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Jojo123
Gast
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 Jojo123 Verfasst am: 06. Jul 2024 13:51 Titel: Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons |
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Meine Frage:
Hallo, anlehnend an das Thema zum zustande kommen der makroskopischen Eigenschaften der Materie, hier eine Frage, die in etwa auch in die Richtung geht: die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron, beispielsweise ib einem Atom, ist ja für die Orbitale sehr groß und fällt dann asymptotisch ab. Allerdings wird diese nie Null.
Meine Frage lautet:
Wie bestimme ich die empirisch? Für Werte im Bereich der Orbitale ist die Sache ja unkritisch, aber weit weit davon entfernt?
Es hat ja noch niemand ein Elektron 100 km entfernt vom Kern lokalisiert...
Meine Ideen:
Ich freue mich über brauchbare Antworten!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 06. Jul 2024 14:23 Titel: Re: Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons |
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| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo, anlehnend an das Thema zum zustande kommen der makroskopischen Eigenschaften der Materie, hier eine Frage, die in etwa auch in die Richtung geht: die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron, beispielsweise ib einem Atom, ist ja für die Orbitale sehr groß und fällt dann asymptotisch ab. Allerdings wird diese nie Null.
Meine Frage lautet:
Wie bestimme ich die empirisch? Für Werte im Bereich der Orbitale ist die Sache ja unkritisch, aber weit weit davon entfernt?
Es hat ja noch niemand ein Elektron 100 km entfernt vom Kern lokalisiert...
Meine Ideen:
Ich freue mich über brauchbare Antworten! |
Es hat m.W.n. auch noch niemand ein Elektron nahe am Kern lokalisiert.
Eine direkte Beobachtung des Elektrons nahe am Kern halte ich für ausgeschlossen. Eine indirekte Beobachtung wäre über Elektron-Elektron oder Elektron-Photon-, d.h. Compton-Streuung möglich. In den üblichen Berechnungen betrachtet man immer die Streuung an "punktförmigen" Elektronen. Hier müsste man nun einen korrigierten Vertex betrachten, in dem die elektromagnetischen Formfaktoren der Elektronenverteilung im Atom eingehen; diese Formfaktoren entsprechen im wesentlichen der Fourier-Transformierten der Ladungs- und Stromverteilung des Elektrons im Atom.
D.h. man müsste die Streuung eines Elektrons oder Photon am Elektron im Atom "minus" der Streuung am Atomkern berechnen. Die Streuung am Kern alleine wird exakt so berechnet, und aus den experimentellen Daten die Formfaktoren des Kerns extrahiert. Ich müsste mal schauen, ob es sowas für die Atomhülle berechnet wird.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 06. Jul 2024 14:35, insgesamt einmal bearbeitet |
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Jojo123
Gast
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| Jojo123 Verfasst am: 06. Jul 2024 14:34 Titel: |
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Wie kommt denn dann aber die Wahrscheinlichkeitsdichte zustande? Also in den Bereichen, wo man praktisch nie ein Elektron antreffen wird.
Es interessiert mich ernsthaft....
Und noch was anderes: je weiter man sich vom Kern entfernt, desto geringer wird ja die Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Somit konvergiert diese ja im unendlichen gegen Null.
Heißt das nun, dass diese im unendlichen auch wirklich null ist? Also nur rein mathematisch betrachtet. Denn die Null wird doch als reale Zahl als Grenzwert definiert, oder? (rein mathematische Frage).
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 06. Jul 2024 14:35 Titel: |
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Ich habe meinen Beitrag ergänzt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jojo123
Gast
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| Jojo123 Verfasst am: 06. Jul 2024 14:44 Titel: |
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Ok danke!
Muss auch zugeben, daß meine Frage etwas ungewöhnlich erscheint. Aber ich dachte, einfach mal nachhaken bei den Experten.
Was ist von meiner mathematischen Frage zu halten?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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Jojo123
Gast
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| Jojo123 Verfasst am: 10. Jul 2024 06:55 Titel: |
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Ich beziehe mich mal auf den Wikipedia Artikel: wikipedia.org/wiki/Atomorbital
Dort steht:"Das quantenmechanische Atomorbital erstreckt sich für gebundene Elektronen vom Atomkern im Zentrum nach außen bis ins Unendliche, wobei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb weniger 0,1 nm typischerweise sehr klein ist und für größeren Abstand asymptotisch weiter gegen null geht. Der wahrscheinlichste Abstand vom Atomkern ist für das innerste Orbital gleich dem Radius der 1. bohrschen Kreisbahn."
