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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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 TechnikFan Verfasst am: 26. Feb 2025 13:11 Titel: Wellenfunktion eines Photons |
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Meine Frage:
Bei Wikipedia wird unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Wellenfunktion
als Beispiel die Formel einer Wellenfunktion für ein freies Teilchen angegeben.
Kann man so eine Formel auch für ein Photon (z.B. mit Bewegung in x-Richtung, vertikal polarisiert, unverschränkt und Wellenlänge 600 nm) angeben, oder scheitert dies an der Tatsache, dass sich das Photon mit Lichtgeschwindigkeit bewegt?
Meine Ideen:
Hätte man eine solche Formel für ein Photon, könnte man versuchen, Aussagen zu seiner Ausdehnung herzuleiten. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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E-manuell
Anmeldungsdatum: 27.02.2025
Beiträge: 3
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| E-manuell Verfasst am: 27. Feb 2025 14:22 Titel: |
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Auch ich stelle mir dazu meine Fragen.
Und habe mich nun entschlossen, mich zu diesem Thema anzumelden.
Ich frage mich, ob die Aussage, dass sich das Photon mit c bewegt, nicht nur für einen Sonderfall gilt. In einem masselosen Universum. Hier erreicht das Photon nur c, wäre aber ziemlich rot verschoben und eine Wellenlänge gegen unendlich?
Wenn sich das Vakuum oder besser das Vakuum in einem Universum mit Massen wie ein Medium verhält, in dem das Photon das c nur über die Gruppengeschwindigkeit aufrechterhält - wodurch genau ist das ausgeschlossen? |
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 09. März 2025 16:47 Titel: |
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Danke für dein Feedback.
In dem Thread wird die Schrift von Mohr erwähnt. Ist sein Paper “Solutions Of The Maxwell Equations And Photon Wave Functions” als wissenschaftlich fundiert zu betrachten?
Ich kann (als einfacher Ingenieur) die vielen Herleitungen nicht nachvollziehen, aber in Gleichung 352 beschreibt er ein Wellenpaket mit Gauß-förmigen Einhüllenden. Wegen der unendlich langen Gauß-Kurven ist eine solche Beschreibung eigentlich nicht zulässig, denn unendlich groß ist ein Photon sicherlich nicht. |
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 11. März 2025 18:47 Titel: |
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Die Herausforderung ist ja, dass das Wellenpaket eines Photons eine Form haben muss, die auch nach einer Wegstrecke von vielen Lichtjahren nicht auseinanderläuft. Es muss sich sozusagen dauernd selbst fokussieren (vergleichbar mit einem Soliton?).
Ist die Hologrammtechnik geeignet, die Wellenfunktion von Photonen zu entschlüsseln?
Siehe z.B. Artikel von
Radosław Chrapkiewicz, Michał Jachura, Konrad Banaszek and Wojciech Wasilewski
Titel: Hologram of a single photon
http://dx.doi.org/10.1038/nphoton.2016.129 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 11. März 2025 20:46 Titel: |
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| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Die Herausforderung ist ja, dass das Wellenpaket eines Photons eine Form haben muss, die auch nach einer Wegstrecke von vielen Lichtjahren nicht auseinanderläuft. Es muss sich sozusagen dauernd selbst fokussieren (vergleichbar mit einem Soliton?). |
Zunächst mal muss man zwischen dem Feld und der Wellenfunktion unterscheiden. Letzteres ist mir beim Photon nicht wirklich klar; die etablierte QED kennt jedenfalls keine Wellenfunktion.
Dass das Wellenpaket seine Form behalten kann, ist im Falle der Elektrodynamik trivial. Kennst du dich mit Fouriertransformation aus?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 12. März 2025 00:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kennst du dich mit Fouriertransformation aus? |
Ja, etwas.
