Newton'sche Bewegungsgleichung zur Bestimmung einer Trajekto

yiiit · Anmeldungsdatum: 25.11.2011 Beiträge: 3

Meine Frage:
Folgendes Problem:

Eine bemannte Raumkapsel soll sicher zur Erde zurückkehren. Zum betrachteten Zeitpunkt (t=0) befindet sie sich in einem Abstand von r = 10000km vom Mittelpunkt der Erde und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v = 8000 m/s. Ihre Flugbahn ist um einen Winkel von

gegen die Verbindungslinie zum Erdmittelpunkt geneigt.

Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf, wählen Sie am besten den Erdmittelpunkt als Koordinatenursprung. Beachten Sie, dass die dritte Raumkoordinate keine Rolle spielt, da sich die Bewegung ausschließlich in der Ebene abspielt, die durch den Erdmittelpunkt, die anfängliche Position der Raumkapsel und ihre anfängliche Geschwindigkeit v vorgegeben ist. Beachten Sie ferner, dass die Erdanziehung vom Abstand zwischen Erde und Kapsel abhängt. Auf Meereshöhe (R = 6371km) beträgt sie g = 9.81m/s².

Meine Ideen:
okay.. als Ergebnis sollte ich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung erhalten - wenn ich die (numerisch) löse, erhalte ich die Trajektorie?
\ddot{x}
Des Weiteren hängt die Erdanziehung vom Abstand zwischen Erde und Kapsel ab, diese Beziehung ist proportional zu

.

Außerdem sind Bewegungsgleichungen von der Form:

.

Ich brauche Hilfe beim Zusammensetzen der ganzen Informationen.

DerDepp · Anmeldungsdatum: 17.11.2011 Beiträge: 21

Hossa

Nach dem Newton'schen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei Massen M und m, die den Abstand r voneinander haben, wie folgt an:

Speziell auf der Erdoberfläche ist M gleich der Masse der Erde und R der Erdradius. Für den Betrag der Gravitationskraft gilt daher:

Andererseits wirkt auf der Erdoberfläche die Fallbeschleunigung g mit

Ein Vergleich beider Formeln ergibt folgenden Ausdruck für die Erdbeschleunigung:

Dies in das allgemeine Gravitationsgesetz eingesetzt ergibt:

Die Bewegungsgleichung lautet daher:

Die Anfangsbedingungen ergeben sich aus dem Aufgabentext.

Viele Grüße

Der Depp

yiiit · Anmeldungsdatum: 25.11.2011 Beiträge: 3

okay, das habe ich verstanden.

aber durch diese Bewegungsgleichungen erhalte ich niemals eine trajektorie, da der Winkel

gar nicht berücksichtigt wird, oder?

danke!

Uriezzo · Anmeldungsdatum: 15.09.2011 Beiträge: 281 Wohnort: Großostheim

Der Winkel

kommt in den Anfangsbedingungen vor:

Mit

wobei die Erde im Nullpunkt liege und die x-Achse in Richtung des Ortes der Kapsel zum Zeitpunkt t=0 zeige.
Damit lauten Deine Anfangsbedingungen:

mit

sowie

Idealerweise rechnest Du ohnehin in Polarkoordinaten und musst auch Deine Bewegungsgleichung dementsprechend umschreiben.

yiiit · Anmeldungsdatum: 25.11.2011 Beiträge: 3

alles nachvollzogen.

aber wie verknüpfe ich nun die DGL mit den Anfangsbedingungen? Muss ich erst die DGL so wie sie da steht lösen und dann die beiden entstehenden Konstanten durch das Einsetzen der Anfangsbedingungen lösen und habe dann zum Schluss meine Trajektorie? Wovon wird die denn nachher abhängen? Von

, R und?

danke!