Wahrscheinlichkeiten bei einer Spin-Messung?

Gast

Hallo, ich sitz hier vor einer Aufgabe und weiß einfach nicht wie man die lösen kann:

Es geht um Wahrscheinlichkeiten bei einer Spin-Messung:
Man hat einen Teilchenstrahl von Spin s=1/2 Teilchen in einem präparierten Zustand:

Als erstes wird nun eine

-Messung gemacht und dann eine

:

1. Wie sind die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Messwerte bei der

-Messung?
Also

und

?
Ich weiß schon, dass beim ersten 4/5 und beim zweiten 1/5 rauskommt.

2. Wie sind die 4 bedingten Wahrscheinlichkeiten bei der darauffolgenden

-Messung?
Also

etc.

3. Wie ändert sich das Ergebnis in 1. und 2. wenn man die Reihenfolge vertauscht?

Im grunde muss man ja nur ein Skalarprodukt bilden und quadrieren, allerdings steig ich da nicht so ganz durch.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Thomas L. · Gast

Die Paulimatrix des Sx Operators ist

Die eigenwerte sind die möglichen Messwerte (Hier + oder - 1), und die eigenvektoren der matrix sind die Eigenvektoren des Sx Operators in der Basis der eigenvektoren von Sz. Für das Beispiel bedeudet das
für eigenwert +1:

für eigenwert -1:

jetzt musst du noch das skalarprodukt bilden

ich hoffe das war einigermassen verständlich und du schaffst den rest so.

Gast

Wenn ich von der oben genannten Paulimatrix die Eigenwertgleichung aufstelle und die Eigenwerte und -vektoren ausrechne, bekomm ich dasselbe raus wie du.
Allerdings hast du noch geschrieben, dass du die Eigenvektoren in der Basis der Eigenvektoren von Sz berechnet hast.
Das hab ich nicht so ganz verstanden. Wahrscheinlich weil zu dem Schritt keine Rechnung nötig war, da die Sz Eigenvektoren ja

bzw

sind.

Bei 2. hät ich jetzt einfach die Eigenvektoren von Sz, also

bzw

wieder mit dem Zustandsvektor von Oben Skalarmultipliziert und quadriert. Da würde dann ja 1/2 rauskommen. Und dann einfach 1/2 mal die beiden oberen Ergebnisse. Also 2/5 und 1/10, jeweils 2 Mal.
Das wären dann doch aber keine bedingten Wahrscheinlichkeiten, da das Ergebnis nicht von dem Ergebnis aus 1. abhängt, oder?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet hier (meiner Meinung nach):
"Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit bei der zweiten (z)Messung

bzw.

zu erhalten wenn das Resultat ("der Ausgang") der (x)Messung

bzw.

war ?"

Nun ist

und daher

Die Wahrscheinlichkeiten sind daher in allen 4 Fällen 1/2.

Oder hab ich das was falsch verstanden ?

Thomas L · Anmeldungsdatum: 21.04.2005 Beiträge: 17

ich würde es so machen wie "Gast" , da ja die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein muss.Es handelt sich schon um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, da der zustand nach der Sx Messung unterschiedlich ist je nachdem welcher wert gemessen wurde. Nur sind halt die Wahrscheinlichkeiten für beide Zusände "zufällig" gleich.
Bei 3. sieht man auch schön das die beiden Messungen nicht vertauschbar sind.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ist nun etwas spitzfindig - ich weiss was ihr meint - dann wäre es aber nicht die bedingte, sondern die gesamte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von (z,x)

Die bedinge Wahrscheinlichkeit gibt doch die Wahrscheinlichkeit für eine Zufallsvariable (den Ausgang der Z-Messung) an, unter der Bedingung dass eine andere Zufallsvariable schon einen vorgegeben Wert (den Ausgang der X-Messung) hat. Auch diese Wahrscheinlichkeiten ergeben in Summe Eins: