Statistischer Mittelwert und Bose-Verteilung

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

Hi!

Ich möchte einen Mittelwert berechnen und habe
das gleiche Problem (bis auf Normierungsfaktoren) auch in folgender Publikation gefunden (Seite 5, ab Gleichung 3.9)

http://www.actaphys.uj.edu.pl/vol38/pdf/v38p3661.pdf

Man betrachtet ein freies reelles skalares Feld mit Hamiltonian

wobei

und

.

Nun zu meinem Problem:
Der Mittelwert des Operators

soll gegeben sein durch:

Ich habe keine Ahnung wie man auf dieses Resultat kommen soll.

Wenn ich zunächst damit beginne die Zustandssumme

zu berechnen, erhalte ich keinen wohl-definierten Ausdruck:

wobei ich

verwendet habe.

Ich denke das Problem besteht darin, dass ich Impulszustände als Eigenzustände des Hamiltonian verwende und diese sind nicht normierbar.

Kann mir vielleicht jemanden sagen, wie man diesen Mittelwert erhält?

(Wenn ich den einfachen Hamiltonian

betrachte (wie in dem Link oben) und einen vollständigen Satz von Eigenzuständen |n>, ist der Mittelwert natürlich sehr einfach zu berechnen. Aber in meinem Fall weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen soll)

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

pendulum · Anmeldungsdatum: 03.11.2006 Beiträge: 68

Vielen Dank für den Tipp das ganze zu diskretisieren, aber
ich hab inzwischen einen Weg gefunden das ganze recht einfach zu lösen:

Ich verwende dabei die Identität (die sehr einfach zu zeigen ist)

und berechne

.

Noch durch

dividieren, nach

auflösen und fertig.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Netter Trick.

Trotzdem ist es doch fast schon Zufall, dass dabei für die an sich undefinierten Terme

und

das korrekte Ergebnis rauskommt, oder?