Unsicherheit bei Volumenbestimmung

lkbhjjn · Anmeldungsdatum: 08.03.2016 Beiträge: 1

Meine Frage:
Der Durchmesser d einer Kugel wurde auf ±10% genau bestimmt. Mit Hilfe dieses Durchmessers
wird das Volumen V = 10 ml der Kugel berechnet. Mit welcher Unsicherheit ?V wurde das Volumen
bestimmt?

Meine Ideen:
antwort ist ±3 ml. aber ich weiß nicht das Weg unglücklich

PhyMaLehrer · Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 1085 Wohnort: Leipzig

Wegen der +/- 10 % Fehler kann der wirkliche Durchmesser im schlimmsten Fall 1,1 mal so groß sein wie der gemessene oder auch nur 0,9 mal so groß.

In der Volumenformel kommt der Durchmesser in der 3. Potenz vor.
Welchen Faktor erhältst du, wenn du 1,1*d bzw. 0,9*d zur 3. Potenz erhebst?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Die Formel für das Kugelvolumen kennst Du bestimmt.
Mit dem gegebenen Volumen kannst Du den gemessenen Kugeldurchmesser berechnen.
Berechne jetzt anhand der gegebenen Toleranz des Durchmessers das minimale und maximale Kugelvolumen

Die jeweilige Differenz zum gegebenen Volumen ist die absolute Toleranz in ml.

Die Antwort

ist mit Sicherheit falsch.

EDIT

Sorry, Aufgabe falsch gelesen.

Duncan · Gast

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Ich glaube eher, man soll da z. B. die Grundregeln der Gaußschen Fehlerfortpflanzung anweden.
Da wäre die Frage, was denn so gerade als Thema aktuell dran genommen wurde.

Gruß
Marco

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Als Näherung habe ich in schwacher Erinnerung

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

"Normalerweise" rechnet man ja mit einem relativ kleinen Fehler im Vergleich zum eigentlichen Messwert und verwendet dann bei einer Funktion, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängt so was wie:

Wobei immer der Wert der jeweiligen partiellen Ableitung an der gefragten Stelle genommen wird, der Multiplikator mit der partiellen Ableitung also eine Konstante wird.
Hier hat man nur eine Abhängige und einen Relativfehler gegeben.

Außerdem wissen wir, dass das Volumen mit der dritten Potenz von einer Länge wie dem Durchmesser abhängt. Also können wir schreiben:

Wobei c eine Konstante ist, die uns hier nicht näher interessieren soll (sie ist 1/6 pi, aber spielt eben hier keine Rolle)
Also können wir schreiben:

Wenn man jetzt beide Seiten durch V teilt, dann bekommt man eine Beziehung, die man sich leicht merken kann:

Das giltet natürlich auch für beliebige andere Potenzen, wie man leicht allgemein zeigen kann. So dass man allgemein sagen kann: Der relative Fehler eines Wertes, der nur in einer bestimmten Potenz eines Messwertes abhängt, ist gerade diese Potenz multipliziert mit dem relativen Fehler des Messwertes. Hier ist also dann der relative Fehler von V 30%, wenn der relative Fehler von d 10% ist.

Gruß
Marco

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Faustregel: Bei multiplikativer Verknüpfung fehlerbehafteter Größen addieren sich die relativen Fehler.

In dieser Aufgabe wird die fehlerbehaftete Größe d dreimal mit sich selbst multipliziert, also ist der relative Fehler des Volumens 3*10%=30%, was im vorliegenden Fall einem absoluten Fehler von +-3ml entspricht.