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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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 Corbi Verfasst am: 23. Feb 2026 14:31 Titel: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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Die Schrödingergleichung ist mathematisch äquivalent zu Feynmans Pfadintegralformalismus:
=\Delta \psi(x,t)+V(x) \psi(x,t) \leftrightarrow \psi(x,t)=\int_{\mathcal{H}_t} e^{iS(\gamma+x)}\psi(\gamma(0)+x,t)d\gamma )
Wobei die rechte Seite das Pfadintegral über einen geeigneten Pfadraum ist und S die klassische Wirkung. (Ich möchte hier nicht auf mathematisch genaue Definitionen des Pfadintegrals hinaus - also lassen wir die mathematische Exaktheit hier mal beiseite).
Nun ist die Schrödingergleichung aber auch äquivalent zu einem Minimierungsprinzip einer Anderen Wirkung S', definiert durch
=\int dt d^3x \ i \psi(x,t)^* \partial_t \psi(x,t) - |\nabla \psi(x,t)|^2-V(x)|\psi(x,t)|^2 )
Das heißt die Minimierung von S' ist equivalent zum Pfadintegral über S.
Wenn ich nun anstatt diese Wirkung S' zu minimieren, wieder eine Art Pfadintegral
} d\psi )
betrachte, kommt diesem dann eine physikalische Bedeutung zu? Entspricht das gerade der zweiten (nichtrelativistischen) Quantisierung des Elektronenfelds?
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 23. Feb 2026 18:55 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Entspricht das gerade der zweiten (nichtrelativistischen) Quantisierung des Elektronenfelds? |
Nein. Bei der zweiten Quantisierung ist - im Gegensatz zu dem von dir vorgestellten Formalismus - die Teilchenzahl nicht fest.
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Freundliche Grüße, T. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 23. Feb 2026 22:34 Titel: |
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Die sogenannte "zweite Quantisierung" ist eine künstliche und nicht unbedingt sinnvolle Unterscheidung.
Man quantisiert entweder die Dynamik eines Teilchens oder die eines Feldes, d.h. man betrachtet klassisch kanonisch konjugierte Größen sowie deren Darstellung als Operatoren
, \pi(x) \to \phi(x), -i\frac{\delta}{\delta \phi(x)})
x ist im zweiten Fall einfach ein "kontinuierlicher Index".
Dass man zuerst das Teilchen quantisiert, und abschließend nochmal dessen Wellenfunktion (gem. Dirac, Klein-Gordon), mag für diese beiden Spezialfälle zutreffend sein, für das elektromagnetische Feld gilt es nicht, denn das gewinnt man nicht mittels Quantisierung des Photons als Punktteilchen. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 08:59 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Entspricht das gerade der zweiten (nichtrelativistischen) Quantisierung des Elektronenfelds? |
Nein. Bei der zweiten Quantisierung ist - im Gegensatz zu dem von dir vorgestellten Formalismus - die Teilchenzahl nicht fest. |
Okay aber wenn ich die QED mittels Pfadintegral betrachte und das EM-Feld weglasse (oder nur als klassiches Hintergrundpotential betrachte) erhalte ich doch genau die relativistische Version dessen was ich hingeschrieben habe.
Wie spiegelt sich denn eine variable Teilchenzahl im Pfadintegralformalismus wieder? Nicht einfach durch die Amplitude der Felder?
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 09:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die sogenannte "zweite Quantisierung" ist eine künstliche und nicht unbedingt sinnvolle Unterscheidung.
Man quantisiert entweder die Dynamik eines Teilchens oder die eines Feldes, d.h. man betrachtet klassisch kanonisch konjugierte Größen sowie deren Darstellung als Operatoren
x ist im zweiten Fall einfach ein "kontinuierlicher Index".
Dass man zuerst das Teilchen quantisiert, und abschließend nochmal dessen Wellenfunktion (gem. Dirac, Klein-Gordon), mag für diese beiden Spezialfälle zutreffend sein, für das elektromagnetische Feld gilt es nicht, denn das gewinnt man nicht mittels Quantisierung des Photons als Punktteilchen. |
Ich bin mir nicht sicher was das nun genau für meine Frage bedeutet.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 24. Feb 2026 09:22 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Okay aber wenn ich die QED mittels Pfadintegral betrachte und das EM-Feld weglasse (oder nur als klassiches Hintergrundpotential betrachte) erhalte ich doch genau die relativistische Version dessen was ich hingeschrieben habe. |
Hallo Corbi, man zuerst mal wissen. welche Hamiltonfunktion angesetzt wird. Die unterscheiden sich nämlich deutlich, je nach Art der Quantisierung (Ein-Teilchen-Funktion oder Mehrteilchenfunktion mit Fock-Raum).