(halt soviel wie von einem Elektrotechnik-Studium nach mehreren Jahrzehnten im Gedächtnis noch übrig geblieben ist ;-) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 12. März 2025 06:01 Titel: |
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Es gilt: 1) die Elementarlösungen u_k der Maxwellschen Gleichungen sowie anderer linearer Wellengleichungen sind ebene Wellen, und 2) alle Lösungen f lassen sich mittels Fourierintegralen über diese Elementarlösungen darstellen:
 = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} \, f_k \, u_k(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} \, f_k \, e^{i(kx - \omega t)} )
Speziell für masselose Wellengleichungen gilt 3)
Damit folgt
 = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dk}{2\pi} \, f_k \, e^{ik(x - ct)} = f(x - ct) )
D.h. die Funktion f behält ihre Form bei; diese wandert mit Lichtgeschwindigkeit c ✔️
Für allgemeine Wellengleichungen muss der lineare Zusammenhang (3) nicht gelten, man erhält dann ein mit der Zeit zerfließendes Wellenpaket f.
Solitonen sind Lösungen nicht-linearer Differentialgleichung, d.h. ebene Wellen u_k sind keine Lösung, und eine verallgemeinerte Fourierdarstellung funktioniert nicht, da das Superpositionsprinzip nicht gilt; die Voraussetzungen (1) und (2) treffen also nicht zu.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 13. März 2025 07:54, insgesamt einmal bearbeitet |
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 12. März 2025 17:59 Titel: |
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Zunächst einmal möchte ich darauf hinweisen, dass ich die Fourier-Transformation nur mit einer Variablen (t) kennengelernt habe, d.h. als Transformation in den Frequenzbereich und umgekehrt. Ich hoffe, dass die für diesen einfacheren Fall gelernten Prinzipien auch auf Wellenfunktionen, die in den k-Bereich transformiert werden (und umgekehrt) anwendbar sind. Wenn ich hier Fehler mache, bitte ich vorab schon mal um Entschuldigung.
Ich nehme an, dass das Photon sich in x-Richtung ausbreitet und deshalb x in deinen Formeln nicht als Vektor betrachtet werden muss. Richtig?
Wenn dem so ist, vermisse ich natürlich die Begrenzung des Photons in y- und z-Richtung. In der bereits oben erwähnten Gleichung 352 wird das Wellenpaket in y- und z-Richtung gaußförmig mit der Breite b „begrenzt“. Ob Begrenzung der richtige Ausdruck ist bei unendlichen Kurvenformen ist ein weiteres Problem.
Auch wenn die Begrenzung an den Rändern (y und z) nicht scharf sind, erwarte ich doch, dass das Wellenpaket an diesen Rändern weiter auseinander läuft.
Die Begrenzung in x-Richtung wird bei Gleichung 352 gaußförmig mit der Länge a angegeben. Auch hier bedeutet die Gaußform, dass das Photon in Ausbreitungsrichtung im Prinzip unendlich lang ist, was die Kausalität in Frage stellt.
(ich vermute, dass ich mit der Verwendung des Begriffs Kausalität in der QM mal wieder dünnes Eis betrete ;-)
Mit der Fourier-Transformation hast du gezeigt, dass das Photon in x-Richtung formstabil bleiben kann, wenn ideale Ausbreitungsbedingungen vorliegen, insbesondere die Dispersionsfreiheit. Wenn ein Photon räumlich in Ausbreitungsrichtung (das bedeutet auch zeitlich) begrenzt wird, weitet sich das Frequenzspektrum aus, und es hat dann nicht mehr eine scharf begrenzte Frequenz bzw. Wellenlänge. Dies hat keine Auswirkung, wenn Dispersionsfreiheit vorliegt.
