Verallgemeinerung von Newtonscher zur Wärmeleitung

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Für das Newtonsche Abkühlungsgesetzes mit

(T: Temperatur, h: Wärmeübergangskoeffizient, A: Oberfläche, C: Wärmekapazität, P: Heizleistung)

kann man die Frage nach einer optimalen Heizstrategie stellen: ausgehend von einer bekannten Anfangstemperatur soll mit minimalem Energieaufwand zu einem bestimmten Zielzeitpunkt eine bestimmte Zieltemperatur erreicht werden. Äquivalent kann man bei vorgegebenem Energieaufwand nach der maximal erreichbaren Zieltemperatur fragen.

Dazu betrachtet man die mittlere Leistung sowie die Schwankung um die mittlere Leistung

Einsetzen in die Lösung der Differentialgleichung liefert für gegebene Gesamtenergie den zu optimierenden Term

Aufgrund der Gewichtung im Integral wird dieses durch möglichst spätes Heizen optimiert, d.h. bei einer maximal möglichen Heizleistung durch

Das selbe Ergebnis gilt auch für die Verallgemeinerung eines zeitabhängiges Wärmeübergangskoeffizienten und die Ersetzung aller Exponentialfunktionen

in der o.g. Lösung.

Frage:

Lässt sich diese Fragestellungen auch für die Wärmeleitungsgleichung für homogene bzw. inhomogene Medien verallgemeinern, z.B. für eine mittlere Temperatur in einem bestimmten Volumen, und ist ein ähnliches Ergebnis wie möglichst spätes Heizen bekannt? Umgekehrt, für welche Phänomene gilt dieses Ergebnis nicht? Kennt jemand dazu Literatur?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Ich nenne mal eine konkrete

Vermutung:

Gegeben sei die Wärmeleitungsgleichung in n Dimensionen

mit einem Term f(x,t) als Wärmequelle, der genau für

nicht verschwindet, und für den die Bedingung

erfüllt ist.

Zu zeigen ist, dass

durch die Strategie des möglichst späten Heizens maximiert wird.

Prinzipiell interessiert mich der allgemeine Fall inhomogener und anisotroper Medien, d.h.

für positives a und eine positiv definite, symmetrische Matrix A, wobei beide Funktionen von Ort und Zeit sein können.