Dann muss man sich entscheiden, wie man die resultierende "Schrödinger-Gleichung" lösen will. Da gibt es dann auch verschiedene Möglichkeiten. Eine davon sind Pfadintegrale.
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Freundliche Grüße, T. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 10:29 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Okay aber wenn ich die QED mittels Pfadintegral betrachte und das EM-Feld weglasse (oder nur als klassiches Hintergrundpotential betrachte) erhalte ich doch genau die relativistische Version dessen was ich hingeschrieben habe. |
Hallo Corbi, man zuerst mal wissen. welche Hamiltonfunktion angesetzt wird. Die unterscheiden sich nämlich deutlich, je nach Art der Quantisierung (Ein-Teilchen-Funktion oder Mehrteilchenfunktion mit Fock-Raum).
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Wie gesagt ich setze keine Hamiltonfunktion sondern eine Lagrangedichte im Pfadintgralformalismus an, bspw. die der QED.
| Zitat: |
Dann muss man sich entscheiden, wie man die resultierende "Schrödinger-Gleichung" lösen will. Da gibt es dann auch verschiedene Möglichkeiten. Eine davon sind Pfadintegrale. |
Das hilft mir leider nicht weiter. Ich habe schon ein gewisses Grundwissen (ich promoviere in Mathematik über Modelle der QFT, habe einen Bachelor in Physik und einen Master in Mathematischer Physik). Da ich mich zuletzt zunehmend mit mathematischen Methoden (Funktionalanalysis & Stochastik) befasst habe, möchte ich im Moment die Grundzusammenhänge der physikalischen Theorien nochmal besser verstehen.
Konkret verwundert mich folgendes:
Betrachten wir die Wirkung eines Freien-Dirac-Feldes:
 \psi )
dann gibt mir das Pfadintegral
}{\bar{h}}} d\psi )
die Quantenfeldtheorie des freien Elektrons.
Wenn ich dagegen die Minimierung von S betrachte (was einer Stationary-Phase-Approximation im limit h gegen 0 enspricht) , folgt daraus mittels Euler-Lagrange-Gleichungen die Dirac-Gleichung, also die Quantenmechanik des freien Elektrons.
Im nichtrelativistischen Grenzfall geht die Dirac-Gleichung in die Schrödingergleichung über. Diese ist äquivalent zu einem Pfadintegral
} d\gamma )
mit
=\int \dot{\gamma}^2 ds. )
Die Minimierung von s (stationary Phase approximation des Pfadintegrals) dagegen gibt mir die klassische Mechanik eine freien Teilchens.
Das heißt insgesamt:
QFT des freien Elektrons <-> Pfadintegral über S
Minimierung von S <-> Quantenmechanik des freien Elektrons <-> Pfadintegral über s
Minimierung von s <-> klassische Mechanik des Freien Teilchens
Das legt also Nahe, dass die Quantenfeldtheorie des Elektrons in derselben Beziehung zur Quantenmechanik des Elektrons steht, wie die Quantenmechanik des Elektrons zur klassischen Mechanik des Elektrons.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 24. Feb 2026 15:33 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Wie gesagt ich setze keine Hamiltonfunktion sondern eine Lagrangedichte im Pfadintgralformalismus an, bspw. die der QED. |
Nehmen wir als Beispiel mal diese https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenelektrodynamik#Lagrange-Dichte . Sie enthält (neben den Ableitungen und Gamma-Matrizen) zuerst mal ein vektorielles Potential für das elektromagnetische Feld und ein Spinorfeld für ein Elektron. Damit kann man bereits durch Variation der Felder eine Feldtheorie mit einer Hamiltonfunktion ableiten und kann damit dann die Bewegung eines Elektrons oder Positrons in einem äußeren em-Feld berechnen. Die Zeitentwicklung eines Ein-Teilchen-Zustandes für ein Elektron oder Positron kann dann entweder per Pfadintegral oder die Propagatoren der freien Felder berechnet werden.
