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Nobbi
Gast
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 Nobbi Verfasst am: 12. Nov 2025 08:57 Titel: Taylorreihenentwicklung - unendlich viele Glieder |
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Meine Frage:
Guten Tag,
ich habe eine zugegeben ziemlich merkwürdige Frage. Und zwar befasse ich mich gerade mit Massenkräften in Kolbentriebwerken. Diese werden mathematisch durch eine Reihenentwicklung beschrieben, wobei in der Regel nur die ersten beiden Glieder (Massenkraft 1. & 2. Ordnung) betrachtet werden. Die unendlich vielen Restglieder sind betragsmäßig so gering, dass sie vernachlässigt werden.
Nun meine eigentliche Frage, die schon fast philosophischen Charakter hat:
Besteht nun in der Realität die Massenkraft aus unendlich vielen Komponenten? Oder ist das ganze lediglich als Approximation, als Näherung zu verstehen, sodass es in der Realität gar nicht unendlich viele Komponenten gibt?
Ist es verständlich, worauf ich hinaus will?
Meine Ideen:
Vielen Dank für eure Hilfe! |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7461
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| Steffen Bühler Verfasst am: 12. Nov 2025 09:42 Titel: |
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Dein Verständnisproblem entspricht im Prinzip der Gleichung  .
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität! Das müssen wir Nichtmathematiker erst mal schlucken. Links steht doch eine unendliche Reihe, die hört doch nie auf, es bleibt doch immer noch was übrig, denken wir. Die kommt der Eins vielleicht beliebig nahe. Aber sie erreicht sie niemals, so wie Achilles die Schildkröte niemals einholt.
Dass links und rechts dasselbe steht, hat Cantor und Dedekind uns beigebracht. Dem Ingenieur ist das natürlich egal, der bricht nach dem dritten Glied ab, für ihn bleibt eine Reihe ein Näherungsprozess. Dem Mann am Stammtisch ebenfalls, wenn er drei Bier bestellt, ist das die Zahl Drei und nicht eine merkwürdige unendliche Reihe.
Aber die reellen Zahlen sind so definiert, und nur so kann etwas wie Taylor oder Fourier auch funktionieren. Ich finde das nach wie vor faszinierend. Bücher wie "Zahlen" von Heinz-Dieter Ebbinghaus helfen Dir vielleicht weiter.
Viele Grüße
Steffen |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2025 10:36 Titel: |
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Zunächst mal müssen wir unterscheiden zwischen
a) was in der Natur tatsächlich existiert und geschieht,
b) wie wir das mathematisch beschreiben,
c) und was wir beobachten oder messen.
Der Begriff der Kraft gehört zu (b). Wir messen eine Kraft oft nur indirekt, z.B. durch die Ausdehnung einer Feder. Wir spüren nicht die Gewichtskraft, sondern die Gegenkraft durch den Boden; ist keiner da, d.h. befinden wir uns im freien Fall, spüren wir keine Gegenkraft.
Zur mathenatischen Äquivalenz hat Steffen das meiste schon gesagt. Wenn man eine Kraft als konvergente Reihe
})
schreiben kann, dann ist das eine mathematische Identität. Zunächst mal erscheint die Frage, ob die einzelnen Terme für sich betrachtet real sind, müßig; irgendwie nicht, denn man kann unendlich viele derartige Summendarstellungen finden.
Andererseits gibt es Fälle, in denen man den einzelnen Termen eine physikalische Bedeutung zuschreiben kann, z.B. wenn man die an einer Masse auf einer schiefe Ebene wirkende Gewichtskraft in Normal- und Hangabtriebskraft zerlegt, oder wenn man im gemeinsamen Gravitationsfeld von Erde und Mond in die Gravitationskraft verursacht durch die Erde und die Gezeitenkraft zerlegt. Das ist für viele physikalische Anwendungen sinnvoll, es erklärt konkrete Effekte, und die Zerlegung ist zumindest prinzipiell messtechnisch realisierbar, also nicht völlig willkürlich oder künstlich.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Nobbi
Gast
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| Nobbi Verfasst am: 12. Nov 2025 10:39 Titel: |
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Vielen Dank für deine Ideen.
Ich glaube tatsächlich, dass dies gar nicht mein Problem ist. Meines ist viel mehr: existieren zu in meinem Fall wirklich in der Realität unendlich viele Komponenten einer Kraft, oder sind die unendlich vielen Komponenten bloß Teil einer Approximation, die einer endliche Kraft beschreibt? |
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Manuel_91
Anmeldungsdatum: 20.07.2024
Beiträge: 725
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| Manuel_91 Verfasst am: 12. Nov 2025 10:50 Titel: |
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| Nobbi hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für deine Ideen.