Es bleibt die Problematik der Begrenzung in y- und z-Richtung. Hier hilft die Fourier-Transformation in x-Richtung nicht weiter.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | die Elementarlösungen u_k der Maxwellschen Gleichungen sowie anderer linearer Wellengleichungen sind ebene Wellen |
Gibt es noch andere Lösungen der Maxwellschen Gleichungen als diese Elementarlösungen? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 12. März 2025 18:53 Titel: |
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| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es noch andere Lösungen der Maxwellschen Gleichungen als diese Elementarlösungen? |
Da denke ich spontan an Bessel-Strahlen. Die sollten sich aber zumindest aus Elementarlösungen konstruieren lassen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 12. März 2025 21:21 Titel: |
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| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Zunächst einmal möchte ich darauf hinweisen, dass ich die Fourier-Transformation nur mit einer Variablen (t) kennengelernt habe, d.h. als Transformation in den Frequenzbereich und umgekehrt. Ich hoffe, dass die für diesen einfacheren Fall gelernten Prinzipien auch auf Wellenfunktionen, die in den k-Bereich transformiert werden (und umgekehrt) anwendbar sind. Wenn ich hier Fehler mache, bitte ich vorab schon mal um Entschuldigung. |
Die Variablennamen sind völlig egal.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Ich nehme an, dass das Photon sich in x-Richtung ausbreitet und deshalb x in deinen Formeln nicht als Vektor betrachtet werden muss. Richtig? |
Ja.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | ... vermisse ich natürlich die Begrenzung des Photons in y- und z-Richtung. In der bereits oben erwähnten Gleichung 352 wird das Wellenpaket in y- und z-Richtung gaußförmig mit der Breite b „begrenzt“. Ob Begrenzung der richtige Ausdruck ist bei unendlichen Kurvenformen ist ein weiteres Problem.
Auch wenn die Begrenzung an den Rändern (y und z) nicht scharf sind, erwarte ich doch, dass das Wellenpaket an diesen Rändern weiter auseinander läuft. |
Du hast recht, in mehreren Dimensionen muss man sich das nochmal gesondert überlegen.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Die Begrenzung in x-Richtung wird bei Gleichung 352 gaußförmig mit der Länge a angegeben. Auch hier bedeutet die Gaußform, dass das Photon in Ausbreitungsrichtung im Prinzip unendlich lang ist, was die Kausalität in Frage stellt. |
Das ist ein berechtigter Einwand.
Das Problem ist die Entstehung des Photons, denn "in dem Moment", wo das Gauß-Paket entsteht, wäre es ja schon unendlich ausgedehnt. Aktuell kann ich dir nur sagen, dass es in der QED damit keine Probleme gibt, jedoch zu Lasten der Anschaulichkeit. Für beobachtbare Größen kann man einer speziellen Begriff der Kausalität streng beweisen.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Mit der Fourier-Transformation hast du gezeigt, dass das Photon in x-Richtung formstabil bleiben kann, wenn ideale Ausbreitungsbedingungen vorliegen, insbesondere die Dispersionsfreiheit. |
Dispersionsfreiheit ist im Vakuum immer gegeben.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Gibt es noch andere Lösungen der Maxwellschen Gleichungen als diese Elementarlösungen? |
Ja, es gibt unendlich viele mögliche jedoch äquivalente Systeme von Elementarlösungen {u_k}, {v_k} ... Dass es sich um Systeme von Elementarlösungen handelt, ist aber gleichbedeutend damit, dass die Eigenschaften der Funktion f(x,t) nicht von der Verwendung von {u_k} oder {v_k} abhängen.
Umgekehrt bedeutet das Vorliegen eines Systems von Elementarlösungen auch, dass ich f(x,t) nach jedem beliebigen derartigen System entwickeln kann. Aktuell verwende ich speziell dieses eine System, um zu zeigen, dass das Wellenpaket seine Form nicht ändert. Das ist aber nur der Tatsache geschuldet, dass der Beweis in diesem System besonders einfach ist.
Letztlich ist das analog zur Basistransformation bei der Darstellung eines Vektors: {u_k} entspricht den Basisvektoren, {f_k} den Koordinaten bzgl. dieser Basis. Der Übergang von {u_k} zu {v_k} ist eine unitäre Basistransformation, die die {f_k} ändert, jedoch die Funktion f invariant lässt. |
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 13. März 2025 15:58 Titel: |
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Mit deinen Ausführungen ist mir klar geworden, dass ich deine Integrale doch nicht so richtig verstanden habe.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Es gilt: 1) die Elementarlösungen u_k der Maxwellschen Gleichungen sowie anderer linearer Wellengleichungen sind ebene Wellen, und 2) alle Lösungen f lassen sich mittels Fourierintegralen über diese Elementarlösungen darstellen:
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Ich habe nach dem Begriff Elementarlösungen gegoogelt und bin nicht richtig fündig geworden.
