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OkTennis
Anmeldungsdatum: 29.04.2024
Beiträge: 45
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 OkTennis Verfasst am: 07. Jun 2025 05:42 Titel: Hohlraumresonator, Modendichte |
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Hallo zusammen,
Fuer einen Hohlraumresonator ist die Anzahl der moeglichen Frequenzen im Frequenzintervall zwischen  und  gegeben durch
= \frac{dN(\nu)}{d\nu} \, d\nu = 4\pi V \frac{\nu^2}{c^3} \, d\nu )
Um die Anzahl der Eigenmoden mit Frequenzen zwischen und zu erhalten muss man den obigen Ausdurck mit 2 multiplizieren:
}{d\nu}\, d\nu= 8 \pi V \frac{\nu^2}{c^3} \, d\nu )
Ich verstehe nicht, warum man mit dem Faktor 2 multiplizieren muss. In meinem Lehrbuch steht, dass der Faktor 2 auftaucht, wenn man die beiden Polarisationsrichtungen einer Eigenmode beruecksichtigt. Ich verstehe nicht, was es damit auf sich hat.
Aus div E = 0 folgt
d.h. man kann (bei vorgegebenen l, m und n) zwei Amplituden frei waehlen. Wie geht es dann weiter?
Vielen Dank fuer Eure Hilfe!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 07. Jun 2025 08:43 Titel: |
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Betrachte eine ebene Welle mit Wellenvektor k. Dann gibt es dazu zwei mögliche transversale Polarisationsrichtungen n = 1,2 mit den entsprechenden Polarisationsvektoren epsilon.
D.h wir haben elektrische Felder
 \sim \epsilon_n \, e^{ikx} )
mit der Orthonormierung
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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OkTennis
Anmeldungsdatum: 29.04.2024
Beiträge: 45
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| OkTennis Verfasst am: 08. Jun 2025 05:49 Titel: |
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Danke erstmal fuer die Antwort.
So wie ich das verstanden habe:
Die ebene Welle sei gegeben durch
} )
Aus div E = 0 folgt
d.h. ein moegliche Amplitudenvektor  liegt in einer Ebene senkrecht zu  . Wir koennen also  in zwei senkrecht zueinander stehenden Anteile zerlegen, die ebenfalls in der Ebene liegen, d.h. moegliche Amplitudenvektoren darstellen:
Ich verstehe aber nicht warum es nur zwei Polarisationsrichtungen sind - warum koennte man nicht z.B.  wieder in zwei senkrecht zueinander stehenden Anteile zerlegen, usw. ? Dann haette man unendlich viele Polarsationsrichtungen...
Vielen Dank fuer Eure Hilfe.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 08. Jun 2025 06:42 Titel: |
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Es gibt in der Ebene senkrecht zu k natürlich unendlich viele erlaube Polarisationsrichtungen. Aber die Ebene ist zweidimensional, deswegen gibt es nur zwei linear unabhängige Polarisationsvektoren in der Ebene, mittels derer du alle Polarisationsvektoren darstellen kannst. Und nur diese zwei werden bei den unabhängigen Freiheitsgraden gezählt.
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OkTennis
Anmeldungsdatum: 29.04.2024
Beiträge: 45
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| OkTennis Verfasst am: 08. Jun 2025 18:17 Titel: |
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Eine Eigenmode mit der Frequenz  koennen wir also als Ueberlagerung zweier linear unabhaengiger Eigenmoden derselben Frequenz schreiben. Das heisst, jeder Frequenz entsprechen zwei Freiheitsgrade.
Zur Ableitung der Rayleigh-Jeans-Formel geht es ja so weiter:
Nach dem Gleichverteilungssatz ist die mittlere kinetische Energie pro Freiheitsgrad  . Fuer die Energie pro Frequenzintervall gilt dann
 }_{\text{Anzahl der Eigenmoden pro Freqquenzintervall}} )
Im Ausdruck fuer die Anzahl der Eigenmoden pro Frequenzintervall werden doch die beiden Freiheitsgrade schon durch den Faktor 2 beruecksichtigt? Warum muss man also nochmal mit 2 multiplizieren? Ist das dann nicht "doppelt-gemoppelt" ?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 08. Jun 2025 21:14 Titel: |
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Das verstehe ich nicht. Hast du dazu ein Skript?
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2143
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 08. Jun 2025 21:57 Titel: |
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Hi,
ich glaube, da geht etwas durcheinander.
Die Anzahl der Schwingungsfreiheitsgrade (Moden) pro Frequenzintervall ist wie von TomS gezeigt:
N = 2*(Anzahl der Frequenzen pro Frequenzintervall)
Die Anzahl der thermodynamischen Freiheitsgrade im Sinne des Gleichverteilungssatzes ist hier ebenfalls f = 2. Das liegt daran daran, dass das elektromagnetische Feld sowohl einen elektrischen als auch einen magnetischen Anteil enthält. Folglich gibt es zwei quadratische Terme in der Formel für die Feldenergie. Jeder dieser Terme trägt im thermischen Gleichgewicht den Faktor 1/2*kT zur Gesamtenergie bei.