Ich glaube tatsächlich, dass dies gar nicht mein Problem ist. Meines ist viel mehr: existieren zu in meinem Fall wirklich in der Realität unendlich viele Komponenten einer Kraft, oder sind die unendlich vielen Komponenten bloß Teil einer Approximation, die einer endliche Kraft beschreibt? |
Du stellst keine "eigentliche philosophische Frage" sondern eine rein philosophische Frage, nämlich was die Realität an sich ist. Dazu gibt es bislang "nur" Beweisversuche, sofern wir die öffentlichen und bekannten Positionen betrachten. Kein Beweisversuch konnte vollständig überzeugen, daher wirst du dazu aktuell leider keine öffentlich bekannte Antwort erhalten. Man nennt das "ontologische Fragen". Nach Kant würde man sagen, man kann die Welt an sich nie herausfinden, sondern nur mathematisch etwas "abbilden", aber an das "an sich" kommt man nie. Das überzeugt nicht, dennoch ist sein Beweisversuch die beeindruckendste Schrift in 2000 Jahren Philosophie. Nach Kant gab es mehrere Beweisversuche, alle sind gescheitert. Die Frage so wird also nicht zielführend beantwortet werden können, sofern nicht ein neue Beweisversuch erfolgt und dann breit akzeptiert wird (das wäre der Abschluss der Metaphysik). Physikalisch kann man die Frage so formulieren: Wie wird innerhalb einer Theorie (z.B. String) ein mathematisches Objekt definiert, oder innerhalb der ART die Raumzeit, oder die elektrische Kraft in der Elektrodynamik. Das ist leider nicht befriedigend, aber damit lernt man die moderne Physik und ihre Definitionen kennen.
Der Frage an sich enthalte ich mich aber.  Ich empfehle aber die Frage so anzupassen, dass sie hier von Physikern, innerhalb etablierter physikalische Konzepte (Paradigmen) vernünftig beantwortet werden kann. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2025 10:58 Titel: |
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| Nobbi hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für deine Ideen.
Ich glaube tatsächlich, dass dies gar nicht mein Problem ist. Meines ist viel mehr: existieren zu in meinem Fall wirklich in der Realität unendlich viele Komponenten einer Kraft, oder sind die unendlich vielen Komponenten bloß Teil einer Approximation, die einer endliche Kraft beschreibt? |
Das entspricht genau meinem Beispiel der Gezeitenkraft. Ist diese für sich betrachtet real, oder handelt es sich lediglich um einen Term als Resultat einer Approximation?
Wie gesagt, nichts davon ist real im Sinne von (a). Wir reden über (b), und da ist ein einzelner Term genauso zu betrachten wie die 5 in 3.141592… Wenn es keine sinnvolle Möglichkeit gibt, einen Term für sich isoliert zu betrachten oder zu messen, würde ich ihn für sich betrachtet nicht als "physikalisch real" bezeichnen. Aber dazu verstehe ich deinen Fall zu wenig.
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Nobbi
Gast
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| Nobbi Verfasst am: 12. Nov 2025 14:04 Titel: |
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Ich habe deine Nachricht eben leider übersehen, TomS.
Ich wollte darauf hinaus: wenn eine Kraft durch eine Reihenentwicklung beschrieben werden können, existieren die unendlich vielen Komponenten dann in a)?
In meinem Fall treten Massenkräfte durch die oszillierenden und rotierenden Bewegungen der Bauteile am Kurbeltrieb auf (wikipedia.org/wiki/Hubkolbenmotor). Man kann die Kräfte erster und zweiter Ordnung auch messen und z.T. ausgleichen. Deshalb war die Frage, ob dann auch die Kräfte n- ter Ordnung (n-> unendlich) ebenso real in a) sind. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2025 16:47 Titel: |
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Gegenfrage: Wenn du ein Darlehen monatlich tilgst und aus der Monatsrate eine täglich Belastung errechnest, existiert diese tägliche Belastung dann 365 mal im Jahr in (a)?
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Nobbi
Gast
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| Nobbi Verfasst am: 12. Nov 2025 19:17 Titel: |
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Je nachdem, ja oder nein. Für den einen, der alles auf den einzelnen Tag umrechnen sehr wohl, für andere, die nur die gesamte Last sehen, sicher nicht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 13. Nov 2025 06:32 Titel: |
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Ich sehe es in der Physik ähnlich: wenn die einzelnen Terme separat messbar oder für bestimmte Erklärungen notwendig sind, dann würde ich sie einzeln als "real" ansehen; ist die Darstellung mittels einzelner Terme dagegen vezichtbar, dann nicht.
Nochmal ein etwas anderes Beispiel:
Auf einen Körper in einem externen Feld im ansonsten leeren Raum wirke eine Kraft F; diese kann dargestellt werden mittels Basisvektoren e und diesbzgl. Komponenten
Man kann überabzählbar viele Basen betrachten, wobei die Wahl zunächst völlig willkürlich ist; real ist für mich dann die Kraft F alleine.
Haben wir nun z.B. einen Körper auf einer schiefen Ebene, so zeichnet diese eine spezielle Basis aus, in der die drei Komponenten der Normalkraft, der Hangabtriebskraft und einer dritten tangentialen Kraft entsprechen. Speziell diesen drei Komponenten würde ich dann eine gewisse Realität zuschreiben.
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3563
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| ML Verfasst am: 19. Nov 2025 12:26 Titel: |
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Hallo,
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Haben wir nun z.B. einen Körper auf einer schiefen Ebene, so zeichnet diese eine spezielle Basis aus, in der die drei Komponenten der Normalkraft, der Hangabtriebskraft und einer dritten tangentialen Kraft entsprechen. Speziell diesen drei Komponenten würde ich dann eine gewisse Realität zuschreiben. |
Das ergibt insofern Sinn als die hinzugekommenen Komponenten verschiedene Dinge bewirken: Die Hangabtriebskraft führt zu einer Beschleunigung, die Normalkraft zu einer kleinen Verformung der beteiligten Materialien.
