Röhre durch Erde gebohrt - Schwingung

Sblu · Anmeldungsdatum: 10.12.2013 Beiträge: 59

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:

Durch die Erde sei eine gerade Röhre gebohrt, die durch den Erdmittelpunkt Z verläuft. Lässt man einen Stein der Masse m in die Röhre fallen, so erfährt er im Abstand x von Z die zum Erdmittelpunkt hin gerichtete Kraft

.
Der Stein vollfüllt somit eine harmonische Schwingung um Z.

a) Berechne näherungsweise die Periodendauer T dieser Schwingung ( R ca. 6400 km ).

Ich komme hier nicht weiter ...

Ich wüsste nur, wie ich mit der Formel

an T komme. Aber die Frequenz ist hier nicht gegeben.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Natürlich hat die Periodendauer T mit der Kreisfrequenz zu tun. Aber die kannst du aus deiner Differentialgleichung eigentlich ablesen, wenn du die richtig hinschreibst. Wie sieht denn die Differentialgleichung für einen harmonischen Oszillator aus, weißt du das?

Sblu · Anmeldungsdatum: 10.12.2013 Beiträge: 59

Nicht aus dem Kopf. Haben wir aber schonmal besprochen.

könnte man dann gleich die Erdbeschleunigung setzten und für

würde ich dann 6400 km einsetzen. Dann würde ich ja an die Kreisfrequenz kommen.
Ist dieser Gedanke richtig?

Edit:
Aber das würde ja auch nicht gehen, weil:

Wurzel aus einer negativen Zahl ergäbe eine komplexe Zahl.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Wohin beschleunigt der Stein? Nach außen oder nach innen?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Eben. Mach dir nochmal Gedanken über das Vorzeichen. Und du hast Recht, bei einem harmonischen Oszillator gilt deine Formel.
Du darfst aber nicht einfach x=6400km einsetzen, denn x=x(t) hängt noch von der Zeit ab! Sonst wäre nämlich die Ableitung

einfach null, und das würde keinen Sinn machen.
... überleg vielleicht nochmal, ob dir das Newtonsche Gesetz

hilft. Wofür steht dann das F?

Sblu · Anmeldungsdatum: 10.12.2013 Beiträge: 59

Kraft = Masse * Beschleunigung.

Ich muss dann für x etwas einsetzen, dass ich zwei mal ableiten kann und dann die Erdbeschleunigung g rauskommt?
Nur was wäre das. Ich meine in der Aufgabenstellung ist ja schon eine Funktion einer Kraft gegeben. Aber wie ich mit der umgehen soll ist mir nicht bewusst.
Wenn ich die Funktion 2 mal nach x Ableite kommt 0 heraus.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Nein nein du musst für x gar nichts einsetzen, weil du einen Koeffizientenvergleich machen kannst.
Ich mein das folgendermaßen:

Du weißt, dass deine Kraft von der Form

sein muss.
Gleichzeitig hast du aber deine Formel für die Kraft in der Aufgabenstellung gegeben als

. Das darfst du gleichsetzen:

m kürzen und Umformen liefert

Wir nehmen ja einen harmonischen Oszillator an, also liefert Vergleichen mit

das gesuchte

und damit hast du auch die Periode.

Sblu · Anmeldungsdatum: 10.12.2013 Beiträge: 59

Ok, vielen Dank.
Das habe ich jetzt verstanden.
Nur dass ich auf sowas nie von alleine komme ärgert mich ein bisschen ...

Edit:
Die Formel würde dann aber

lauten, oder?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ja, das m habe ich in aller Eile gestern vergessen zu kürzen.