Rolle in Kreisbahn

Hilflos 099 · Anmeldungsdatum: 05.08.2025 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo, eine Rolle rollt in einer Kreisbahn und startet beim Winkel Alpha in Punkt eins. Rollt durch die Senke bis Punkt 2 wo sie die Bahn verlässt und fliegt. Ab da kann sie als Massenpunkt betrachtet werden und landet in Punkt drei. Es soll das massenträgheitsmoment, winkelgeschwindigkeit in Punkt eins schwerpunktgeschwindigkeit in Punkt 2 wurfweite x Max mit v2 und die maximale wurfhöhe bestimmt werden.

Meine Ideen:
Jbkklmassenträgheismoment ist ja 1/2 mv^2
Ist die winkelgeschwindigkeit in p1 gleich null?
Wie bestimme ich die Geschwindigkeit v2? Mit energieerhaltung bestimmt, aber wie im Detail? Zu den letzten beiden Punkten habe ich leider keine Idee.

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 1116

Mal so als Tipp:

- bei geometrischen Aufgaben helfen Skizzen, in denen man gegebene Grössen benennt und einträgt.

- man sollte sich dann da ein Schema folgender Art zulegen:

Gegeben:
...

Gesucht:
...

Lösung(en):
...

Plausibilitätsbetrachtung der Lösungen:
...

Generell ist auch im vorhinein wichtig, dass man ein Bezugssystem mit einem Koordinatensystem festlegt. Welche (äusseren) Kräfte wirken da?

Bemerkungen:
- was ist überhaupt ein Trägheitsmoment? Man betrachtet da zB. die Hauptträgheitsachsen (sind i.a. Symmetrieachsen).
- um welche dreht sich da der Ring? Betrachtet man da eine Hauptträgheitsachse (durch den Schwerpunkt) als Drehachse oder die momentane Drehachse (welche ist das..)?
- was bedeutet "Rollen"? Wie hängt das mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen?
- gibt es Erhaltungssätze, die das Lösungsverfahren vereinfachen?
- wie lauten notwendige Bewegungsgleichungen (welche kennst du?) und wie nutzt man da dann die Erhaltungssätze?

...

copilot · Gast

1. Massenträgheitsmoment
Für einen homogenen Vollzylinder um seine zentrale Längsachse gilt I = ½·m·R²

Hierbei ist

I das Trägheitsmoment,

m die Masse,

R der Zylinderradius.

2. Winkelgeschwindigkeit in Punkt 1
Mit Energieerhaltung zwischen der Startposition bei Winkel α (Punkt 1) und dem tiefsten Punkt einer Kreisbahn erhält man für die translatorische und rotatorische Energie

m·g·R·(1 – cos α) = ½·m·v₁²·(1 + I/(m·R²))

Daraus folgt:

v₁ = √[2·g·R·(1 – cos α) / (1 + I/(m·R²))]

ω₁ = v₁ / R = √[2·g·(1 – cos α) / (R·(1 + I/(m·R²)))]

Für den Vollzylinder (I/(m·R²)=½) vereinfacht sich ω₁ = √[(4/3)·g·(1 – cos α) / R]

3. Schwerpunktgeschwindigkeit in Punkt 2
Punkt 2 ist der Austrittspunkt, an dem die Normalkraft null wird: m·v₂²/R = m·g·cos θ

Über Energieerhaltung von Punkt 1 (α) bis Punkt 2 (θ): m·g·R·(cos α – cos θ) = ½·m·v₂²·(1 + I/(m·R²))

Kombiniert man beide Gleichungen, so erhält man

cos θ = [2 / (1 + I/(m·R²))]·cos α

v₂ = √[g·R·cos θ] = √[ (2·g·R·cos α) / (1 + I/(m·R²)) ]

Für den Vollzylinder (I/(m·R²)=½) gilt

cos θ = (4/7)·cos α

v₂ = √[ (4/7)·g·R·cos α ]

4. Wurfweite xₘₐₓ
Direkt nach Austritt wirkt der Zylinder als Massenpunkt mit Auftreffgeschwindigkeit v₂ unter dem Abwurfwinkel β (Tangentialrichtung an der Kreisbahn). Die Reichweite lautet

xₘₐₓ = v₂²·sin(2β) / g

mit

β = Austrittsrichtung relativ zur Horizontalen (bei Kreisparametrierung β = θ + 90°).

5. Maximale Wurfhöhe
Die maximale Höhe über dem Austrittspunkt errechnet sich aus der vertikalen Komponente v₂·sin β:

Hₘₐₓ = (v₂·sin β)² / (2·g)

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

@copilot
1. Die Winkelgeschwindigkeit in Punkt 1 ist =0, da die Rolle dort die Ruhelage verlässt. So habe ich die die Aufgabe verstanden.
Was die Lage der Winkel betrifft, verweise ich auf den Beitrag von Qubit.

