Funktion erstellen um Messwerte anzunähern

Masterchriss · Anmeldungsdatum: 27.12.2004 Beiträge: 95 Wohnort: Köln

Hallo zusammen, hab ein paar Versuche durchgeführt und soll das Ergebnis nun mit der Metode der kleinsten Quadrate auswerten. Eigentlich hat das auch alles ganz gut geklappt. Allerdings hatte ich die funktion dafür aus einem älteren Versuch genommen. Gefällt mir allerdings nicht so gut sowas einfach abzuschreiben. Wie kann man so eine Funktion anhand solcher Messwerte aufstellen? Was für ein Mathematisches Verfahren gibt es dafür?

Wäre super wenn mir da einer nen tip geben könnte.

Gruß Chris

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Bei der Methode der kleinsten Fehlerquadrate sucht man die Kurve bzw. Gerade an die Messpunkte, für die die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen Messwerten und Funktionswerten der Kurve bzw. Gerade minimal wird.

Wie so etwas konkret für ein Beispiel funktioniert, in dem man eine Gerade haben möchte, siehst du zum Beispiel hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate#Beispiel_f.C3.BCr_ein_einfaches_lineares_Modell_y_.3D_x0_.2B_x1t

Und wenn dich die englischen Worte drumherum auf folgendem Link nicht stören, dann findest du z.B. dort:

http://www.efunda.com/math/leastsquares/leastsquares.cfm

und konkret für eine Gerade vor allem dort:

http://www.efunda.com/math/leastsquares/lstsqr1dcurve.cfm

eine schöne Herleitung der benötigten Formeln.

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Dabei siehst du: Das mathematische Verfahren, um diese Gleichungen aufzustellen, mit denen du die Parameter (hier a und b) bestimmen kannst, für die die Funktion f (das ist die oben angesprochene Summe der Quadrate der Differenzen von Messwerten und Kurven-Werten) minimal wird, kennst du aus dem Matheunterricht:

Die erste Ableitung von f nach a muss Null sein, damit die notwendige Bedingung für ein Minimum erfüllt ist.

Ebenso die erste Ableitung von f nach b.

Und damit hast du für den Fall der Gerade zwei Gleichungen für die zwei gesuchten Parameter a und b, damit kannst du a und b berechnen.