Viele Grüße
Michael |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 19. Nov 2025 12:54 Titel: |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Haben wir nun z.B. einen Körper auf einer schiefen Ebene, so zeichnet diese eine spezielle Basis aus, in der die drei Komponenten der Normalkraft, der Hangabtriebskraft und einer dritten tangentialen Kraft entsprechen. Speziell diesen drei Komponenten würde ich dann eine gewisse Realität zuschreiben. |
Das ergibt insofern Sinn als die hinzugekommenen Komponenten verschiedene Dinge bewirken: Die Hangabtriebskraft führt zu einer Beschleunigung, die Normalkraft zu einer kleinen Verformung der beteiligten Materialien.
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Mit solchen Zerlegungen hat man sicher einzelne einfachere Modelle der Wirkungen der Kräfte im Sinn.
Aber man darf sich da nicht zu Schnellschlüssen verleiten lassen.
zB. wirken auf die (Vorder/Hinter-) Achsen eines auf dem Hang stehenden Autos mit blockierten Reifen unterschiedliche Kräfte (auch wenn der Schwerpunkt in der Mitte liegt), solange der Schwerpunkt eine gewisse Höhe über der schiefen Ebene hat. |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3563
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| ML Verfasst am: 19. Nov 2025 13:21 Titel: |
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Hallo,
| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | Dein Verständnisproblem entspricht im Prinzip der Gleichung .
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität!
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Die  wird in der Schule ja auch immer heiß diskutiert.
- Wenn es um die Darstellung einer rationalen Zahl durch eine Dezimalzahl geht, gibt es allerdings überhaupt keinen Grund, die Neunerperiode überhaupt zuzulassen. Denn wo soll diese Periode herkommen? Wenn ich einen Bruch der Form  mit  mit der üblichen Division in eine Dezimalzahl umwandeln will, kommt sofort die 1 heraus. Für  kommt sofort  heraus. Und niemand zwingt uns dazu, eine Multiplikation von rationalen Zahlen über periodische Dezimalzahlen zu definieren. Bei  mag man ja noch meinen, alles sei klar. Aber wie rechne ich bei  , so dass ich nirgends die Ziffer 2 erhalte? Da gehe ich doch lieber über die Brüche.
- Wenn mit der Grenzwert der Zahlenfolge  für  gemeint ist, kommt im Körper der reellen Zahlen die 1 raus. Hier denken, wie du ja implizit auch sagst, viele an den Prozess der Grenzwertbildung und nicht an das Ergebnis. Als Einwand kommt regelmäßig die Aussage "Da fehlt aber noch was!", weil sie die Summenbildung als etwas auffassen, das Zeit benötigt und nie fertig wird.
Viele Grüße
Michael |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 19. Nov 2025 15:59 Titel: |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | Dein Verständnisproblem entspricht im Prinzip der Gleichung .
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität!
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Die wird in der Schule ja auch immer heiß diskutiert.
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In der Schule kann man sich ohne Grenzwertbetrachtungen vielleicht so weiterhelfen:
Bekannt: 0,99 x 10 = 9,9
Wenn man das jetzt auf die Periodizität "erweitert"..
O,9.. × 10 = 9,9.. = 9 + 0,9..
O,9.. × (10-1) = 9
0,9.. × 9 = 9
=> 0,9.. = 1 |
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Aruna_17
Gast
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| Aruna_17 Verfasst am: 19. Nov 2025 17:04 Titel: |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | Dein Verständnisproblem entspricht im Prinzip der Gleichung .
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität!
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Die wird in der Schule ja auch immer heiß diskutiert. |
Das ist sicher auch interessanter Diskussionstoff für die Schule:
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Ich versuche mal ein ähnliches Gedankenexperiment mit Hilberts Hotel zu konstruieren: Angenommen die Zimmer sind mit natürlichen Zahlen durchnummeriert. Dem Gast im ersten Zimmer wird ein Papier übergeben, das er eine Sekunde später an seinen Nachbarn im zweiten Zimmer weiter reichen soll. Der soll es dann eine halbe Sekunde später an den nächsten Nachbarn im dritten Zimmer weiter geben usw. Der Gast im letzten Zimmer soll dann seine Zimmernummer aufschreiben und dann wird das Blatt in umgekehrter Reihenfolge in jeweils gleichen Zeiten wieder zurück gereicht.
Das kann natürlich nicht funktionieren, weil es kein letztes Zimmer gibt. Aber durch die fortlaufende Halbierung der Zeiten für die Weitergabe müsste der gesamte Vorgang trotzdem in endlicher Zeit - genauer gesagt nach 4 Sekunden - abgeschlossen sein. Was passiert nach Ablauf dieser Zeit? Kommt das Blatt zurück? Wenn nicht, wo ist es geblieben und wenn ja, welche Zahl steht darauf? |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 19. Nov 2025 18:58 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
| Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben: | Dein Verständnisproblem entspricht im Prinzip der Gleichung .
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität!
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Die wird in der Schule ja auch immer heiß diskutiert.
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In der Schule kann man sich ohne Grenzwertbetrachtungen vielleicht so weiterhelfen:
Bekannt: 0,99 x 10 = 9,9
Wenn man das jetzt auf die Periodizität "erweitert"..
O,9.. × 10 = 9,9.. = 9 + 0,9..