Viel weiter kommt man damit aber nicht. Bei der Entwicklung einer Streutheorie mit höheren Termen einer Dyson-Reihe muss man sehr viel mehr Physik in die Theorie zusätzlich einbauen, damit man auch für kompliziertere Vorgänge, wie Paarerzeugung oder Lamb-Shift die korrekten Vorhersagen erhält.
Will man das systematisch angehen, kann die zweite Quantisierung verwendet werden. Mit Hilfe des Wick-Theorems und einer passenden Renormierung der Theorie können dann alle benötigten Terme der Dyson-Reihe systematisch abgeleitet werden.
Soweit ist das die Standardlehrbuchmeinung. Bei der konkreten Berechnung der verschiedenen Pfadintegrale kann ich leider nur wenig beitragen, weil ich mich damit noch nicht vertieft beschäftigt habe. Mich persönlich interessiert da eher die konkrete Form der Dyson-Reihe, weil darin sehr viel Physik steckt. Letztlich muss man aber bei jeder konkreten Anwendung der Pfadintegrale auch wieder bei der Dyson-Reihe landen. Es ist (so wie ich das verstanden habe) nur eine andere Art der Herleitung dieser Reihe.
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Freundliche Grüße, T. |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 24. Feb 2026 15:46 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Konkret verwundert mich folgendes:
Betrachten wir die Wirkung eines Freien-Dirac-Feldes:
dann gibt mir das Pfadintegral
die Quantenfeldtheorie des freien Elektrons. |
Klingt für mich ganz vernünftig. Die konkreten Rechnungen dazu kenne ich aber zu wenig. Vielleicht weiß TomS dazu mehr? Ich verwende da lieber die zweite Quantisierung, weil da die physikalische Anschauung viel direkter angewendet werden kann.
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Freundliche Grüße, T. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 24. Feb 2026 16:17 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin mir nicht sicher was das nun genau für meine Frage bedeutet. |
Wenn wir statt "zweiter Quantisierung" besser "Feldquantisierung" sagen, dass haben wir die Äquivalenz
Teilchen => normale Schrödingergleichung für Wellenfunktion ~ Pfadintegral über x
Feld => Schrödingergleichung für Wellenfunktional ~ Pfadintegral über das Feld psi(x)
Das Pfadintegral über die Lagrange-Funktion bzw. -Dichte wird manchmal als Definition angesehen; die ursprüngliche Herleitung lief aber über eine infinitesimale Diskretisierung der Zeitentwicklun und damit zunächst über den Hamilton-Operator. |
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 16:28 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Betrachten wir die Wirkung eines Freien-Dirac-Feldes:
dann gibt mir das Pfadintegral
die Quantenfeldtheorie des freien Elektrons.
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Meinst Du das erzeugende Funktional
 = \int e^{i\frac{S(\psi)}{\bar{h}}+i\int( \bar f \psi + \bar \psi f) dx} d\psi d\bar \psi ?)
Eine Quantenfeldtheorie hast du jedenfalls erst, wenn du alle  ...\bar\psi(y)...|0\rangle) definiert hast.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Wenn ich dagegen die Minimierung von S betrachte (was einer Stationary-Phase-Approximation im limit h gegen 0 enspricht) , folgt daraus mittels Euler-Lagrange-Gleichungen die Dirac-Gleichung, also die Quantenmechanik des freien Elektrons.
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Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 16:33 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Zitat: |
Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens.
Als Quantenmechanik des Teilchens verstehe ich ein Teilchen, dass durch eine klassische Wellenfunktion (Skalar oder Spinorwertig) gemäß der Dirac-Gleichung beschrieben wird.
Als QFT des freien Elektronenfelds verstehe ich eben das Pfadintegral über die Dirac-Wirkung bzw. die kanonische Quantisierung der Wellenfunktion (Operatorwertig vgl oben).
Ersteres geht im Pfadintegralformalismus durch zweiteres hervor als Stationary Phase Approximation für h gegen 0.
