Herleitung der Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Fassi · Anmeldungsdatum: 31.03.2006 Beiträge: 4

Moin, moin,

ich befasse mich gerade mit der Ausbreitung des Schalls und der Berechnung der Schallgeschwindigkeit. Dabei verzweifel ich an der Formel für die Schallgeschwindigkeit in langen, festen Körpern.

hat man ja recht schnell irgendwo gefunden, nur eine saubere Herleitung (die ich auch verstehe) habe ich ncoh nicht gefunden.

Ist hier von euch jemand der mir da weiter helfen kann oder zumindest einen Ansatz geben kann.
Das regt mich tierisch auf, dass ich da einfach nicht weiter komme.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Moin, moin,

und herzlich willkommen hier im Physikerboard!

Ehrlich gesagt schaue ich bei solchen Herleitungen immer am liebsten in ein gutes Buch, wenn ich sie nachvollziehen möchte und dabei auf Schwierigkeiten stoße. (Dass du dich tierisch aufregst, spricht zum einen für gesunden Ehrgeiz, und zum anderen vielleicht dafür, dass deine Physikbücher dir nicht das verraten haben, was du wissen willst Augenzwinkern

) Da finde ich:

Deine Schallgeschwindigkeit c ist die Phasengeschwindigkeit in der Wellengleichung für die Verschiebung s der Teilchen bei einer elastischen Welle in einem Stab:

Und auf diese Wellengleichung kommst du mit dem, was du über die Elastizität (also quasi das "Federgesetz") des Stabes und die Kraft auf eine Massenscheibe im Stab aufschreiben kannst:

Das Elastizitätsmodul sagt dir den Zusammenhang zwischen der relativen Längenänderung epsilon und der mechanischen Spannung sigma (= Kraft pro Fläche):

Und wenn sich die Spannung entlang des Stabes verändert, dann wirkt auf eine Massenscheibe der Dicke delta z und der Masse

die Kraft:

Wenn du das sigma von oben in diesen Ausdruck für F einsetzt und das dann mit Newtons

vergleichst, bekommst du die oben genannte Wellengleichung und damit die Phasengeschwindigkeit c.

Gruß, Markus

Fassi · Anmeldungsdatum: 31.03.2006 Beiträge: 4

@dermarkus:

schon mal vielen Dank.
Die Umformungen kann ich auf jeden Fall nachvollziehen.

Es hapert bei mir zur Zeit leider noch an so manchen Symbolen, die ich in den Büchern auch öfters gesehen habe, von denen ich aber die Bedeutung nicht kenne.
z.B.

Was soll das sein?
Zähler hat irgendwas mit dem Weg zu tun und der Nenner steht in irgendeinem Zusammenhang mit der Zeit. Wo ich jetzt den Latexcode sehe, würde ich vermuten, dass es sich um die partielle Ableitung nach Ort und Zeit handelt, wobei der Ort zweifach abgeleitet wurde.

Worin besteht der Unterschied zwischen s und z?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Stimmt, das ist eine zweifache partielle Ableitung nach der Zeit.
Was da abgeleitet wird, ist das s, also die Verschiebung der Teilchen durch die Schwingung, also die Auslenkung der Teilchen durch die Schwingung aus ihrer Ruhelage. Diese Auslenkung s hängt vom Ort z und der Zeit t ab: s(z,t).

Mit z meine ich also die Position auf der Ortsachse entlang des Stabes,
und s ist die Verschiebung der Teilchen im Stab entlang dieser Achse.