Klassische Theorie L=n*h/2pi falsch?

KarlKaczynski · Anmeldungsdatum: 25.06.2017 Beiträge: 24

Hallo,

laut der Schrödinger-Gleichung in einem Zentralpotential gilt ja:

Nun lese ich dass die ältere Quantentheorie (Bohr'sches Atommodell, etc.) sagt, dass gilt:

und zudem, dass dieser Zusammenhang damals experimentell bestätigt wurde. Wie kann das sein? Gehe ich richtig in der Annahme, dass die obere Gleichung stimmt und die untere nicht, man damals nur nicht so genau messen konnte, da für große l gilt:

Ich danke euch vielmals für eine Erklärung!

Pyrrhon von Elis · Anmeldungsdatum: 04.07.2018 Beiträge: 4

Niels Bohr hat damals (1913) im Rahmen seines Atommodells vier Postulate aufgestellt, die ihm dabei halfen, die experimentellen Beobachtungen der Spektrallinien des Wasserstoff-Atoms zu erklären. Er nahm u.a. an, dass sich Elektronen auf Kreisbahnen um den Atomkern bewegen und dass der Drehimpuls der Elektronen quantisiert ist, d.h. nur ganzzahlige Vielfache des Planck'schen Wirkungsquantums annehmen kann:

, n = 1, 2, 3,...
Diese beiden Postulate haben sich später aber als falsch herausgestellt. Es stimmt nicht, dass die Bohrsche Drehimpulsformel durch die experimentellen Beobachtungen bestätigt wurde, sondern eher, dass diese Postulate lediglich eine mögliche Erklärung der Experimente gaben. Die Kreisbahnen widersprechen der Heisenberg'schen Unschärferelation und die Formel für den Drehimpuls reicht nicht mehr aus, um andere experimentelle Beobachtungen zu erklären, wie z.B. den Zeeman-Effekt.
In der Quantenmechanik (QM) setzt sich der Drehimpuls aus dem Orts- und Impulsoperator zusammen. Er ist also selbst ein Operator, dessen Eigenfunktionen die Kugelflächenfunktionen sind (siehe Schrödinger-Gleichung (SGL) für Zentralpotentiale). Wendet man ihn also auf diese Funktionen an, so folgt für die Eigenwerte:

und

, wobei l = 0, 1, 2, ..., n-1 (Drehimpulsquantenzahl) und -l<m<+l (magnetische Quantenzahl). Die z-Komponente

des Drehimpulses ist also quantisiert. Man spricht auch von Richtungsquantisierung, da der Winkel

zwischen dem Drehimpulsvektor

und der z-Achse nur diskrete Werte

annehmen kann.
Dies folgt aus:

Folgende Abbildung ist hierfür sehr hilfreich: >>https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT7i-Iuq5RVl4BZXzq8Bgv3-9F1HJJCDkkOJlW5DZS1fpTv5bfX7w<<
Du schreibst:

Gehe ich richtig in der Annahme, dass die obere Gleichung stimmt und die untere nicht, man damals nur nicht so genau messen konnte, da für große l gilt:

Man hat hier aber zwei völlig verschiedene Quantisierungsbedingungen. Mit der Messgenauigkeit hat das nichts zu tun. Der Drehimpulsoperator hat in der QM eine ganz andere Quantisierung. Drehimpulsquantenzahl l und Hauptquantenzahl n sind nicht dasselbe, auch wenn l von n abhängt.
Die Gleichung, die du angegeben hast, kann auch nicht stimmen. Es müssten schon sehr große Werte für l angenommen werden, d.h aber auch, dass die Hauptquantenzahl sehr groß sein muss, da l = 0, 1, 2, ..., n-1. Das würde sowohl im Bohr-Modell als auch für die Lösung der SGL des Wasserstoff-Atoms zu sehr kleinen Ionisierungsenergien führen, was bedeutet, dass man eigentlich keine Spektrallinien beobachten kann, da das Wasserstoff-Atom bei Bestrahlung mit monochromatischem Licht (vllt. sogar schon durch thermische Energie bei Raumtemperatur) ionisiert würde. Für solche Atome mit Elektronen in sehr hohen Energie-Zuständen gibt es aber auch eine Bezeichnung: Rydberg-Atome.

Hoffe, ich konnte die Frage beantworten.