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Zuletzt bearbeitet von Corbi am 24. Feb 2026 16:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 16:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Ich bin mir nicht sicher was das nun genau für meine Frage bedeutet. |
Wenn wir statt "zweiter Quantisierung" besser "Feldquantisierung" sagen, dass haben wir die Äquivalenz
Teilchen => normale Schrödingergleichung für Wellenfunktion ~ Pfadintegral über x
Feld => Schrödingergleichung für Wellenfunktional ~ Pfadintegral über das Feld psi(x)
Das Pfadintegral über die Lagrange-Funktion bzw. -Dichte wird manchmal als Definition angesehen; die ursprüngliche Herleitung lief aber über eine infinitesimale Diskretisierung der Zeitentwicklun und damit zunächst über den Hamilton-Operator. |
Okay dankeschön. Aber das bedeutet ja dann auch dass die Quantenmechanik der Limes h gegen 0 der QFT ist, denn in diesem Limes erhalte ich aus dem Pfadintegral die Euler-Lagrange-Gleichung, was der Dirac-Gleichung des Teilchens entspricht.
Das kommt mir seltsam vor.
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 16:38 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens.
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Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra? |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 16:43 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens.
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Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra? |
Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia. Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt?
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 16:47 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens.
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Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra? |
Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia. |
Meinst Du den Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten? |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 16:51 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens.
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Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra? |
Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia. |
Meinst Du den Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten? |
Ja. Aber nimm meinetwegen vorher das nicht-rel. limit wenn dich die negativen Eigenwerte stören.
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 16:52 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt? |
Muß es irgendwas sein? Nicht jede Geichung beschreibt irgendwas in der Realität. Ein freies Elektron ist, wie gesagt, ein Einteilchenzustand in der Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 16:56 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt? |
Muß es irgendwas sein? Nicht jede Geichung beschreibt irgendwas in der Realität. Ein freies Elektron ist, wie gesagt, ein Einteilchenzustand in der Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes. |
Es ist doch die Schrödinger/Dirac-Gleichung der Quantenmechanik.
Das erzwinge ich nicht, sondern das ist das Ergebnis.
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 16:59 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Im Grenzwert h->0 bleibt keine Quantenmechanik mehr übrig. Das ergibt vielleicht eine klassische Feldgleichung für einen freien Spinor, aber keine Quantenmechanik für ein Spin-1/2-Teilchen. Die relativistische Quantentheorie eines freien Elektrons und die Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes sind identisch. Deine Gegenüberstellung zwischen Quantenfeldtheorie und "Quantenmechanik" des Elektorns kann ich nicht nachvollziehen. |
Im limes h gegen 0 für das Pfadintegral über S erhälst du die Euler-Lagrange-Gleichung und damit die Dirac-Gleichung des Teilchens.
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Das ist klar. Das heißt aber noch nicht, dass es sich dabei um die Quantenmechanik des freien Elektrons handelt. Welcher Hilbertraum folgt aus dieser Prozedur? Wie lautet die Operatoralgebra? |
Der Hilbertraum ist L^2(R^d, C^4) der Hilbertraum der Diracspinoren. Als Hamiltonian erhälst du den Dirac-Hamiltonian, siehe Wikipedia. |
Meinst Du den Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten? |
Ja. Aber nimm meinetwegen vorher das nicht-rel. limit wenn dich die negativen Eigenwerte stören. |
Warum? Ich verwende stattdessen die "2. Quantisierung" und erhalten dann die vollständig relativistische Quantentheorie des freien Elektrons zurück. Den relativistischen Grenzwert kann ich dann ja immernoch berechnen. Ich verstehe wohl nicht, worauf Du hinauswillst. |
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 17:02 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Was sollte es denn sonst sein wenn nicht die QM des freien Teilchens wenn es gerade eine Wellenfunktion ist die der Dirac-Gl folgt? |
Muß es irgendwas sein? Nicht jede Geichung beschreibt irgendwas in der Realität. Ein freies Elektron ist, wie gesagt, ein Einteilchenzustand in der Quantenfeldtheorie des freien Diracfeldes. |
Es ist doch die Schrödinger/Dirac-Gleichung der Quantenmechanik.
Das erzwinge ich nicht, sondern das ist das Ergebnis. |
Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 17:10 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand. |
Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand.
Stimmst du mir da zu?
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 17:18 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand. |
Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand.
Stimmst du mir da zu? |
Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 17:27 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand. |
Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand.
