Determinante in der Strahlenoptik

Syntax · Anmeldungsdatum: 09.12.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hey Leute,
Ich habe gelesen, dass bei Berechnung der Ausbreitung von paraxialen Strahlen mittels Matrizen gilt, dass die Determinante immer 1 ist.
Leider wurde der Grund nicht genauer erläutert.
Über eine Erläuterung würde ich mich freuen :)

Vielen Dank im Voraus

Syntax

Meine Ideen:
Einen eigenen Ansatz habe ich leider noch nicht :/

krayziebone · Anmeldungsdatum: 08.01.2025 Beiträge: 1

Hallo Syntax,

Das ist eine interessante Frage, wobei diese in keinem Buch wirklich beantwortet wird, aber:

Betrachtet man was mit einer Abbildungsmatrix multipliziert wird, ist es der Abstand zur optischen Achse
und
die Richtung multipliziert mit dem Brechungsindex
eines Strahls.

Das sind aber gerade die Koordinaten des Strahls in seinem Phasenraum. Und mit Phasenraum ist der abstrakte Raum in dem ein Strahl einen Zustand haben kann. Damit ist nicht der Raum gemeint in dem wir leben smile

.

Nun wird über die Matrix, ein Zustand eines Strahls in einen anderen Zustand transformiert. Es kommt ein anderer Abstand zur optischen achse heraus und ein anderer Winkel.

Damit wirkt die Abbildungsmatrix wie eine Jacobimatrix. Die Jacobinmatrix Transformiert also Koordinaten in andere Koordinaten.

Wie ist nun die Determinante 1 zu verstehen?:
Man nehme ein Bündel an Strahlen die einen bestimmten Bereich im Phasenraum_Input aufspannen, ist hier in dem Fall eine Fläche aus x=Abstand zur Optischen Achse und n*theta = Richtung des Strahls. Diese Strahlen transformiert man über die Abbildungsmatrix in andere Strahlen. Und diese anderen Strahlen Spannen wieder einen Bereich im Phasenraum_Output auf.

Wenn die Transformationsmatrix=Abbildungsmatrix die Determinante = 1 hat, bedeutet das, dass die Flächeninhalte im Phasenraum_input und Phasenraum_Output gleich sind. ACHTUNG: Die Form muss nicht gleich sein, nur der Inhalt.!!! (Man Beachte auch dass die Determinante das Kreuzprodukt von 2 Vektoren ist, was gleichzeitig eben der Flächeninhalt ist den die Vektoren aufspannen.)

Das bedeutet, dass das Licht welches einen Phasenraum aufspannt, nicht in einen kleineren Phasenraum zusammegepresst werden kann.
Der Phasenraum bleibt erhalten.
Das Etendue=Phasenraum bleibt erhalten.
Eine Leuchtdichte = Leistung/Phasenraum bleibt erhalten.

Das gleiche gibt es für Ausgedehnte Lichtquellen, wobei der Phasenraum 4dimensional ist.

Beste Grüße

KB