sin = tan bei kleinem Winkel??

rosine · Anmeldungsdatum: 07.10.2010 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo erstmal!
Also meine Frage ist wohl auch eher etwas mathematisch, hat aber mit Wellenoptik zu tun.
Ich mache zur Zeit mein Abi per Fernstudium und bereite mich auf die mündliche Prüfung vor. Und habe unter anderem das Thema Wellenoptik. In meinem "schlauen" Heft(das man mir zum selbstständigen lernen anbietet)steht, dass man bei kleinen Winkeln für tan(a) auch sin(a) einsetzen kann. Leider wird dann aber nicht mehr erklärt wieso, weshalb, warum.
In Prüfungsprotokollen habe ich dann aber gelesen, dass auch schon mal gefragt wird wieso tangens gleich sinus ist bei kleinen Winkeln.
Könnte mir das vielleicht jemand erklären?
Vielen Dank schon mal für jede Hilfe.

liebe Grüße

Rosi

Meine Ideen:
Also was ich über Sinus und Tangens weiß ist, dass:

1. tan (a) = sin (a) / cos (a) und, dass
2. in einem rechtwinkligen Dreieck tan (a) = Gegenkathete/Ankathete

und sin(a)= Gegenkathete/ Hypothenuse.

Würde aus 1. folgen dass sin(a) = tan(a)*cos(a) ist? Hilft das hier überhaupt irgendwie weiter?
Also ich denke mal dass es mit dem 1. Punkt irgendwie zusammenhängen muss, aber ich kanns mir noch nicht so richtig erklären.

achja was ich über Tangens noch weiß, ist dass er nicht für alle Winkel definiert ist. Weil nämlich wenn man sich diesen Einheitskreis vorstellt, dann ist tan(a) ja die tangente an dem Kreis. Und zum Beispiel bei 90° würde es keinen Schnittpunkt mit dieser Tangente geben,weil sieja dann parallel zu ihr läuft.

Irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich total auf dem falschen Dampfer bin.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Was eine Taylorreihe ist, weisst du schon?

Du kannst ansetzen

Das ergibt:

also für x << 1

Zum tan(x) für x<<1:

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Oder man siehts am Einheitskreis.
Schon bei einem Winkel von 40° sieht man die Ähnlichkeit zwischen Sinus und Tangens. Wenn der Winkel nun immer kleiner wird, wird klar, dass die 2 Geraden immer mehr zusammenrutschen und gleich groß werden.

http://matheraum.de/uploads2/wiki/000625/0001/Einheitskreis.png

Passepartout · Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 172 Wohnort: Lausanne

Oder, weniger mathematisch begründet, sondern (experimental-)physikalisch:
Der Kosinus von kleinen Winkeln ist ungefähr 1, deswegen ist

Gruß,
Michael

rosine · Anmeldungsdatum: 07.10.2010 Beiträge: 2

Vielen Dank erstmal für die schnellen Antworten.
Also was eine "Taylor-Reihe" ist weiß ich ehrlich gesagt nicht. Hatten wir auch soweit ich mich erinnern kann hier nicht durchgenommen in Mathe.
Aber ich denke für meine "GK-Bedürfnisse" sollten die weniger-mathematischen Ansätze auch ausreichen.
Dennoch danke für die Mühe an alle. Hat mir sehr weitergeholfen.

Liebe Grüße

Rosi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21468

Eine Taylorreihe ist letztlich die Approximation einer Funktion durch Polynome. Für eine kleine Umgebung eines gegebene Punktes (hier: x=0) kann man dann schreiben

Die ersten beiden Terme entsprechen einer Geradengleichung

Wenn man dies nun für den Sinus und den Tangens berechnet, dann findet man dass für beiden Funktionen gilt

D.h. beide Funktionen haben den selben Funktionswert bei x=0 und schneiden die x-Achse dort unter dem selben Winkel, haben also die selbe Gerade als Appsoximation. Erst wenn man die quadratischen Terme in x betrachtet, unterscheiden sich die beiden Funktionen.