O,9.. × (10-1) = 9
0,9.. × 9 = 9
=> 0,9.. = 1 |
PS: dieser "Trick" führt übrigens immer zur Darstellung periodischer Dezimalzahlen als Brüche, indem man bei Perioden der Länge k mit 10^k multipliziert..
zB. bei k=3 Faktor 1000
0,abc.. x 1000 = abc, abc.. = abc + 0,abc..
0,abc.. x (1000-1) = abc
=> 0,abc.. = abc/999
Also zB. für die Beispiele von ML:
3 x 0,3.. = 3 x 3/9 = 1
4 x 0,3.. = 4 x 3/9 = 4/3 = 1 + 1/3 = 1 + 0,3.. = 1,3..
Oder für zB. k=2
4 x 0,ab = 4 x ab/99 = 4 x ab / 99 = (n x 99 + r) / 99 = n + r/99
Mit r = uv < 99, also
4 x 0,ab.. = n,uv.. (u kann auch 0 sein)
Beispiel:
3 x 0,34.. = 3 x 34/99 = 102 /99 = 1 + 3/99 = 1,03.. |
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Kurt_
Gast
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| Kurt_ Verfasst am: 19. Nov 2025 21:36 Titel: |
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| Nobbi hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank für deine Ideen.
Ich glaube tatsächlich, dass dies gar nicht mein Problem ist. Meines ist viel mehr: existieren zu in meinem Fall wirklich in der Realität unendlich viele Komponenten einer Kraft, oder sind die unendlich vielen Komponenten bloß Teil einer Approximation, die einer endliche Kraft beschreibt? |
Spontan gesagt.
Die "unendlich" vielen Einzelkomponenten sind nichts anderes als einzelne Zustände die nacheinander auftreten.
Die Fage ob es viele sind erübrigt sich damit von selber.
Grund: die Vorgänge die ablaufen laufen nacheinander ab und da ist jeder Einzelzustand ein anderer.
Es handelt sich dabei immer um einen zeitlich abgeschlossenen Vorgang der nur einen einzigen Zustand hat.
Quantelung halt, zeitliche Aneinanderreihung sehr vieler Einzelzustände.
Was niemals sein kann ist das mehrere solcher Zustände gleichzitig existieren.
Kurt
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 19. Nov 2025 23:56 Titel: |
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| Kurt_ hat Folgendes geschrieben: |
Spontan gesagt.
Die "unendlich" vielen Einzelkomponenten sind nichts anderes als einzelne Zustände die nacheinander auftreten.
Die Fage ob es viele sind erübrigt sich damit von selber.
Grund: die Vorgänge die ablaufen laufen nacheinander ab und da ist jeder Einzelzustand ein anderer.
Es handelt sich dabei immer um einen zeitlich abgeschlossenen Vorgang der nur einen einzigen Zustand hat.
Quantelung halt, zeitliche Aneinanderreihung sehr vieler Einzelzustände.
Was niemals sein kann ist das mehrere solcher Zustände gleichzitig existieren.
Kurt
. |
Das ist völliger Unsinn. Die Terme einer Taylor-Entwicklung haben rein gar nichts mit nacheinander ablaufenden Zuständen geschweige denn Quantelung zutun.
Im allgemeinen kann man den Komponenten einer Taylor-Entwicklung keine physikalische Bedeutung zukommen lassen. Es ist nur eine bestimmte Form eine Funktion zu approximieren und es lassen sich genau so gut andere Approximationen vornehmen wie bspw. durch eine Fourier-Reihe oder sonst irgendeine Basis auf einem geeigneten Funktionenraum.
Es ist also in der Regel nur als reine Approximation zu verstehen und diese Approximation ist auch nicht eindeutig! Wenn dann kann man bestimmten Termen in ganz bestimmten Spezialfällen eine physikalische Interpretation geben.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Kurt_
Gast
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| Kurt_ Verfasst am: 20. Nov 2025 08:52 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
Es ist also in der Regel nur als reine Approximation zu verstehen und diese Approximation ist auch nicht eindeutig! Wenn dann kann man bestimmten Termen in ganz bestimmten Spezialfällen eine physikalische Interpretation geben. |
Bezogen habe ich mich auf diese Aussage:
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Dein Verständnisproblem entspricht im Prinzip der Gleichung . 0.9 periodisch = 1
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität! Das müssen wir Nichtmathematiker erst mal schlucken. Links steht doch eine unendliche Reihe, die hört doch nie auf, es bleibt doch immer noch was übrig, denken wir. Die kommt der Eins vielleicht beliebig nahe. Aber sie erreicht sie niemals, so wie Achilles die Schildkröte niemals einholt.
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Da ergibt sich halt das was ich mir überlegt habe.
Es besteht also ein Unterschied zwischen Mathematik und Realität.
Heisst: Mathematik bildet/kann die Realität nicht 1:1 abbilden.
Kurt |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Nov 2025 10:34 Titel: |
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| Kurt_ hat Folgendes geschrieben: |
Denn das ist eben nicht einfach eine Näherung, sondern eine Identität! Das müssen wir Nichtmathematiker erst mal schlucken.
Kurt |
1. Eine Taylor-Reihe konvergiert nur für analytische Funktionen. Für alle anderen (was die große Mehrheit ist) konvergiert sie nicht und es gibt daher auch keine Identität sondern es ist wirklich nur eine reine Approximation (keine Identität) in der Nähe eines Punktes.
