Adiabatischer Index und Druck

Alfen12 · Anmeldungsdatum: 11.03.2025 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zum adiabatischen Index oder eher Gamma Thermal.

Es geht in erster Linie um den Druck und die Energiedichte.

Für den Druck P verwende ich das folgende Integral:
\begin{align}
P = \frac{\gamma}{2\pi^2} \cdot \frac{1}{3} \int_{{\text{0}}}^{{\text{inf}}} dk \cdot \frac{k^4}{E(k)} \cdot \frac{1}{1 + e^{(E(k) - \mu) / T}}
\end{align}

und für die Energiedichte Epsilon:
\begin{align}
\epsilon = \frac{\gamma}{2\pi^2} \int_{{\text{0}}}^{{\text{inf}}} dk \, \frac{k^2 E(k)}{1 + e^{(E(k) - \mu) / T}}
\end{align}

\begin{align}
E(k)= \sqrt{k^2+m^2}
\end{align}
Mein Gamma Thermal $\Gamma$ :
\begin{align}
\Gamma = \frac{P}{\epsilon} + 1
\end{align}

wobei mein E(k):
\begin{align}
E(k)= \sqrt{k^2+m^2}
\end{align}

und mein Gamma thermal:
\begin{align}
\Gamma = \frac{P}{\epsilon} + 1
\end{align}

Da ich Fermionen betrachte gilt, $ \ gamma = 2 $.

Wenn ich richtig verstehe, sollte der adiabatische Index $ \ gamma $ im nicht relativistischen Fall bei 5/3 beginnen und dann im relativistischen Fall auf 4/3 fallen. In meinem Fall startet $ \ gamma $ jedoch bei etwa 1,02 und konvergiert in Richtung 4/3.

Meine Ideen:
Als Beispiel habe ich Elektronen mit einer Masse M = 0,511 MeV, einem chemischen Potential $ \ mu $ = 0,0001 MeV und einer Temperatur T = 0,01 MeV in Betracht gezogen. Dies ist offensichtlich nicht relativistisch, weil T << m
In diesem Fall erhalte ich jedoch ca. ein Verhältnis P/$\epsilon$ = 0,02.
Ich habe das Integral in Wolfram Alpha eingegeben, und es gibt mir ein Verhältnis von 0,02. Was übersuche ich oder mache ich falsch?