FAQ - invariante Messgrößen, Beobachter, Bezugsysteme

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Im Folgenden möchte ich kurz erklären, in wie weit Messgrößen bezogen auf einen Beobachter zwar Beobachter-abhängig jedoch Bezugsystem-unabhängig sind. Dazu betrachte ich koordinatenfreie Bezugsysteme, d.h. ich vermeide die Einführung von kartesischen Koordinaten, Polarkoordinaten o.ä.

Betrachten wir beispielsweise einen kräftefreien Körper, dessen Bahnkurve mittels der Gerade

beschrieben wird (r, v sind Vektoren). r_0 bezeichnet der Ort, an dem der Körper zu dem Zeitpunkt befand, als alle Beteiligten ihre Stoppuhren genullt hatten.

Nun betrachten wir den selben Körper bzgl. eines Beobachters mit Bahnkurve

und berechnen die kinetische Energie des Körpers bzgl. r_0 sowie bzgl. R(t)

Natürlich ändert diese Betrachtung nichts Reales am Körper selbst, es handelt sich einfach um zwei verschiedenen Messgrößen E und E-bar, bezogen auf das jeweilige Ruhesystem. Der Beobachter mit R(t) kann die bzgl. seiner selbst definierten kinetischen Energie E-bar des anderen Körpers r(t) messen.

Diese beiden Messgrößen E und E-bar kann aber nun jeder berechnen, also auch weitere hypothetische Beobachter i=1,2… mit ihren jeweiligen Ruhesystemen

Bezogen auf diese hypothetischen Beobachter bewegen sich der Körper und der erste Beobachter gemäß

Nun berechnen wir aus der Sichten der i=1,2… wie sich der Körper mit r(t) bzgl. des Beobachters mit R(t) bewegt:

Die Abhängigkeit von i=1,2… fällt heraus. Alle hypothetischen Beobachter i=1,2… stimmen also darin überein, wie sich die beiden relativ zueinander bewegen, unabhängig davon, wie sich die i=1,2… bewegen. Daher stimmen die i=1,2… auch bzgl. der beiden Messgrößen E und E-bar überein. E-bar ist die Messgröße, die der oben eingeführte Beobachter dem Körper zuschreibt, und diese Messgröße ist bzgl. aller Bezugsystem i=1,2… identisch.

Wir unterscheiden also
1) reale Beobachter, die bzgl. sich selbst eine Messgröße definieren, das o.g. E-bar bzgl. R(t)
2) hypothetische Beobachter, die den selben Vorgang in einem anderen Bezugsystem beschreiben, d.h. die o.g. i=1,2…, und die für diese Messgröße E-bar zu identischen Aussagen gelangen (natürlich würden sie bzgl. sich selbst anderen Energien einführen, aber das ist eben nicht die Energie, die R(t) misst).

Ich führe abschließend folgende Definition ein:

Wir betrachten den Körper mit r(t) und dessen kinetische Energie bzgl. eines Beobachters mit R(t), aus Sicht der Bezugsysteme i=1,2…:

Die Abhängigkeit der Messgrößen vom jeweiligen realen Beobachter im Sinne von (1) steckt in der Abhängigkeit von R. Die Unabhängigkeit dieser Messgrößen von weiteren Bezugsystemen i=1,2… im Sinne von (2) steckt in der Tatsache, dass das Ergebnis unabhängig von den i=1,2.. ist; wir müssen mit diesen unendlich vielen möglichen Bezugsystemen keine realen Beobachter assoziieren.