Für die Gesamtenergie pro Frequenzintervall gilt also
E = N*f*1/2*kT = 2*(Anzahl der Frequenzen pro Frequenzintervall)*2*1/2*kT
Viele Grüße,
Nils
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2025 04:55 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Die Anzahl der Schwingungsfreiheitsgrade (Moden) pro Frequenzintervall ist wie von TomS gezeigt:
N = 2*(Anzahl der Frequenzen pro Frequenzintervall)
Die Anzahl der thermodynamischen Freiheitsgrade im Sinne des Gleichverteilungssatzes ist hier ebenfalls f = 2. Das liegt daran daran, dass das elektromagnetische Feld sowohl einen elektrischen als auch einen magnetischen Anteil enthält. Folglich gibt es zwei quadratische Terme in der Formel für die Feldenergie. Jeder dieser Terme trägt im thermischen Gleichgewicht den Faktor 1/2*kT zur Gesamtenergie bei.
Für die Gesamtenergie pro Frequenzintervall gilt also
E = N*f*1/2*kT = 2*(Anzahl der Frequenzen pro Frequenzintervall)*2*1/2*kT |
Danke, Nils.
Dann sind die Zählweisen der Freiheitsgrade aber untereinander inkonsistent, denn die Magnetfelder sind keine unabhängigen dynamischen Freiheitsgrade. Ich meine damit folgendes: in drei Dimensionen beschreibt jedes der folgenden Tupel einen dynamischen Freiheitsgrad im Phasenraum:
, \quad n = 1,2,3)
, \quad E \perp k \;\to\; n = 1,2 )
Im ersten Fall führt das auf drei, im zweiten auf zwei * unendlich wg. der unendlich vielen erlaubten k-Vektoren. Die Transversalitätsbedingung für das E-Feld reduziert dabei die Anzahl der erlaubten Polarisationen von drei auf zwei. Die B-Felder treten hier aber überhaupt nicht auf, da sie durch die E-Felder vollständig bestimmt sind; für ebene Wellen gilt
und daher ist das B-Feld nicht unabhängig, wird also bei den dynamischen Freiheitsgraden nicht gezählt (und ist auch kein solcher in der Hamiltonschen Formulierung).
Das Argument mit der Energie zählt nicht, da natürlich
^2 = 2E^2)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 09. Jun 2025 05:30, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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OkTennis
Anmeldungsdatum: 29.04.2024
Beiträge: 45
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| OkTennis Verfasst am: 09. Jun 2025 05:03 Titel: |
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Die beiden Autoren scheinen unterschiedliche Erklaerungen fuer die beiden Freiheitsgrade im Bezug auf Eigenmoden liefern...
Laut Nolting ist f=2 wegen elektrischen + magnetischen Anteil
Laut Greiner ist f=2 wegen den beiden linear unabhaengigen Polarisationsrichtungen
| Beschreibung: |
| W. Nolting Quantenmechanik |
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| Beschreibung: |
| W. Greiner Quantenmechanik |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2025 05:17 Titel: |
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Die Erklärung von Nolting führt in die Irre.
Die korrekte Zählung dynamischer Freiheitsgrade je k führt auf zwei für das E-Feld und Null für das B-Feld.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2143
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 09. Jun 2025 12:15 Titel: |
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| OkTennis hat Folgendes geschrieben: | Die beiden Autoren scheinen unterschiedliche Erklaerungen fuer die beiden Freiheitsgrade im Bezug auf Eigenmoden liefern...
Laut Nolting ist f=2 wegen elektrischen + magnetischen Anteil
Laut Greiner ist f=2 wegen den beiden linear unabhaengigen Polarisationsrichtungen |
Hallo,
ich glaube, die Verwirrung kommt von den unterschiedlichen Kontexten, in denen hier der Begriff "Freiheitsgrad" verwendet wird.
1. Der Schwingungsfreiheitsgrad oder auch dynamische Freiheitsgrad f: er zählt wie viele Moden, also unabhängige Schwingungstypen es gibt. Das sind pro k-Vektor zwei wegen den zwei unabhängigen Polarisationszuständen.
2. Dann gibt es aber auch den Begriff "Freiheitsgrad" im Kontext des Gleichverteilungssatz der Thermodynamik. Dieser Satz besagt folgendes:
Im thermodynamischen Gleichgewicht trägt jeder quadratische Term in der Hamilton-Funktion den Beitrag 1/2*k*t zur Energie bei.