Stimmst du mir da zu? |
Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied. |
Darum geht es mir überhaupt nicht. Ob relativistisch oder nichtrelativistisch ist mir erstmal völlig egal. Mir geht es um die Beobachtung, dass die Quantenmechanik scheinbar aus dem Limit h gegen 0 aus der zugehörigen QFT hervorgeht.
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 17:38 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand. |
Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand.
Stimmst du mir da zu? |
Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied. |
Darum geht es mir überhaupt nicht. Mir geht es um die Beobachtung, dass die Quantenmechanik scheinbar aus dem Limit h gegen 0 aus der zugehörigen QFT hervorgeht. |
Das bezweifle ich ja gerade. Selbst in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kommt noch ein endliches h vor. Wie soll diese Gleichung rauskommen, wenn schon h->0 gegangen ist? Und für den relativistischen Fall verstehe ich nicht mal, was Du eigentlich behauptest. Die klassische Diracgleichung definiert wie gesagt keine Quantentheorie. Dazu benötigst du 2. Quantisierung (um die negativen Eigenwerte loszuwerden.) |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 24. Feb 2026 17:57 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis, so wie ich es verstehe, ist eine klassische Diracgleichung, keine Quantentheorie. Eine Quantentheorie hat einen Hilbertraum mit einem wohldefinierten Grundzustand. |
Richtig oder eben wenn wir von Anfang an nichtrelativistisch starten die ganz gewöhnliche Schrödingergleichung der Quantenmechanik - mit Grundzustand.
Stimmst du mir da zu? |
Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied. |
Darum geht es mir überhaupt nicht. Mir geht es um die Beobachtung, dass die Quantenmechanik scheinbar aus dem Limit h gegen 0 aus der zugehörigen QFT hervorgeht. |
Das bezweifle ich ja gerade. Selbst in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kommt noch ein endliches h vor. Wie soll diese Gleichung rauskommen, wenn schon h->0 gegangen ist? Und für den relativistischen Fall verstehe ich nicht mal, was Du eigentlich behauptest. Die klassische Diracgleichung definiert wie gesagt keine Quantentheorie. Dazu benötigst du 2. Quantisierung (um die negativen Eigenwerte loszuwerden.) |
okay ja ich denke ich verstehe es jetzt. Es spielt nämlich noch eine Rolle, dass die h auch in der Wirkung auftreten.
Definiere ich
und betrachte dann das Limit h gegen Null von
}{\hbar}} d \psi )
ergibt sich aufgrund der h die in S auftreten nicht die Schrödingergleichung im Limit.
Nur dann wenn ich einen künstlichen Parameter Lambda einführe und das limit lambda gegen unendlich von
} d \psi )
betrachte erhalte ich die Schrödingergleichung der QM. Dieses Limit hat aber keine vernünftige physikalische Interpretation.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 24. Feb 2026 19:30 Titel: |
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Habe von dem ganzen Kram wohl noch weniger Ahnung als du 
Aber so wie ich es verstehe:
Pfadintegrale beschreiben da mit Quantenphasen aufsummiert alle Wahrscheinlichkeiten beim Übergang von Ereignis A zu Ereignis B in der Raumzeit(!), über "alle Pfade". Die "Bornsche-Regel" ist hier nicht notwendig.
Das Konzept geht auf Gregor Wentzel für "feldtheoretische Betrachtungen" zurück, die mit Norbert Wiener (stochastische Prozesse, "Wiener-Integrale") bei Dirac gelandet sind und von Feynman und Wheeler (als Doktorvater von Feynman) dann in der Pfadintegralformulierung der QM aufgenommen wurden.
Feldtheoretisch lassen sich so einzelne Beiträge zum Pfadintegral auch (Rechnungs-) symbolisch als "Feynmandiagramme" veranschaulichen. Da wird dann das "Materiefeld" als Spinorfeld beschrieben.
Das ist gewissermaßen analog zur Wellenoptik (in materiellen Medien), wo sich dann einzelne Phasen zur "Cornu-Spirale" aufsummieren. Jedoch im Quantenzustand nicht deterministisch, sondern wahrscheinlichkeitsbehaftet.
