Was bringen Normalkoordinaten?

RolfSeeberger · Anmeldungsdatum: 05.08.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zu gekoppelten harmonischen Oszillatoren. Wenn ich ein System von gekoppelten Oszillatoren habe kann ich die Bewegungsgleichung ja i.d.R. mit den Matrizen M und K schreiben als:

.
Jetzt mache ich den Ansatz

setzte das ein und kann mit der Gleichung

die Eigenwerte

und die Eigenvektoren

bestimmen. Jetzt kann ich die allgemeine Lösung einfach als Linearkombination schreiben

mit Konstanten A und Phi die ich aus den Anfangsbedingungen bestimmen kann. In meinem Skript ist als nächstes die Transformation zu Normalkoordinaten erklärt, aber ich verstehe nicht wofür ich die brauchen soll, wenn ich doch so schon die allgemeine Lösung gefunden habe. Zudem muss man für die Transformation die Eigenvektoren erst normieren was zusätzliche Arbeit ist und doch eigentlich auch unnötig, wenn ich die Normierungsfaktoren einfach in die konstanten A_k aufnehme und durch die Anfangsbedingungen bestimme. Kann jemand erklären wofür die Normalkoordinaten nützlich sind?

Meine Ideen:
Ich weiß das die Normalkoordinaten die Bewegungsgleichungen entkoppeln sollen aber sind sie das durch den Ansatz oben nicht auch schon?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Willkommen im Forum RolfSeeberger!

Neben unmittelbarem Nutzen, beispielsweise um das Problem erzwungener Schwingungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden auf eindimensionale Schwingungen zurückzuführen oder bei Molekülschwingungen dürfte es generell zweckmäßig sein, die Grundschwingungen eines Systems zu kennen (vielleicht wie in der Musik?), was dann auch eine Rolle in der Statistik, Festkörperphysik (Phononen) und Quantenmechanik (Eigenwerte) spielt.

Ansonsten würde ich beim Schwimmenlernen nicht als erstes nach dem Sinn bestimmter Abläufe fragen, sondern bei Interesse als Schwimmer darauf zurückkommen.