Erwartungswert Ekin Grundzustand Wasserstoff

deislerx3 · Gast

Meine Frage:
Hallo, ich soll zum Grundzustand des Wasserstoffatoms den Erwartungswert der kinetischen Energie bestimmen.

Meine Ideen:
Der Erwartungswert ist ja so definiert:

Die Wellenfunktion des Elektrons im Grundzustand lautet in Kugelkoord.:

Der Laplace Operator in Kugelkoordinaten reduziert sich nur noch auf den Ableitungen nach r, weil

in der Wellenfunktion nicht vorhanden sind und somit sich der operator folgend reduziert:

ausgeführt auf die Wellenfunktion mit 1,0,0 ergibt sich für mich:

Normalerweise Integriert man doch jetzt von 0 bis unendlich für r oder? Das Integral konvergiert aber leider nicht. Es kann sein, dass ich bei den Vorfaktoren etwas falsch habe, was aber im Moment nicht das Hauptproblem ist.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte, weil ich nicht mehr weiter weiß.

Ist es denn das Integral an sich, dass falsch ist? Die Differentiationen habe ich mit Mathematica überprüft.

LG

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Differentiale.2C_Volumenelement.2C_Fl.C3.A4chenelement.2C_Linienelement

deislerx3 · Gast

Hallo, das hilft nicht weiter,

wie ich bereits geschrieben habe, reduziert sich der Laplace Operator in Kugelkoordinaten auf den, den ich angegeben habe, weil die Partiellen ableitungen nach

NULL sind.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Ist nicht der Jakobian für Kugelkoordinaten: sin(theta) r²?
Damit würde dann dein 1/r² Faktor wegfallen.Somit auch keine Divergenz mehr.

deislerx3 · Gast

Ah ich sehe, das Problem liegt im integral, ich muss nämlich über den Kompletten Raum integrieren nicht nur über r,

das mache ich mal eben
LG

deislerx3 · Gast

Hmm, sieht nicht besonders gut aus, weil jetzt bei dem Integral eine Positive Zahl rauskommt, was letztendlich bedeutet, dass der Erwartungswert der Kinetischen Energie negativ ist, was für mich keinen Sinn ergibt...

LG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Tip: es gilt

und

Daraus folgt

Damit kannst du die Berechnung das Laplaceoperators vollständig vermeiden.