2. Falls tatsächlich eine Idenität zwischen Reihe und Funktion besteht, heißt das trotzdem noch nicht, dass "die Kraft aus unendlich vielen Termen besteht". Dann ist das lediglich eine bestimmte mathematische Darstellung dieser Kraft durch eine Potenzreihe aber man kann wie gesagt genau so gut eine andere Darstellung wählen.
Die freie Wahl der Darstellung deutet zeigt, dass dies keine physikalische Relevanz hat.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 20. Nov 2025 13:36 Titel: |
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Im übrigen ist 0,999...=1 einfach eine Konsequenz der Definition der reellen Zahlen, die durch Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen definiert werden. 0,999...= 0,9+0,09+0,009+... ist genau deshalb gleich 1 weil sie per Definition der reellen Zahlen zu selben Äquivalenzklasse gehören. In diesem Sinne ist das einfach Definitionssache.
Im Zahlenkörper der Hyperreellen zahlen kann ich 0,999... auch anders interpretieren und dann gilt 0,999...<1 und es gibt tatsächlich eine infinitesimale Differenz (die in diesem Rahmen mathematisch rigoros definiert werden kann).
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2025 16:32 Titel: |
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Nicht mathematisch streng, aber für jeden einsichtig:
Man benötigt also nicht zwingend Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, um das zu verstehen. Was jedoch sicher unnötig ist, sind Schildkröten.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Nov 2025 19:37, insgesamt einmal bearbeitet |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3563
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| ML Verfasst am: 20. Nov 2025 17:39 Titel: |
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Hallo,
die letzte Zeile sollte wohl werden:
Viele Grüße
Michael |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2025 19:38 Titel: |
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| ML hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
die letzte Zeile sollte wohl werden:
Viele Grüße
Michael |
Klar, danke, hab's korrigiert.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 21. Nov 2025 07:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nicht mathematisch streng, aber für jeden einsichtig:
Man benötigt also nicht zwingend Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, um das zu verstehen. Was jedoch sicher unnötig ist, sind Schildkröten. |
Dein Argument suggeriert aber dass quasi ein "absoluter" Fakt ist, unabhängig vom Zahlenkörper, da dieser in deinem "Beweis" garnicht erwähnt wird . Ich wollte darauf hinaus , dass das letztlich einfach Definitionssache ist, was man anhand der Vervollständigung der rationalen Zahlen durch Cauchy-Folgen sehr schön sieht.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2025 09:12 Titel: |
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Das ist schon klar, aber andere Zahlkörper werden 99 % der Leute nicht interessieren.
D.h., es sollte ausreichen sein, zu erwähnen, dass diese Vervollständigung der rationalen Zahlen mathematisch sauber definiert werden muss, dass die Skizze zwar der "Intuition aus der Schulmathematik" entspricht, dies jedoch nicht eindeutig vorgegeben ist.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 21. Nov 2025 10:50 Titel: |
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Wie man anhand der Rekursionsformel
x_n+1 = (9 + x_n)/10
schön sieht, konvergiert sie für rationale Zahlen x_0 zwischen (0,1) gegen die rationale Zahl 1 im Zahkenkörper der rationalen Zahlen.
Man braucht hier gar keinen anderen Zahlenkörper als rationale Zahlen.
((man kann hier aber als Einbettung in reelle Zahlen zB. mit dem Fixpunktssatz argumentieren.))
Anderer Ansatz wäre die endliche Geometrische Reihe mit 1/10..
1,1...1 (n-mal) = {1-(1/10)^n}/{1-1/10}
0,9... = 9 x (1,1...) -9
Dann n gegen unendlich.. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2025 11:28 Titel: |
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Da stimmt natürlich. Die Folge
 )
ist eine innerhalb der rationalen Zahlen konvergente Cauchy-Folge.
Dass andere, nicht innerhalb der rationalen Zahlen konvergente Cauchy-Folge existieren, ist der Grund für die Konstruktion von Vervollständigungen der rationalen Zahlen.
Speziell im vorliegenden Fall benötigt man das jedoch nicht. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 21. Nov 2025 11:59 Titel: |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | Wie man anhand der Rekursionsformel
x_n+1 = (9 + x_n)/10
schön sieht, konvergiert sie für rationale Zahlen x_0 zwischen (0,1) gegen die rationale Zahl 1 im Zahkenkörper der rationalen Zahlen.
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Das stimmt.
Ich hatte eher im Kopf 0.999... als die Folge (0.9 , 0.99 , 0.999 ,...) zu verstehen.
Dann wird dieser Ausdruck durch die Definition der reellen Zahlen mit der konstanten Folge (1,1,1,...) identifiziert. In den Hyperreellen Zahlen sind die Folgen jedoch nicht identisch.
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Herbi
Gast
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| Herbi Verfasst am: 24. Nov 2025 22:27 Titel: |
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| Zitat: | DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Ich versuche mal ein ähnliches Gedankenexperiment mit Hilberts Hotel zu konstruieren: Angenommen die Zimmer sind mit natürlichen Zahlen durchnummeriert. Dem Gast im ersten Zimmer wird ein Papier übergeben, das er eine Sekunde später an seinen Nachbarn im zweiten Zimmer weiter reichen soll. Der soll es dann eine halbe Sekunde später an den nächsten Nachbarn im dritten Zimmer weiter geben usw. Der Gast im letzten Zimmer soll dann seine Zimmernummer aufschreiben und dann wird das Blatt in umgekehrter Reihenfolge in jeweils gleichen Zeiten wieder zurück gereicht.