Was sind „Elementarlösungen“ und „Systeme von Elementarlösungen“?
Was meinst du mit u_k? Ich vermute, du beziehst dich im Text auf den Formelausdruck:  ) . Richtig?
Was sind v_k und was ist der Unterschied zu u_k?
Was ist  ? Die Fouriertransformierte von f(x,t) in den k-Bereich? Müsste es dann nicht besser als F(k) bezeichnet werden?
Ich bin immer noch in Richtung Solitons im Internet auf der Suche und bin auf ein Video mit dem vielversprechenden Titel „Michael Atiyah, Three -dimensional solitons [2005]“ gestoßen.
https://www.youtube.com/watch?v=MkmpH5moov4
Hier ging der Fokus aber dann Richtung starker Wechselwirkungen im Atomkern.
Ich habe das Gefühl, dass die Lösung zur Beschreibung der Wellenform des Photons über die Berechnung von Solitons geht. Aber gleichzeitig weiß ich, dass die Mathematik dazu mich überfordern wird.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 13. März 2025 21:04 Titel: |
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| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe nach dem Begriff Elementarlösungen gegoogelt und bin nicht richtig fündig geworden. |
Damit ist die Lösung der entsprechenden Wellengleichung gemeint.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Was sind v_k und was ist der Unterschied zu u_k? |
In drei Dimensionen z.B. ebene Wellen und Kugelwellen.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Was ist ? Die Fouriertransformierte von f(x,t) in den k-Bereich? |
Im Falle von ebenen Wellen ja. Aber derartige Darstellungen funktionieren (mit bestimmten Voraussetzungen) für alle zulässigen Lösungen der Wellengleichungen. Man kann dann die selbe Lösung f auch bzgl. anderer Funktionensysteme wie z.B. Kugelwellen darstellen.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | Ich bin immer noch in Richtung Solitons im Internet auf der Suche und bin auf ein Video mit dem vielversprechenden Titel „Michael Atiyah, Three -dimensional solitons [2005]“ gestoßen.
https://www.youtube.com/watch?v=MkmpH5moov4
Hier ging der Fokus aber dann Richtung starker Wechselwirkungen im Atomkern. |
Witzig.
Zu Solitonen (Skyrmionen) im Bereich der Nukleonenphysik habe ich ca. vier Jahre gearbeitet. Das führt uns aber sehr weit weg von den hier diskutierten Fragen, da bereits die klassischen Gleichungen nichtlinear sind und die Fourierdarstellung nicht funktioniert.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe das Gefühl, dass die Lösung zur Beschreibung der Wellenform des Photons über die Berechnung von Solitons geht. |
Nee, siehe oben der Link zu den Wellengleichungen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 14. März 2025 10:20 Titel: |
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Ich habe mit den Ansatz für drei Dimensionen nochmal angesehen.
Ich kann zeigen, dass aufgrund der Wellengleichung
für den Ansatz
 = f(x, y, z-ct) )
eines in z-Richtung bewegten Wellenpakets folgt, dass
gelten muss.
Das ist unbefriedigend, da dies einer in x- und y-Richtung unendlich ausgedehnten Wellenfront entspräche.
Der allgemeine Ansatz wäre
 = a(x, y, z-ct) \, e^{i \, \phi(x,y,z;t)} )
wobei die reelle Amplitude a ihre Form nicht oder zumindest nur sehr schwach ändert. Vermutlich ist außerdem
mit einer unbekannten Funktion psi sinnvoll.
Dazu habe ich noch keine vernünftige Lösung gefunden (weder selbst berechnet noch im Internet).
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 14. März 2025 16:14 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich habe mit den Ansatz für drei Dimensionen nochmal angesehen.
