Differentialgleichung erstellen

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Meine Frage:
Hallo Die Aufgabe lautet :

Die Vermischung zweier Salzlösungen mit verschiedener Konzentration
wird durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung beschrieben. In einem
300 Liter Tank befinde sich eine Salzlösung bestimmter Konzentration.
In diesen Tank werde eine andere Salzlösung mit einer Rate von 3 Liter pro
Minute eingeleitet. Diese Salzlösung habe die Konzentration 0.5 kg/Liter.
Wir nehmen nun an, dass sich die Salzlösungen sofort gut durchmischen
und dass die durchmischte Salzlösung mit derselben Rate abgepumpt wird,
mit der neue Salzlösung zugeführt wird. A(t) soll nun die Salzmenge zur
Zeit t im Tank bezeichnen. Welche Differentialgleichung erfüllt A(t)?

Meine Ideen:
Die zeitliche Änderung der Salzmenge dA/dt ist nichts anderes
als die Differenz der Salzmengen/Zeiteinheit, die in den Tank reinfließen
bzw. rausgepumpt werden.
Wenn gleich viel rein kommt wie rausgeht ist die differenz gleich 0 .
Wenn der Tank bis zu 300 Liter enthaten kannn und mit einer bestimmten salzlösung bereits bestückt ist , ist das sowas wie eine Anfangsbedingung y(0)= yo?

Die Konzentration 0,5 kG/Liter könnte sowas wie y(x) sein
und die zeitliche änderung y´(x) .

Ich weiß leider nicht wie diese DGl dann aufstellen kann bzw kenn mich hier nicht so gut aus , da das thema sehr frisch ist .

Kann mir bitte jemand helfen , wäre sehr dankbar ?

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5740

Physiker1910 · Anmeldungsdatum: 20.01.2016 Beiträge: 141

Ich hab mich noch ein wenig schlau gemacht dazu und habe folgendes nun

es gehen pro Minute

Liter verloren .
Die Änderungsrate ist dann
dA/dt = -3*A(t)/300= -A(t)/100

Zu beginn sind 0,5kg vorhanden das heißt A(0)=0,5 kg

wenn ich das auflöse
erhalte ich durch Integrieren eine exponentialfunktion , denn diese bleibt auser der inneren ableitung beim ableiten wieder gleich .

schaut diese dann so aus :

Ansatz

A(t)=a⋅e^(b*t)

Die Randbedingung verlangt, dass A(0)=0,5kg ist. Also

0,5kg=a⋅e^0

0,5kg=a

Damit haben wir

A(t)=0,5kg⋅e^(b*t)

und

dA(t)/dt=b*0,5kg*e^(b*t)

Dieses wird in die Differentialgleichung eingesetzt:

b*0,5kg*e^(b*t)=−1/100*0,5kg*e^(b*t)

b=−1/100

Folglich lautet die gesuchte Funktion

A(t)=0,5kg*e^(-t/100)