Das kann natürlich nicht funktionieren, weil es kein letztes Zimmer gibt. Aber durch die fortlaufende Halbierung der Zeiten für die Weitergabe müsste der gesamte Vorgang trotzdem in endlicher Zeit - genauer gesagt nach 4 Sekunden - abgeschlossen sein. Was passiert nach Ablauf dieser Zeit? Kommt das Blatt zurück? Wenn nicht, wo ist es geblieben und wenn ja, welche Zahl steht darauf? |
Mal eine blöde Frage, kennt jemand hier drauf die korrekte Antwort?
Die Halbierung der Zeit bedeutet ja quasi, dass eine unendliche Folge auch ein endliches Ergebnis haben kann.
Allerdings: eigentlich kann das Blatt nicht zurück kommen, da es unendlich oft weiter gegeben wird. Zum anderen ist der Vorgang nach 4 S abgeschlossen. Ist dies nicht ein Widerspruch?
Kennt jemand die korrekte Lösung zu dem Problem? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2025 10:01 Titel: |
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Die Lösung besteht darin, es mathematisch sauber zu modellieren.
Es gibt eine Folge von Zimmernummern, d.h. eine Abbildung Z der natürlichen Zahlen auf sich selbst
wobei jedem Zimmer eine Nummer zugeordnet wird
 = n)
(ich verwende im folgenden immer direkt n, obwohl streng genommen z(n) gemeint ist)
Das Blatt wird immer von einem zum nächsten Zimmer weitergegeben, d.h. es wandert vom Zimmer n in das Zimmer n+1. Im n-ten Schritt befindet sich das Blatt im n-ten Zimmer, und der dortige Gast radiert alles bisherige weg und schreibt diese neue Nummer auf das Blatt. So wird dem Blatt im n-ten Schritt ebenfalls diese Nummer n zugeordnet.
D.h. wir haben eine zweite Abbildung
 = n)
Alternativ kann man diese Folge mittels der Regel für das Weitergeben definieren, d.h.
Dies geschehe zu den Zeiten
} = \sum_{k=0}^n 2^{-k} )
Der Grenzwert dieser Folge ist
Nun kommt der Schritt, der laut DrStupid nicht funktionieren kann. Dazu benötige ich die Notation n' = Nachfolger von n. Ich modifiziere die Regel für das Weitergeben und Beschriften des Blattes wie folgt:
oder alternativ
Wenn für n kein Nachfolger n' innerhalb der natürlichen Zahlen existiert, wenn n also die letzte natürlich Zahl ist, dann wird das Blatt wieder zurückgereicht.
Für alle anderen Fälle greift die bisherige Regel.
Aber die Ausnahmeregel greift nie, da für jedes n ein n' existiert. Die Ausnahmeregel ist also nicht falsch, es existiert kein Widerspruch.
Das Blatt kommt nie zurück, gerade weil die Ausnahmeregel nie greift, es wird zu jedem Schritt n immer vorwärts weitergereicht. Das Weiterreichen dauert im Grenzfall über alle natürlichen Zahlen zwei Sekunden.
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Sämtliche Abbildungen, Folgen und Reihen sind mathematisch widerspruchsfrei definiert.
Etwas schwieriger ist die Frage zu beantworten, wo sich das Blatt nach (z.B.) drei Sekunden befindet:
Die obige Abbildung T liefert kein Ergebnis, kein n als Antwort. D.h. diese Frage kann an die Abbildung T nicht sinnvoll gestellt werden. |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 25. Nov 2025 11:10 Titel: |
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| Herbi hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | DrStupid hat Folgendes geschrieben:
Ich versuche mal ein ähnliches Gedankenexperiment mit Hilberts Hotel zu konstruieren: Angenommen die Zimmer sind mit natürlichen Zahlen durchnummeriert. Dem Gast im ersten Zimmer wird ein Papier übergeben, das er eine Sekunde später an seinen Nachbarn im zweiten Zimmer weiter reichen soll. Der soll es dann eine halbe Sekunde später an den nächsten Nachbarn im dritten Zimmer weiter geben usw. Der Gast im letzten Zimmer soll dann seine Zimmernummer aufschreiben und dann wird das Blatt in umgekehrter Reihenfolge in jeweils gleichen Zeiten wieder zurück gereicht.
Das kann natürlich nicht funktionieren, weil es kein letztes Zimmer gibt. Aber durch die fortlaufende Halbierung der Zeiten für die Weitergabe müsste der gesamte Vorgang trotzdem in endlicher Zeit - genauer gesagt nach 4 Sekunden - abgeschlossen sein. Was passiert nach Ablauf dieser Zeit? Kommt das Blatt zurück? Wenn nicht, wo ist es geblieben und wenn ja, welche Zahl steht darauf? |
Mal eine blöde Frage, kennt jemand hier drauf die korrekte Antwort?
Die Halbierung der Zeit bedeutet ja quasi, dass eine unendliche Folge auch ein endliches Ergebnis haben kann.
Allerdings: eigentlich kann das Blatt nicht zurück kommen, da es unendlich oft weiter gegeben wird. Zum anderen ist der Vorgang nach 4 S abgeschlossen. Ist dies nicht ein Widerspruch?