Ich kann zeigen, dass aufgrund der Wellengleichung
für den Ansatz
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Warum fällt auf der rechten Seite die Variable t weitgehend weg und taucht nur noch als –ct bei der z-Koordinate auf?
Und nebenbei gefragt, warum werden die Variablen mal mit Komma und mal mit Semikolon getrennt? (nur um Raum- von Zeitabhängigkeit visuell zu trennen, oder steckt dort eine mathematische Bedeutung dahinter?)
| TomS hat Folgendes geschrieben: | eines in z-Richtung bewegten Wellenpakets folgt, dass
gelten muss. |
Warum ist die Ableitung in x- und y-Richtung gleich Null? Wir haben doch einen Übergang von maximalen Amplituden bei x und y gleich Null und der Amplitude Null seitlich außerhalb des Photons.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
mit einer unbekannten Funktion psi sinnvoll. |
Meinst du phi statt psi?
Bei der Suche nach dem D’Alembert-Operators (das Quadrat als mathematisches Symbol war mir unbekannt) bin ich auf die Wikipedia-Seite zur Greenschen Funktion gestoßen,
siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function .
Ich vermute, die Tabelle mit den Greenschen Funktionen hast du für möglichen Lösungsansätze bereits gescannt. Richtig? |
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TechnikFan
Anmeldungsdatum: 05.11.2024
Beiträge: 252
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| TechnikFan Verfasst am: 14. März 2025 17:03 Titel: |
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| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: |
Meinst du phi statt psi? |
Vergiss die Frage. Ich habe phi und psi verwechselt. Sorry. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21468
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| TomS Verfasst am: 14. März 2025 21:30 Titel: |
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| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | Warum fällt auf der rechten Seite die Variable t weitgehend weg und taucht nur noch als –ct bei der z-Koordinate auf? |
Das folgt unmittelbar aus der Forderung, dass zu jedem Zeitpunkt t die Form f(x,y,z;t) nur durch die um ct in z-Richtung verschoben Form f(x,y,z;0) gegeben sein soll.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | warum werden die Variablen mal mit Komma und mal mit Semikolon getrennt? nur um Raum- von Zeitabhängigkeit visuell zu trennen? |
Ja.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | eines in z-Richtung bewegten Wellenpakets folgt, dass
gelten muss. |
Warum ist die Ableitung in x- und y-Richtung gleich Null? Wir haben doch einen Übergang von maximalen Amplituden bei x und y gleich Null und der Amplitude Null seitlich außerhalb des Photons. |
Letzteres ist das, was wir erwarten, aber der Ansatz für f sowie die Wellengleichung zusammen führen mathematisch zu der Schlussfolgerung, dass keine x- und y-Abhängigkeit vorliegen kann; der für eine Dimension gewählte Ansatz ist also unzureichend.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
mit einer unbekannten Funktion psi sinnvoll. |
Meinst du phi statt psi? |
Ich zerlege die unbekannte Funktion phi in den rechten Teil. Dabei sollen a und psi nur sehr langsam veränderliche Funktionen sein, die die Form des Wellenpaketes beschreiben.
| TechnikFan hat Folgendes geschrieben: | Bei der Suche nach dem D’Alembert-Operators (das Quadrat als mathematisches Symbol war mir unbekannt) bin ich auf die Wikipedia-Seite zur Greenschen Funktion gestoßen,
siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function .
Ich vermute, die Tabelle mit den Greenschen Funktionen hast du für möglichen Lösungsansätze bereits gescannt. Richtig? |
Nein, weil uns die wenig helfen.
Die Greenschen Funktionen G für einen Differentialoperator L lösen eine inhomogene DGL
Damit erhält man für ein inhomogenes Problem
eine spezielle Lösung mittels
wobei die rechte Seite für das Integral über die Greensche Funktion G mal der Inhomogenität f steht.
Die uns interessierende Wellengleichung ist aber eine homogene DGL, d.h.
Die allgemeine Lösung des inhomogenen Problems erhält man mittels
Zu jedem L gibt es aber unendlich viele Lösungen y_0, und es sind gerade diese Lösungen, die wir hier betrachten.
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