Multipolentwicklung Ring mit Winkelabhängiger Ladungsdichte

Irgendeiner · Anmeldungsdatum: 01.02.2018 Beiträge: 1 Wohnort: Linz

Hallo allerseits, ich hoffe ihr könnt mir bei einem Problem helfen, an dem ich jetzt schon länger sitzen.

Es geht um einen Ring mit Radius a, welcher sich parallel zur x-y Ebene im Abstand b befindet. Er sei mit einer vom Winkel

abhängigen Linienladungsdichte

belegt.

Die Ladungsdichte in Zylinderkoordinaten sei:

Transformiert in Kugelkoordinaten:

Die neu eingeführten Buchstaben ergeben sich aus der Geometrie:

Um das Potential zu bestimmen, wird üblicherweise zuerst das Potential auf der z-Achse bestimmt. (Zumindest bei der hier vorliegenden Symmetrie)

Dazu verwende ich erstmal die Zylinderkoordinaten und integriere:

Durch den Cosinus Term verschwindet das Potential auf der z-Achse.

Hier stecke ich fest. Wie benutze ich dieses Ergebnis um das Potential im ganzen Raum als Entwicklung in Kugelflächenfunktionen zu bestimmen?

Ich hab diverse Bücher schon durch, Fließbach, Petraschek etc., aber die Methoden dort funktionieren alle nur, wenn das Potential auf der z-Achse nicht verschwindet.

Bei einer alten Klausur, die ich gefunden habe, sind bei diesem Beispiel diese Formeln angegeben:

Jeder Hinweis hilft mir. Danke im Voraus! smile

lampe16 · Anmeldungsdatum: 21.03.2010 Beiträge: 319

Hallo Irgendeiner,
ich habe meine bisherigen Kommentare entfernt, weil sie die gestellte Frage - vollständige Multipolentwicklung für den ganzen Raum - nicht trafen.
Küpfmüller, Mathis, Reibiger: Theoretische Elektrotechnik (Springer) liefert in Absch. 11.5 Multipolmethode, Gl. 11.33 für das Potenzial des

-Pols die Lösung

bezeichnet das Legendre-Polynom vom Grad

.
Die Symbole mit dem Index 0 beziehen sich auf die geladene Linie.

Über eine gelegentliche Rückmeldung würde ich mich freuen.