Kennt jemand die korrekte Lösung zu dem Problem? |
Das nennt man wohl auch "Supertask" (unendliche viele Aufgaben in endlicher Zeit erledigt), siehe auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Thomson-Lampe
Obwohl man für jedes Zimmer eine "Roundtrip"-Zeit berechnen kann, die im Limit hier gegen 4s geht, ist der Ort im Limes gewisser Weise unscharf, nicht lokalisiert. Man kann dem "Supertask" also keine (endliche) Nummer zuordnen.
(( Für das n. Zimmer ist die "Roundtrip"-Zeit des Zettels:
T_n = 4 x (2^n-1)/2^n )) |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Nov 2025 11:43 Titel: |
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Erinnert mich an das Grim-Reaper-Paradoxon.
Das halte ich für ein gut formuliertes echtes Paradoxon, das sich nicht mit Infinitesimalrechnung o.ä. auflösen lässt.
Frage nach der Nummer des tötenden Grim-Reapers.
https://www.futilitycloset.com/2021/10/02/the-grim-reaper-paradox/
>>Suppose there are an infinite number of Grim Reapers. Each has an appointed time to kill Fred if it finds him alive.
The last Grim Reaper (call it #1) is appointed to do this exactly one minute after noon. The next-to-last (#2) is appointed to do it one half minute after noon. And so on: If it finds him alive, Reaper n will kill Fred exactly 1/(2^(n-1)) minutes after noon.
Thus there is no first Reaper. For any given Reaper, there are infinitely many others who precede it by moments.
Whatever happens, we know that Fred can’t survive this ordeal — to go on with his life he must still be alive at 12:01, and we know for certain that if he lives that long then Reaper #1 will kill him. But in order to survive to 12:01 he must still be alive at 30 seconds after 12 — and at that time Reaper #2 will kill him. And so on. It appears that no Reaper will ever get the chance to kill Fred, because each is preceded by another who will rob him of the opportunity.
So it’s impossible that Fred survives, but it’s also impossible that any Reaper kills him. Must we say that he dies for certain but of no cause?
(From José Benardete’s Infinity: An Essay in Metaphysics, 1964.)<<
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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Herbi
Gast
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| Herbi Verfasst am: 25. Nov 2025 11:55 Titel: |
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Danke an TomS und Qubit für die Erläuterungen. Der Eindwand von TomS, was denn nach 3S eigentlich ist, kam mir auch in den Kopf. Kann man also sagen, dieses Szenario ist nicht definiert?
Wäre die Schlussfolgerung, dass in endlicher Zeit keine unendlich vielen Aufgaben erledigt werden können? Oder kann man generell sagen, dass in der Natur keine Unendlichkeiten vorkommen ? Obwohl ich gerade merke, dass man das niemals beweisen kann, beim Universum ist man sich ja auch nicht wirklich sicher.... |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2025 12:19 Titel: |
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| Herbi hat Folgendes geschrieben: | | Wäre die Schlussfolgerung, dass in endlicher Zeit keine unendlich vielen Aufgaben erledigt werden können? |
Praktisch ist das natürlich nicht möglich, aber theoretisch schon. Zenons Nicht-Paradoxon ist wohl das bekannteste Beispiel. Das Rennen wird nach unendlich vielen Schritten in endlicher Zeit entschieden. Dass dieser Zeitpunkt bei Zenon nicht vorkommt, ist sein Problem. Er hat einfach eine ungeeignete Form der Beschreibung gewählt. Achilles und der Schildkröte kann es egal sein. Für sie passiert an diesem Punkt nichts Ungewöhnliches und sie können sogar danach noch weiter laufen.
| Herbi hat Folgendes geschrieben: | | Oder kann man generell sagen, dass in der Natur keine Unendlichkeiten vorkommen ? |
Es gibt momentan nichts, was gegen Unendlichkeiten spricht. Man kann sie sich zwar nicht vorstellen, aber begrenzte Vorstellungskraft ist kein ernst zu nehmendes Argument. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2025 12:52 Titel: |
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Schönes Paradoxon!
Infinitesimalrechnung benötigen wir sicher nicht, da wir über einer abzählbaren Menge argumentieren.
Ich denke, es löst sich ähnlich, nur nicht ganz so einfach wie meine letzte Frage. Man definiert eine Abbildung T für die Zeiten, eine zweite Abbildung K für die Kill-Ereignisse, also ein Folgenglied ist 1, alle anderen Null, und eine dritte Abbildung L, ob Fred lebt, d.h. 1, oder nicht, d.h. 0. Das formalisiert man, und findet (vermutlich), dass es keine drei Folgen T, K, L, gibt, die alle Bedingungen erfüllen, d.h. die Lösungsmenge ist leer.
Aber ich könnte mir vorstellen, dass es andere Zahlensysteme gibt, mittels derer man zu anderen Ergebnissen gelangt. Das Problem bei der vollständigen Induktion bzw. Rekursion über den natürlichen Zahlen ist ja, dass der Induktionsanfang #1 bei 12:01 liegt, man denkt rückwärts.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Nov 2025 13:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, es löst sich ähnlich, nur nicht ganz so einfach wie meine letzte Frage. Man definiert eine Abbildung T für die Zeiten, eine zweite Abbildung K für die Kill-Ereignisse, also ein Folgenglied ist 1, alle anderen Null, und eine dritte Abbildung L, ob Fred lebt, d.h. 1, oder nicht, d.h. 0. Das formalisiert man, und findet (vermutlich), dass es keine drei Folgen T, K, L, gibt, die alle Bedingungen erfüllen, d.h. die Lösungsmenge ist leer. |
Ich denke nicht, dass Du es gelöst hast (was heißt "die Lösungsmenge ist leer", dass Fred überlebt?). Dann müsstest Du die Nummer angeben können. "Unendlich" ist nicht erlaubt, das wäre ja einfach, es gibt keinen Grim Reaper mit "unendlich" als Nummer.