Ein "Extremalprinzip" der Wirkung liefert dann den "wahrscheinlichsten Pfad", aber eben aufgrund der Unschärferelationen keine "Bahn". Im Gegensatz zum "klassischen Pfad" (h->0). Beim letzteren Ansatz bekommt man dann die Dirac-Gleichung (für Fermionen) bzw. Klein-Gordon-Gleichung (für Spin 0-Bosonen) in relativistischer Lösung, die Schrödinger-Gleichung als nicht-relativistischen Grenzfall.
Tatsächlich sind aber "relativistische QFT" inmer eine Vielteilchentheorie unbestimmter Teilchenzahlen, daher sind diese Gleichungen nur "Näherungslösungen" für spezielle Einteilchenfälle. Das begründet die "Fock-Raum"-Darstellung und "2. Quantisierung". |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 24. Feb 2026 19:46 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied. |
In der Feldtheorie sind die Unterschiede bei der Quantisierung nicht groß. Die bosonischen und fermionischen Kommutatorbeziehungen sehen in beiden Fällen bis auf Details genau gleich aus.
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Freundliche Grüße, T. |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 24. Feb 2026 19:48 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Aber so wie ich es verstehe:
Pfadintegrale beschreiben da mit Quantenphasen aufsummiert alle Wahrscheinlichkeiten beim Übergang von Ereignis A zu Ereignis B in der Raumzeit(!), über "alle Pfade". Die "Bornsche-Regel" ist hier nicht notwendig.
Das Konzept geht auf Gregor Wentzel für "feldtheoretische Betrachtungen" zurück, die mit Norbert Wiener (stochastische Prozesse, "Wiener-Integrale") bei Dirac gelandet sind und von Feynman und Wheeler (als Doktorvater von Feynman) dann in der Pfadintegralformulierung der QM aufgenommen wurden.
Feldtheoretisch lassen sich so einzelne Beiträge zum Pfadintegral auch (Rechnungs-) symbolisch als "Feynmandiagramme" veranschaulichen. Da wird dann das "Materiefeld" als Spinorfeld beschrieben. |
So kenne ich das auch. Es geht bei Pfadintegralen immer darum den zeitlichen Verlauf eines Zustandes zu berechnen. Das kann der Zustand eines einzelnen Teilchens oder auch eines Fockraum-Zustandes sein.
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Freundliche Grüße, T. |
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 24. Feb 2026 20:25 Titel: Re: Schrödingergleichung, Pfadintegral, 2. Quantisierung |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | PPS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, die nichtrelativistische Näherung läßt sich anders quantisieren. Die relativistischen Gleichungen führen eigentlich immer auf Quantenfeldtheorien. Es gibt keine relativistischen Quantentheorien mit endlicher Teilchenzahl soweit mir bekannt. Ob Du von relativistischer oder nichtrelativistischer Quantentheorie spirchst, macht also einen großen Unterschied. |
In der Feldtheorie sind die Unterschiede bei der Quantisierung nicht groß. Die bosonischen und fermionischen Kommutatorbeziehungen sehen in beiden Fällen bis auf Details genau gleich aus. |
Vom Unterschied zwischen Bosone und Fermionen habe ich eigentlich gar nicht geredet.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 24. Feb 2026 21:37 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | Es geht bei Pfadintegralen immer darum den zeitlichen Verlauf eines Zustandes zu berechnen. Das kann der Zustand eines einzelnen Teilchens oder auch eines Fockraum-Zustandes sein. |
In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden wie in der S-Matrix oder andere Matrixelemente wie in der Gitter-QCD, nicht um eine zeitliche Abhängigkeit. Über Raum und Zeit wird ja integriert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 24. Feb 2026 22:16 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden |
Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich.
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Freundliche Grüße, T. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 25. Feb 2026 00:30 Titel: |
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| Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden |
Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich. |
Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale? |
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Zelyra
Anmeldungsdatum: 24.02.2026
Beiträge: 1
Wohnort: FRANCE
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| Zelyra Verfasst am: 25. Feb 2026 00:44 Titel: |
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Spannend, wie sich die Pfadintegrale als Verbindung zwischen klassischer Mechanik und QFT darstellen lassen – interessant zu sehen, wie das Limit h→0 die klassischen Gleichungen wiedererweckt   |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 25. Feb 2026 10:56 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden |
Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich. |
Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale? |
Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)
Ebenso können sie verwendet werden um die, von Hamiltonians generierten, Halbgruppen zu beschreiben, was für rigorose, nicht-pertubative UV-Renormierung und zum Beweis der Existenz von Grundzuständen benutzt werden kann.
