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Nachricht |
solver111
Gast
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 solver111 Verfasst am: 07. Jan 2025 14:36 Titel: Unitäre Transformationsmatrix |
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Meine Frage:
Gesucht ist eine unitäre Transformation zwischen Majorana und Dirac-Darstellung der  -Matrizen gemäß: 
Meine Ideen:
Idee. Vielleicht einfach Matrizen einsetzen in Dirac und Majorana-Darstellung |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 07. Jan 2025 19:53 Titel: |
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Meist sind das Blockmatrizen, mit der Einheitsmatrix im Block und irgendwelchen Paulimatrizen. Einfach mal ausprobieren und gucken was passiert. Man lernt hier guten Umgang mit Paulimatrizen und ihren Eigenschaften. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 07. Jan 2025 22:14 Titel: |
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Majorana und Dirac-Darstellung sowie allgemeine Form einer unitären Matrix einsetzen und das LGS für die Komponenten von U lösen würde ich vorschlagen.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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solver111
Gast
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| solver111 Verfasst am: 08. Jan 2025 07:02 Titel: |
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Habt ihr einen Tipp für einen Ansatz, nehme ich eine bestimmte Majorana/ Dirac Darstellung gamma^0 oder wie gehe ich am besten vor? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2025 08:08 Titel: |
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Schau dir das erst mal für Darstellungen der Pauli-Matrizen an.
Jede SU(2)-Transformation kann dargestellt werden als
 = a_0 \, 1 + i \, a_i \, \sigma_i )
wobei 1 für die Einheitsmatrix steht, und die reellen Koeffizienten außerdem die Bedingung
^2 + (a_i)^2 = 1)
erfüllen müssen.
Diese Darstellung verteilt die Koeffizienten "geschickt" auf die 4 Matrixelemente.
Genauso konstruiert man die SU(4), wobei man sich diese als 2*2 Matrix denkt, deren Einträge jeweils 2*2 Matrizen sind, die aus 0, 1 und Pauli-Matrizen ggf. mit Vorzeichen bestehen. Weitere numerische Faktoren sind meiner Erinnerung nach nicht notwendig. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 08. Jan 2025 10:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Jede SU(2)-Transformation kann dargestellt werden als
wobei 1 für die Einheitsmatrix steht... |
Das gilt doch nur für die Elemente der Lie-Algebra von SU(2) aber nicht für die Elemente von SU(2) selbst.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2025 11:06 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Das gilt doch nur für die Elemente der Lie-Algebra von SU(2) aber nicht für die Elemente von SU(2) selbst. |
Doch, speziell für die SU(2) gilt das.
Zunächst zeigt man für ein beliebiges Element der Fundamentaldarstellung *
 = \exp[i\theta n_i \sigma_i] = \cos\theta \, 1 + i \, n_i \, \sigma_i \, \sin\theta)
mittels Taylorentwicklung und Eigenschaften ** der Pauli-Matrizen, wobei n ein Einheitsvektor und theta ein beliebiger Winkel ist.
Dann identifiziert man
und berechnet
Also ist
 = U(a_i))
* implizite Summe über doppelte Indizes
** die nur für die SU(2) gelten, nicht für Generatoren der SU(N) mit N > 2; das wäre zu schön |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2025 11:25 Titel: |
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Für SU(N) gilt
 = \exp[i \, \theta_i \, \lambda_i], \qquad i = 1 \ldots N^2-1)
für beliebige reelle Koeffizienten theta_i.
Außerdem gilt sicher
 = a_0 \, 1 + a_i \, \lambda_i)
für geeignete reelle Koeffizienten a_i.
M.W.n. gilt dabei auch
wobei der Beweis für N > 2 wegen
komplizierter wird, denn nur für N = 2 gilt
Was für N > 2 nicht funktioniert ist die einfache Beziehung zwischen theta_i und a_i. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 499
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| Corbi Verfasst am: 08. Jan 2025 11:25 Titel: |
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Ah verstehe. Was mich zunächst verwundert hat ist, dass die Darstellung
ja bedeuten würde, dass SU(2) ein Vektorraum wäre, was nicht der Fall ist.
Das wird aber durch die zusätzlich Einschränkung
wieder aufgelöst.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 08. Jan 2025 11:27 Titel: |
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👍
So ist das.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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