Breite eines Gaußschen Wellenpakets

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Hallo !
Ich hänge ein wenig an einer Aufgabe aus "einführung in die Quantenmechanik".
Die Aufgabe habe ich im Anhang gepostet.
Den ersten Teil habe ich mit Quadratischer Ergänzung und dem Trick von Gauß hinbekommen.
Leider weiss ich nicht wie Aufgabe 3 Funktioniert. Ich weiss auch nicht was die Breite eines solchen Gaußschen Wellenpaketes ist.
Kann mir da jemand einen Tip geben ?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Magst du da mal einfach in deiner Mathe-Formelsammlung (vielleicht sogar zum Beispiel einfach deiner Schulformelsammlung) nachschauen, um eine Schreibweise der Gaußverteilung zu finden, in der du ihre Breite direkt wiederfindest? (Diese Formel ist so bekannt, dass sie sogar auf dem Zehnmarkschein drauf war smile

)

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

ahh

dankeschön. Ist mit der Breite denn die Standardabweichung sigma gemeint, oder ist die Breite gleich 2*sigma ?

EDIT:
Ich werd wohl nicht drumrumkommen, mal ein bisschen latex zu posten:

Als Ergebnis haben wir folgendes:

das wollte ich nun mit der gauß Funktion

http://upload.wikimedia.org/math/2/4/a/24a8c88de220a0691fd852de62eebf7e.png
vergleichen. wobei der Erwartungswert mü=0 gesetzt wurde.

Jetzt ergeben sich jedoch durch Vergleich der beiden Formeln unterschiedliche Sigmas, je nachdem ob man den Vorfaktor zur E Funktion oder die Argumente der E Funktion vergleicht..
Ist mir da etwa ein Fehler unterlaufen ?
Gruß
Holger

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ja, das Sigma ist ein Maß für die Breite der Gaußfunktion, und ich denke, das wird hier mit "Breite" gemeint sein.

(Für die Breite von solchen "bergförmigen" Funktionen gibt es ja verscheidene Möglichkeiten der Beschreibung, wie zum Beispiel das FWHM (full width at half maximum, volle Breite auf halber Höhe des Maximums)) oder das HWHM (halbe Breite auf halber Höhe des Maximums) oder auch Größen, die wie das sigma bei der Gaußfunktion mit der Breite auf Höhe von einem e-tel des Maximums zu tun haben.

Vielleicht magst du dir ja mal aus der Funktionsgleichung der Gaußkurve überlegen, was genau das

mit welcher Breite der Gaußfunktion auf welcher Höhe zu tun hat.

Xeal · Anmeldungsdatum: 29.05.2007 Beiträge: 243

Ich würde sagen an der Stelle simga ist die E Funktion gerade auf einen Wert von e^(-1/2) abgefallen (ca. 61 %)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, also wäre die volle Breite der Gaußfunktion auf dieser Höhe gleich

.

Auf der Höhe von 1/e des Maximums komme ich für die volle Breite auf

.

Und für welches x fällt die e-Funktion auf die Hälfte ihres maximalen Werts ab? Wieviel sigma wäre also die volle Halbwertsbreite FWHM der Gaußkurve?