Die Verwirrung kommt nun daher, dass die Anzahl dieser Terme in der Literatur ebenfalls häufig als "Freiheitsgrad" bzw. "thermodynamischer Freiheitsgrad" bezeichnet wird. Das ist aber nicht der dynamische Freiheitsgrad f von oben!
Ein elektromagnetischer Modus im Hohlraum besitzt zwei dieser quadratischen Terme im Ausdruck für die Energie:
u = 1/2*eps0*E² + 1/2*µ0*B²
Jede Schwingungsfreiheitsgrad besitzt also zwei thermodynamische Freiheitsgrade.
Zusammenfassung:
Es gibt mehrere Bedeutungsebenen des Begriffs „Freiheitsgrad“, und in der Physik muss man den Kontext genau beachten.
Thermodynamische Freiheitsgrade beziehen sich auf Energieverteilung; Moden-Freiheitsgrade auf Zustandszählung.
Viele Grüße,
Nils
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OkTennis
Anmeldungsdatum: 29.04.2024
Beiträge: 45
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| OkTennis Verfasst am: 09. Jun 2025 16:53 Titel: |
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Danke Nils fuer deine ausfuehrliche Erklaerung.
Du meinst also dass die Erklaerung von Greiner falsch ist?
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2143
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 09. Jun 2025 17:44 Titel: |
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| OkTennis hat Folgendes geschrieben: | Danke Nils fuer deine ausfuehrliche Erklaerung.
Du meinst also dass die Erklaerung von Greiner falsch ist? |
Nein, ich gehe davon aus, dass beide in dem jeweiligen Kontext eine unterschiedliche Bedeutung für den Begriff "Freiheitsgrad" verwenden.
Nolte bezieht sich auf den "thermodynamischen Freiheitsgrad" pro Mode, also die Anzahl der Beträge 1/2kT zur Energie und Greiner bezieht sich auf den "Modenfreiheitsgrad", also die Anzahl unabhängiger Eigenschwingungen.
Viele Grüße,
Nils
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OkTennis
Anmeldungsdatum: 29.04.2024
Beiträge: 45
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| OkTennis Verfasst am: 09. Jun 2025 19:22 Titel: |
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Fuer eine Hamiltonfunktion der Form
 \qquad (1))
folgt fuer die mittlere Energie
wobei f die Anzahl der quadratischen Terme in der Hamiltonfunktion sind.
Meine Frage ist nun wie die Hamiltonfunktion fuer unser System, also den Eigenmoden des Hohlraums, lautet? Die Energiedichte des EM-Felds einer Eigenmode ist ja
Ich erkenne aber nicht wirklich eine Analogie zu Gl. 1
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 09. Jun 2025 19:56 Titel: |
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| OkTennis hat Folgendes geschrieben: | | Ich erkenne aber nicht wirklich eine Analogie zu Gl. 1 |
Dann schreib das mittels einer Summe über die Quadrate der Komponenten der Feldstärkevektoren und diese wiederum als Fourier-Reihe.
Und lass' dich nicht durch die Einheiten und die daraus folgenden Konstanten epsilon_0 und my_0 irritieren. Letztere kannst du in die Definition der E- und B-Felder absorbieren.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2143
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 09. Jun 2025 20:07 Titel: |
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Die klassische Hamiltonfunktion pro Modenkombination ) lautet:
 = \frac{1}{2} p_{\vec{k},\lambda}^2 + \frac{1}{2} \omega_{\vec{k}}^2 q_{\vec{k},\lambda}^2)
Dabei ist:
 : diskreter Wellenvektor (bedingt durch Randbedingungen im Hohlraum)
 : zwei Polarisationen pro
 : Modenkoordinate (analog zur Auslenkung eines Oszillators)
 : konjugierter Impuls (formal, nicht elektromagnetisch gemeint!)
 : Kreisfrequenz des Modus
Daher ergibt sich im thermischen Gleichgewicht je Modus eine mittlere Energie von 2 * 1/2kT = kT – wegen der zwei thermodynamischen Freiheitsgrade pro Modus.
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 1116
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| Qubit Verfasst am: 09. Jun 2025 22:54 Titel: |
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| OkTennis hat Folgendes geschrieben: |
Meine Frage ist nun wie die Hamiltonfunktion fuer unser System, also den Eigenmoden des Hohlraums, lautet? Die Energiedichte des EM-Felds einer Eigenmode ist ja
Ich erkenne aber nicht wirklich eine Analogie zu Gl. 1 |
Um nochmal an die schöne Erklärung von Nils anzuschliessen, wie ich es dann formulieren würde:
Mittlere Energie je Mode (Eigenschwingung)..
mechanische Schwingung:
elektromagnetische Schwingung:
Da die Strahlung im Hohlraum insgesamt unpolarisiert ist, müssen zum Abzählen zu jeder Mode aber zwei Polarisationsrichtungen berücksichtigt werden.
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