Greensche Funktion in einer Dimension

Gogoman96x · Anmeldungsdatum: 25.09.2018 Beiträge: 32 Wohnort: Gießen

Hallo,
ich hänge gerade an der folgenden Aufgabe fest. Ich weiß nicht genau wie ich die Eigenschaften zur Bestimmung der Integrationskonstanten nutzen kann.
Aufgabe:
Berechnen Sie die Green'sche Funktion

des Laplace-Operators

in einer Dimension:

Betrachten Sie zunächst diese Gleichung seperat für

und

, wo sie leicht gelöst werden kann.
Die Funktion

hat folgende Eigenschaften, mit der Sie zum Teil Integrationskonstanten festlegen können:

nur vom Abstand abhängig:

symmetrisch:

überall stetig, insbesondere bei

Eine weite Bedingung erhalten Sie durch Integration von Gleichung (1) im Intervall

Mein Ansatz bis jetzt:
für

gilt :

Gruß
Gogo

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich bin mir da nicht sicher, aber ich mach mal einen Vorschlag, der auch Blödsinn sein kann - sorry, falls das der Fall sein sollte

meine Idee: Wenn ich

betrachte, dann muss wegen der angenommenen Symmetrie (die für mich vom Himmel fällt und sich nicht selbstverständlich aus dem Kontext ergibt) schon mal gelten

Wenn ich nun verlange, dass

dann müsste aufgrund der bekannten Eigenschaft

folgen:

und daher:

Jetzt habe ich aber noch einen Freiheitsgrad d übrig - und das stört mich irgendwie...

Andererseits wird nichts über eine Randbedingung ausgesagt (normalerweise kenne ich das nur mit vorgegebener Dirichlet-Randbedingung). Vielleicht ergibt sich erst unter Einbeziehung einer solchen ein konkreter Wert von d? Irgendwie komisch - kann aber auch sein, dass das alles totaler Quatsch ist, da ich bloß aus dem Bauch argumentiere Hammer

Ich denke, dass es hier weitaus bessere Leute gibt (TomS, ...?), vielleicht haben die eine Idee? Gott

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Aus meiner Sicht passt alles ;-)

Die Integrationskonstante folgt aus der Randbedingungen. Berücksichtigt man, dass die Greensche Funktion dem elektrischen Potential einer Punktladung entspricht, so ist die Wahl d = 0 naheliegend.

Dass die Greensche Funktion nur von der Differenz der Argumente abhängt, folgt unter der Annahme von Translationsinvarianz.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Muss zugeben, dass mir das zu billig vorkam. Ich hätte nämlich zuerst vermutet, dass G(x-x') für x=x irgendwie divergieren müsse, so wie das ja bei drei Dimensionen der Fall ist. Trotzdem interessant, dass man sowas zeigen kann, ohne tief in die Mathematik einzusteigen. smile

Mit d=0 erzwinge ich, dass die Lösung im Unendlichen quasi verschwindet- richtig?

Gogoman96x · Anmeldungsdatum: 25.09.2018 Beiträge: 32 Wohnort: Gießen

Hammer. Vielen Dank!
Jetzt weiß ich auch wo mein Denkfehler war.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Nee, in einer Dimensionen divergiert G nicht; in zwei Dimensionen logarithmisch und ab D=3 mit (D-2). Folgt übrigens mittels Fouriertransformation, da im k-Raum immer 1/k^2 vorliegt, unabhängig von D.