Hier frage ich mich, wie soll man empirisch die Aufenthaltswahrscheimlichkeit im unendlichen bestimmen? Oder wird da extrapoliert?
Und wenn diese im unendlichen gegen Null konvergiert, ist diese dann auch wirklich exakt Null?
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 169
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| Jakito Verfasst am: 10. Jul 2024 09:42 Titel: |
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| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | | Hier frage ich mich, wie soll man empirisch die Aufenthaltswahrscheimlichkeit im unendlichen bestimmen? Oder wird da extrapoliert? |
Im unendlichen ist sie ja eh Null, da kann man nicht mehr viel "bestimmen", maximal "überprüfen".
Solche "Überprüfungen" von ganz seltenen Ereignissen werden vor allem dann experimentell durchgeführt, wenn sie es erlauben zwischen unterschiedlichen Theorien zu unterscheiden.
So sagt die minimale SU(5)-Theorie eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit für Protonenzerfall vorher, wohingegen die Wahrscheinlichkeit im Standardmodel als exakt Null vorhergesagt wird.
Ähnlich kleine Unterschiede in vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten gibt es auch bei Objective-collapse Theorien, und auch da wurden und werden experimentelle "Überprüfungen" durchgeführt.
| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | | Und wenn diese im unendlichen gegen Null konvergiert, ist diese dann auch wirklich exakt Null? |
Ob eine Wahrscheinlichkeit exakt Null ist, oder nur beliebig klein, kann man experimentell nicht überprüfen. Erst wenn es verschiedene Theorien gibt, wo manche exakt Null vorhersagen, und andere eine zwar sehr kleine, aber quantifizierbar von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit, kann man Experimente entwerfen, die "Überprüfen", ob eine der zwei Theorien vom Experiment widerlegt zu werden scheint.
Wenn es Dir jetzt vor allem um die Überprüfung der Orbitale geht, dann kann man die Überprüfung auch auf Ebene der Amplituden durchführen. Dadurch bekommt man oft einen "quadratischen" Gewinn an Genauigkeit, was die tatsächliche Durchführung der Experimente vereinfachen kann, bzw. zu "eindeutigeren"/"unstritigeren" Resultaten führen kann.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 10. Jul 2024 11:34 Titel: |
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| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | | Ich beziehe mich mal auf den Wikipedia Artikel: wikipedia.org/wiki/Atomorbital |
Ein Orbital ist nur die Veranschaulichung einer Wellenfunktion.
| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | | Hier frage ich mich, wie soll man empirisch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im unendlichen bestimmen? Oder wird da extrapoliert? |
Ich hatte oben schon geschrieben
| Zitat: | | Eine direkte Beobachtung des Elektrons nahe am Kern halte ich für ausgeschlossen. Eine indirekte Beobachtung wäre über Elektron-Elektron oder Elektron-Photon-, d.h. Compton-Streuung möglich. |
Wenn eine direkte Beobachtung nahe am Kern nicht möglich ist, wie soll denn dann eine direkte Beobachtung im Unendlichen möglich sein??
Man kann nur eine indirekte Beobachtung durchführen, und dabei wird mit idealisieren und extrapolieren.
Das läuft - ich habe das mit Kollegen besprochen - auf
| Zitat: | | ... einen korrigierten Vertex [hinaus], in den die elektromagnetischen Formfaktoren der Elektronenverteilung im Atom eingehen ... diese Formfaktoren entsprechen im wesentlichen der Fourier-Transformierten der Ladungs- und Stromverteilung des Elektrons im Atom [die aus der Wellenfunktion berechnet wird] |
… hinaus.
D.h. die Wellenfunktion ist eine theoretisch berechnete Größe, ein Teil eines mathematischen Modells; aus diesem Modell kann man detaillierte Vorhersagen zu experimentell beobachtbaren Größen ableiten; und umgekehrt kann man aus diesen beobachtbaren Größen unter Verwendung des mathematischen Modells die Wellenfunktion rekonstruieren.
Beides liefert übereinstimmend das Ergebnis, dass die Wellenfunktionen als rein mathematisches Gebilde asymptotisch ~ exp(-r/a) abfällt - was nicht bedeutet, dass man das direkt für sehr große oder gar unendliche Abstände gemessen hätte.
Frage: weißt du, was eine Fourier-Transformation ist?
Ich würde das, was ich gerade erklärt habe, gerne in einfache Formeln packen, die du verstehst.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 10. Jul 2024 14:33 Titel: |
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Ich erkläre das ganze jetzt mal schematisch.
1) Gegeben sei eine Wellenfunktion 𝜓, die ein quantenmechanisches Modell der Elektronenhülle eines Atoms darstellt.