2. Da Reibungsfreiheit angenommen wird, beträgt die maximale Höhe h_2 über dem Fusspunkt der Kreisbahn gleich der Höhe h_1 des Punktes 1 (v = 0).
Zwischen diesen Punkten kann die Rolle an jedem beliebigen Punkt mit v >0 die Kreisbahn verlassen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Bezugsebene: x-Achse
alpha_0 = Startwinkel (v =0)
alpha = Drehwinkel

R = Radius Kreisbahn (gegeben)
r_s = Schwerpunkt Zylinder/Mittelpunkt Kreisbahn
r_z = Radius Zylinder (gegeben)
m = Masse Zylinder (gegeben)
I_s = Massenträgheitsmoment Zylinder Schwerpunkt
I = Massenträgheitsmoment Zylinder/Kreisbahn
v = Translationsgeschwindigkeit Zylinder

Energieerhaltung

Satz von Steiner

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 1116

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

grok4 · Gast

### Massenträgheitsmoment
Die Rolle wird als homogener Zylinder angenommen, für den das Massenträgheitsmoment um die Symmetrieachse I = \frac{1}{2} m r^2 beträgt, wobei m die Masse und r der Radius der Rolle ist. (Falls es sich um eine Kugel handelt, wäre I = \frac{2}{5} m r^2.)

### Winkelgeschwindigkeit in Punkt 1
Die Rolle startet in Punkt 1 aus der Ruhe, daher ist die Winkelgeschwindigkeit \omega_1 = 0.

### Schwerpunktgeschwindigkeit in Punkt 2
Die Schwerpunktgeschwindigkeit in Punkt 2 (dem Punkt, an dem die Rolle die Bahn verlässt) ergibt sich aus der Bedingung für das Verlassen der Bahn (Normal kraft N = 0): v_2 = \sqrt{-g R \cos \theta_2}, wobei \theta_2 der Winkel in Punkt 2 vom tiefsten Punkt aus ist und \cos \theta_2 = \frac{4}{7} \cos \alpha (mit \alpha > 90^\circ, so dass \cos \alpha < 0 und v_2 real ist).

**Erklärung der Ableitung:**
- Die Gesamtenergie ist erhalten. Die kinetische Energie ist \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m r^2) (v/r)^2 = \frac{3}{4} m v^2 (da k = 1/2).
- Die potentielle Energieänderung von Punkt 1 zu Punkt 2 ist m g R (\cos \theta_2 - \cos \alpha).
- Energieerhaltung: \frac{3}{4} m v^2 = m g R (\cos \theta_2 - \cos \alpha) \Rightarrow v^2 = \frac{4}{3} g R (\cos \theta_2 - \cos \alpha).
- Bedingung für N = 0: v^2 = - g R \cos \theta_2 (da \theta_2 > 90^\circ).
- Setzen gleich: \frac{4}{3} g R (\cos \theta_2 - \cos \alpha) = - g R \cos \theta_2 \Rightarrow \frac{4}{3} (\cos \theta_2 - \cos \alpha) = - \cos \theta_2 \Rightarrow \frac{4}{3} \cos \theta_2 + \cos \theta_2 = \frac{4}{3} \cos \alpha \Rightarrow \cos \theta_2 \left(\frac{7}{3}\right) = \frac{4}{3} \cos \alpha \Rightarrow \cos \theta_2 = \frac{4}{7} \cos \alpha.
- Einsetzen in v^2: v_2 = \sqrt{-g R \cdot \frac{4}{7} \cos \alpha}.

### Wurfweite x_max mit v_2
Die Wurfweite x_max (horizontale Distanz vom Verlassen bis zum Aufprall auf y = 0) ist x_max = |v_2 \cos \theta_2| \cdot t, wobei t die Flugzeit ist.
- Flugzeit t = \frac{v_2 \sin \theta_2 + \sqrt{(v_2 \sin \theta_2)^2 + 2 g h_2}}{g}, mit h_2 = R (1 - \cos \theta_2) die Höhe in Punkt 2 über y = 0.

**Erklärung der Ableitung:**
- Nach dem Verlassen bewegt sich der Schwerpunkt als Massenpunkt mit Anfangs- Geschwindigkeit v_2 bei Winkel \theta_2 zum Horizontalen (v_x = v_2 \cos \theta_2, v_y = v_2 \sin \theta_2).
- Vertikale Bewegung: 0 = h_2 + v_y t - \frac{1}{2} g t^2 (quadratische Gleichung für t, positive Wurzel wählen).
- Horizontale Distanz: x_max = |v_x| t (Betrag, da Richtung je nach Seite negativ sein kann).

### Maximale Wurfhöhe
Die maximale Wurfhöhe ist h_max = h_2 + \frac{(v_2 \sin \theta_2)^2}{2 g} = R (1 - \cos \theta_2) + \frac{(v_2 \sin \theta_2)^2}{2 g}.

**Erklärung der Ableitung:**
- Nach dem Verlassen ist die vertikale Bewegung eine Parabel mit Anfangsgeschwindigkeit v_y = v_2 \sin \theta_2 > 0 (aufwärts).
- Die zusätzliche Höhe bis zum Scheitelpunkt ist \frac{v_y^2}{2 g}.
- Gesamthöhe = Start höhe h_2 + zusätzliche Höhe.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Lino_Casu · Anmeldungsdatum: 10.08.2025 Beiträge: 16

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Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 6119 Wohnort: jwd

Wurfweite

Abwurfwinkel zur Horizontalen

M.E. existiert keine analytische Lösung.
Vllt. kann ein Kollege anhand eines Beispiels eine numerische Lösung mit Graph erstellen.

Teflonmann · Anmeldungsdatum: 05.06.2025 Beiträge: 25

also grok4 hat dafür 45m gebraucht, da ist ja gpt5 einiges besser/schneller