Man nähert sich einem offenen Intervall von außen und es ist die Frage, welcher Zahl man zuerst begegnet.
Dieses Paradoxon ist echt und wenn mich Gott fragen würde, wie ich sterben möchte, dann durch die Grim Reaper (die Täter-Nummer möchte ich vorher wissen). Da bekommt sogar Gott ein Problem.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2025 14:30 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke, es löst sich ähnlich, nur nicht ganz so einfach wie meine letzte Frage. Man definiert eine Abbildung T für die Zeiten, eine zweite Abbildung K für die Kill-Ereignisse, also ein Folgenglied ist 1, alle anderen Null, und eine dritte Abbildung L, ob Fred lebt, d.h. 1, oder nicht, d.h. 0. Das formalisiert man, und findet (vermutlich), dass es keine drei Folgen T, K, L, gibt, die alle Bedingungen erfüllen, d.h. die Lösungsmenge ist leer. |
Ich denke nicht, dass Du es gelöst hast (was heißt "die Lösungsmenge ist leer", dass Fred überlebt?). |
Die Lösungsmenge ist nicht leer, das war voreilig von mir.
Ich verwende im folgenden die zeitliche Sortierung
Es gibt eine triviale Lösung
d.h. Fred war schon immer tot.
Nimmt man an, dass Fred einmal gelebt hat, also
so steht dies im Widerspruch zu der Kill-Regel, dass jeder Reaper Fred entweder tötet oder einen toten Fred tot lässt *
Lässt man die Annahme fallen, dass Fred einmal gelebt hat, so gilt
Die Lösungsmenge für die Folgen ist dann leer, wenn man nach Lösungen innerhalb einer Gesamtmenge sucht, die ausschließlich Folgen enthält, in denen Fred mindestens einmal gelebt hat.
* die ersten beiden Sätze "suppose there are an infinite number of Grim Reapers; each has an appointed time to kill Fred if it finds him alive" lassen durchaus zu, dass Fred schon immer tot war
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 25. Nov 2025 15:01 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | * die ersten beiden Sätze "suppose there are an infinite number of Grim Reapers; each has an appointed time to kill Fred if it finds him alive" lassen durchaus zu, dass Fred schon immer tot war |
Bitte mache Dich nicht lächerlich. Es steht vielleicht nicht explizit da, dass Fred vor 12.00 lebendig war, aber es steht auch nicht da, dass der Text in Englisch geschrieben ist. Es könnte eine uns völlig unbekannte Sprache sein und ist in Wirklichkeit die Weltformel.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Lösungsmenge für die Folgen ist dann leer, wenn man nach Lösungen innerhalb einer Gesamtmenge sucht, die ausschließlich Folgen enthält, in denen Fred mindestens einmal gelebt hat. |
Ja, jetzt Butter bei die Fische. Überlebt Fred bis meinetwegen 12:05 oder wird er getötet? Wenn ja, von wem?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 25. Nov 2025 15:27 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | * die ersten beiden Sätze "suppose there are an infinite number of Grim Reapers; each has an appointed time to kill Fred if it finds him alive" lassen durchaus zu, dass Fred schon immer tot war |
Bitte mache Dich nicht lächerlich. Es steht vielleicht nicht explizit da, dass Fred vor 12.00 lebendig war ... |
Jetzt machst du dich lächerlich.
Ein derartiges Paradoxon löst man eigtl. immer dadurch, dass man schwammige Umgangssprache präzise formalisiert.
| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Die Lösungsmenge für die Folgen ist dann leer, wenn man nach Lösungen innerhalb einer Gesamtmenge sucht, die ausschließlich Folgen enthält, in denen Fred mindestens einmal gelebt hat. |
Ja, jetzt Butter bei die Fische. Überlebt Fred bis meinetwegen 12:05 oder wird er getötet? Wenn ja, von wem? |
Wenn Fred vor 12:00 tot war, bleibt er tot. Alles andere ist innerhalb des verwendeten Rahmens logisch unmöglich, ausgeschlossen, kann nicht existieren ... Begründung siehe oben.
Die beschriebene Konstellation mit den Reapern, der Kill-Regel und einem nach 12:00 noch lebenden Fred kann es logisch nicht geben. Das Paradoxon ist also wie so oft gar kein solches, sondern einfach die sprachlich unpräzise Verschleierung einer logischen Inkonsistenz. Wenn man derartiges herausfindet, hat man es nach meinem Verständnis gelöst oder aufgelöst.
Russell hat die nach ihm benannte Antinomie auch nicht dadurch gelöst, dass er die gesuchte Menge konstruiert oder deren Existenz gezeigt hat; er hat zunächst Frege einen Brief mit dem Hinweis auf die Inkonsistenz geschrieben, und er hat die Typentheorie konstruiert, innerhalb derer Aussagen, die zu derartigen Antinomien führen, nicht mehr formuliert werden können.
So auch hier.
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