Daraus folgt für ein konkretes Streuexperiment - also z.B. Elektron | Photon | ... streut an der Elektronenhülle eines Atoms - ein Streuquerschnitt σ, also wie viele Elektronen | Photonen ... welcher Energie E streuen in welchen Winkel Ω, d.h. man berechnet
)
2) Diesen Streuquerschnitt kannst du in Experimenten auch messen und daraus rückwärts die Wellenfunktion berechnen, d.h.
))
(F steht dabei für einen Fit an die Daten; dabei verliert man ein paar Informationen, deswegen ~, aber das ist hier nicht so relevant)
Stimmen die theoretisch berechnete und die aus den Experimenten extrahierte Wellenfunktion im Rahmen der experimentellen und systematischen Fehler überein, so hat man ein (im Rahmen dieser Fehler) zutreffendes Modell für die Atomhülle gefunden.
Für die Wellenfunktionen gilt dabei für große Abstände r
 \sim e^{-r/a})
für eine typische Länge a.
Wichtig ist, dass dabei nie ein Elektron im Atom direkt gemessen wird, egal wo, sondern nur die am Atom gestreuten Elektronen | Photonen ... in Detektoren je Winkel Ω mit einer gewissen Energie E gemessen und gezählt werden.
Sowohl bei (1) als auch bei (2) geht ein, was ich oben geschrieben habe, nämlich dass die elektromagnetischen Formfaktoren der Elektronenverteilung im Atom im wesentlichen der Fourier-Transformierten der Ladungs- und Stromverteilung des Elektrons im Atom entsprechen; das habe ich hier noch nicht betrachtet.
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Jojo123
Gast
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| Jojo123 Verfasst am: 10. Jul 2024 20:02 Titel: |
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@TomS: Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen. Ich werde mir gleich nochmal alles in Ruhe durchlesen und ggf Fragen verfassen.
@Jakito: was ich mich noch frage, ist, wie man solch irwitzig geringe Wahrscheinlichkeiten überprüfen möchte. Da muss man ja im Zweifelsfall länger testen, als die Menschheit alt ist.
Um was es mir bei der Wahrscheinlichkeit Null ging, war auch eher mathematischer Natur. Ich hatte mal gelesen, dass reelle Zahlen über Grenzwerte definiert werden. Weshalb 3,9 Periode =4 ist. So sollte deshalb ein Limes, der gegen Null geht, gleich Null sein, also exakt Null. Ist verständlich was ich meine?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 169
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| Jakito Verfasst am: 11. Jul 2024 10:30 Titel: |
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| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | | @Jakito: was ich mich noch frage, ist, wie man solch irwitzig geringe Wahrscheinlichkeiten überprüfen möchte. Da muss man ja im Zweifelsfall länger testen, als die Menschheit alt ist. |
Selbst 50 Jahre wären wohl zuviel, für ein Experiment. Nachdem man weiß, was man überprüfen will, kann man sich überlegen, wie man es anstellen könnte. Wenn dabei trotz großem Aufwand eine Zeit deutlich > 20 Jahre rauskommt, dann braucht man schon sehr gute Ausreden, um es trotzdem zu machen. Wenn man 1968 als den Startpunkt des experimentellen "gravitational wave detection" Projekts betrachtet, dann lag es bei deutlich > 20 Jahren, und alle Beteiligten wussten dies im vorhinein. Aber es ist die Ausnahme, und es hätte leicht auch misslingen können.
(Edit: Aha, der Tick war, dass 1974 Gravitationswellen indirekt beobachtet worden waren, deshalb wusste man, dass es funktionieren würde: "Einen indirekten Hinweis auf die Existenz dieser Wellen gibt es durch den im Jahre 1974 durch Russell Hulse entdeckten Doppelpulsar PSR J1915+1606. Die Variationen in der Umlaufbahn dieses Doppelsystems stimmen mit den Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie zur Abstrahlung von Gravitationswellen überein. Für diese Entdeckung erhielt Russell Hulse im Jahre 1993 den Nobelpreis für Physik.")
| Jojo123 hat Folgendes geschrieben: | | Um was es mir bei der Wahrscheinlichkeit Null ging, war auch eher mathematischer Natur. Ich hatte mal gelesen, dass reelle Zahlen über Grenzwerte definiert werden. Weshalb 3,9 Periode =4 ist. So sollte deshalb ein Limes, der gegen Null geht, gleich Null sein, also exakt Null. Ist verständlich was ich meine? |
Genau, der Limes ist exakt Null, im Unendlichen.
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