie Damit die schwingungsgleichung auf.

Meine Ideen:
Ich habe mir zunächst überlegt, dass sich die Kraftbeiträge, die nicht in z-Richtung sind immer gegenüberliegend aufheben, weshalb nur eine Betrachtung der z-Komponente der Kraft notwendig ist.

z sei die Auslenkung des Teilchens

Der Winkel zwischen Ebene und Verbindungslinie von Teilchen alpha ergibt sich durch kleinwinkelnäherung aus z/r.

somit ergibt sich die z-Komponente der Gravitationskraft aus

Für ein infinitesimales Masseteilchen der Ebene, welches sich im Abstand r vom Mittelpunkt des Lochs befindet ergibt sich dann die Formel

wobei

die Flächenmassendichte und G die Gravitationskonstante ist (z<<r liefert die Vereinfachung).

Integrieren und einsetzen von

liefert dann:

Allerdings konvergiert dieses Integral nicht. Hat jemand eine Idee wie man dieses Integral lösen könnte?

Vielen Dank und Liebe Grüße

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Willkommen im Forum!

Ich hab's jetzt nicht sehr lange angeschaut, aber ich denke, die z-Komponente der Gravitationskraft stimmt nicht. Wieso nicht einfach dF_z=dF*z/r (mit dem Cosinus drin wäre die Komponente ja gross für z=0)? Dann konvergiert auch das Integral und es resultiert eine Kraft, die proportional zu z ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Ich sehe nicht, wie ihr auf das Integral kommt.

Ich setze

Man verwendet Zylinderkoordaten, führt die z'-Integration aus und setzt x = y = 0. Das liefert einen Integranden abhängig von r'² sowie ohne Winkelabhängigkeit:

Man kann das Integral analytisch lösen, oder man entwickelt in z/R.

Zuletzt berechnet man die z-Komponente der Kraft über

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

@TomS: Ich hab momentan einfach ein einziges grosses Blackout. Ich komm zwar auch auf das Potential:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Du hast das Problem bereits mit der Masse der unendlichen Platte.

Es gibt m.E. mehrere Möglichkeiten.

Die erste Idee wäre die Taylorentwicklung in z/r

(bzw. die Laurent-Entwicklung für große r/z).

Konstante Terme in z fallen bei Ableitung weg, d.h. Divergenzen aus diesen Termen sind irrelevant.

Die zweite wäre die direkte Integration und anschließende Näherung für kleine z/r.

In beiden Fällen wirst du zuerst die Ableitung nach z bilden und erst anschließend den Grenzübergang L gegen Unendlich durchführen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ah, danke, jetzt wird mir klarer. Man muss vor dem Grenzübergang bis zur zweiten Ableitung entwickeln. Weshalb nach der Entwicklung das Integral konvergiert im Gegensatz zum exakten Integral, verstehe ich zwar nicht, aber immerhin kommt man so weiter.

Wenn man ähnlich wie der Threadersteller mit der z-Komponente eines infinitesimalen Kraftelements

rechnet, führt das zum gleichen Resultat.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3320

ich verstehe das Beispiel so, das ich eine massebehaftete Ebene habe. die eben ein Loch ausgestanzt hat und komme da auf eine Gravitationskraft auf den Massepunkt in z von

für sin gamma habe ich

Für die Gravitationskraft zwischen Massepunkt m und einen Flächenmassepunkt habe ich

und für die z Komponente

Für die Gravitationskraft Komponente in z zwischen einen Massepunkt m und einem Kreisring auf Radius r habe ich

den Rest siehe oben