Siehe das Buch: "Feynman-Kac-Type Theorems and Gibbs Measures on Path Space
With Applications to Rigorous Quantum Field Theory"
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2026 11:17 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) |
Das geht aber von einer euklidischen Version der Theorie aus, und es lässt m.W.n. offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann.
Ich hatte immer den Eindruck, dass der kanonische Ansatz dabei bevorzugt verwendet wird, oder dass man in Richtung der Algebraic Quantum Field Theory schaut.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Ebenso können sie verwendet werden um die, von Hamiltonians generierten, Halbgruppen zu beschreiben, was für rigorose, nicht-pertubative UV-Renormierung und zum Beweis der Existenz von Grundzuständen benutzt werden kann. |
Ist es tatsächlich so, dass man das im Rahmen der Pfadintegralquantisierung exakt durch-x-en kann? |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 25. Feb 2026 11:34 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) |
Das geht aber von einer euklidischen Version der Theorie aus, und es lässt m.W.n. offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann.
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nein das Osterwalder-Schrader-Theorem sagt dir, dass sobald ihre Axiome erfüllt sind, eine analytische Fortsetzung in den Minkowski-Raum existiert und man die Wightman-funktionen erhält.
Das Problem besteht bis jetzt eher darin eine physikalisch relevante Euklidische Theorie zu konstruieren, die die Axiome erfüllt. Sobald man das hat, hat man auch die Theorie im Minkowski-Raum.
| Zitat: |
Ich hatte immer den Eindruck, dass der kanonische Ansatz dabei bevorzugt verwendet wird, oder dass man in Richtung der Algebraic Quantum Field Theory schaut.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Ebenso können sie verwendet werden um die, von Hamiltonians generierten, Halbgruppen zu beschreiben, was für rigorose, nicht-pertubative UV-Renormierung und zum Beweis der Existenz von Grundzuständen benutzt werden kann. |
Ist es tatsächlich so, dass man das im Rahmen der Pfadintegralquantisierung exakt durch-x-en kann? |
Für bestimmte Modelle wie zum Beispiel das Nelson-Model (welches ein Quantemechanisches Teilchen gekoppelt an ein Quantenfeld beschreibt und eine gute nichtrelativistische Beschreibung von Strahlung-Materie-Wechselwirkung ist) ist Beispielsweise die Existenz eines nichttrivialen UV-Limits mathematisch exakt bewiesen.
Siehe zum Beispiel: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022123614003206
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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PPS
Gast
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| PPS Verfasst am: 25. Feb 2026 11:58 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden |
Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich. |
Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale? |
Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)
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Die Osterwalder-Schrader Axiome sind Aussagen über die Schwingerfunktionen der Feldtheorie. Sie sind aber unabhängig vom Pfadintegral-Formalimus. Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. Es ist also eher so, dass euklidische Feldtheorie für eine rigorose Definition der Pfadintegrale relevant ist, nicht Pfadintegrale für eine rigirose Definition der QFT. Für die QFT braucht man nur Wightmann oder eben Osterwalder-Schrader-Axiome und Rekonstruktionstheorem, keine Pfadintegrale. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 25. Feb 2026 12:18 Titel: |
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| PPS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Telefonmann hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis der Quantenfeldtheorie geht es um Übergangsamplituden |
Das stimmt zwar, ist für das Thema hier aber möglicherweise unerheblich. |
Wo findest du denn ansonsten Pfadintegrale? |
Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.)
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Die Osterwalder-Schrader Axiome sind Aussagen über die Schwingerfunktionen der Feldtheorie. Sie sind aber unabhängig vom Pfadintegral-Formalimus. Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. Es ist also eher so, dass euklidische Feldtheorie für eine rigorose Definition der Pfadintegrale relevant ist, nicht Pfadintegrale für eine rigirose Definition der QFT. Für die QFT braucht man nur Wightmann oder eben Osterwalder-Schrader-Axiome und Rekonstruktionstheorem, keine Pfadintegrale. |
Soweit ich weiß sind Euklidische Pfadintegrale der typische (einzige?) Zugang zur Konstruktion der Schwingerfunktionen. Ich kenne keine Konstruktion einer Euklidischen QFT ohne Pfadintegral.
| Zitat: | | Wenn allerdings überhaupt eine Hoffnung für eine mathematisch annehmbare Definition für Pfadintegrale besteht, dann wohl nur in der euklidischen Feldtheorie. |
Dem kann ich nicht zustimmen. Siehe das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co. Hier wurden bereits QFTs direkt im Minkowski-Raum konstruiert durch sogenannte unendlichdimensionale Fresnel-Integrale. Ebenso rigorose Pfadintegralkonstruktionen für die QM. Das Problem hierbei ist bis jetzt aber interessante Wechselwirkungen zu behandeln - nicht das Pfadintegral an sich.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 25. Feb 2026 14:06 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Aus mathematischer Perspektive sind die relevant um überhaupt zu einer mathematischen rigorosen Definition einer QFT zu kommen. (Siehe bspw. Osterwalder-Schrader-Axiome oder das Buch "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals" von Albeverio und Co.) |
Das geht aber von einer euklidischen Version der Theorie aus, und es lässt m.W.n. offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann.
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nein das Osterwalder-Schrader-Theorem sagt dir, dass sobald ihre Axiome erfüllt sind, eine analytische Fortsetzung in den Minkowski-Raum existiert und man die Wightman-funktionen erhält.
Das Problem besteht bis jetzt eher darin eine physikalisch relevante Euklidische Theorie zu konstruieren, die die Axiome erfüllt. Sobald man das hat, hat man auch die Theorie im Minkowski-Raum. |
Okay, sorry da hatte ich mich missverständlich ausgedrückt. Nach meinem Verständnis liefert das Osterwald-Schrader-Theorem eine formale Absicherung der Wick-Rotation, nicht mehr und nicht weniger.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Das Problem besteht bis jetzt eher darin eine physikalisch relevante Euklidische Theorie zu konstruieren, die die Axiome erfüllt. Sobald man das hat, hat man auch die Theorie im Minkowski-Raum. |
Ja, das ist genau der Punkt, den ich mit
| Zitat: | | es lässt offen, ob und wie die Minkowskische daraus rigoros rekonstruiert werden kann |
meinte.
Wenn man die QFT als Sammlung aller Korrelationsfunktionen auffasst, dann kann man mittels des Theorems zwischen den Euklidschen und Minkowskischen übersetzen; aber man erhält diese Gesamtheit nicht mittels des Theorems.
Für praktische Anwendungsfälle lägen wohl unendliche Produkte und Summen von Feldoperatoren vor, mittels der dann die entsprechenden Wightman-oder Schwinger-Funktionen zu berechnen sind.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Ist es tatsächlich so, dass man das im Rahmen der Pfadintegralquantisierung exakt durch-x-en kann? |
Für bestimmte Modelle wie zum Beispiel das Nelson-Model (welches ein Quantemechanisches Teilchen gekoppelt an ein Quantenfeld beschreibt und eine gute nichtrelativistische Beschreibung von Strahlung-Materie-Wechselwirkung ist) ist Beispielsweise die Existenz eines nichttrivialen UV-Limits mathematisch exakt bewiesen. |
Danke, das kannte ich so noch nicht.
Mir war nicht bewusst, dass dabei das Pfadintegral bei derartigen Beweisen eine zentrale Rolle spielt. Ich hatte es lediglich als praktisches Rechenwerkzeug aufgefasst.
Beispiel tief-inelastische Elektronen-Nukleon-Streuung; zu berechnen ist
, J_\nu^k(0) ] | N \rangle)
Das Pfadintegral liefert zunächst Methoden, wie man mit den elektromagnetischen Strömen und deren Renormierung umgeht, jedoch nichts bzgl. des Nukleonen-Zustandes. Auch der Nukleon-Zustand wird zunächst mittels eines drei-Quark-Operators auf das Gitter gesetzt, Sea-Quark-Korrekturen sind dann dynamisch.
Vergleicht man das mit der nicht-relativistische Quantenmechanik, so liefert die Quantenfeldtheorie mittels Pfadintegral, deutlich weniger, insbesondere nicht die korrekten Multiplets der Eigenzustände des Hamiltonians; diese kennt man nur aus dem Experiment.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Feb 2026 14:36, insgesamt einmal bearbeitet |
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